Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

конспект лекций

Самара, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение 1

высшего профессионального образования 1

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» 1

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ 1

Раздел 1. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 3

Раздел 2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ 9

Тема 2.1 Линейное программирование 9

(усл. ед.) 10

(усл. ед.) 10

Графический метод решения задачи ЛПР 13

Двойственность в задачах линейного программирования 18

Симплексный метод решения задач линейного программирования 22

Транспортная задача 27

Тема 2.2 Нелинейное программирование 35

Тема 2.3 Динамическое программирование 44

Раздел 3. Задачи в условиях неопределенности 51

Тема 3.1 Системы массового обслуживания 51

Марковский случайный процесс 51

Схема гибели и размножения 53

Моделирование систем массового обслуживания 54

ЛИТЕРАТУРА 60

60

Раздел 1. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

По мере развития науки и техники все чаще встает проблема нахождения правильного решения. Для облегчения этой задачи реальные процессы заменяются их аналогами или моделями. Затем производится анализ поведения модели в тех или иных условиях с помощью компьютера.

Познание любой системы сводится по существу к созданию её модели. Перед изготовлением каждого устройства или сооружения разрабатывается его модель - проект. Любое произведение искусства является моделью, фиксирующее действительность.

Достижения математики привели к распространению математических моделей различных объектов и процессов. Подмечено, что динамика функционирования разных по физической природе систем однотипными зависимостями, что позволяет моделировать их на ЭВМ. На качественно новую ступень поднялась моделирование в результате разработки методологии имитационного моделирования на ЭВМ.

Сейчас трудно указать область человеческой деятельности, где бы ни применялось моделирование. Разработаны модели производства автомобилей, выращивания пшеницы, функционирования отдельных органов человека и т.д. Специалисты считают, что моделирование становится основной функцией вычислительных систем. На практике широко используются АСУ технологическими процессами организационно-экономическими комплексами, процессами проектирования, банки данных и знаний. Но любая из этих систем нуждается в информации об управляемом объекте и модели управляемого объекта, в моделировании тех или иных управляющих решений.

Обычно процесс разработки сложной системы осуществляется итерационно с использованием моделирования проектных решений. Если характеристики не удовлетворяют предъявленным требованиям, то по результатам анализа производят корректировку проекта, затем снова проводят моделирование.

При анализе действующих систем с помощью моделирования определяют границы работоспособности системы, выполняют имитацию экспериментальных условий, которые могут возникнуть в процессе функционирования системы. Искусственное создание таких условий на действительной системе затруднено и может привести к катастрофическим последствиям.

Моделирование – замещение при исследовании или проектировании реальных объектов или систем другими элементами с целью упрощения процесса получения необходимой информации об оригинале.

Заметим, что информацией называются сведения и данные, необходимые для определенных целенаправленных действий людей или систем управления. Информация определяется в результате сбора и обработки исходных сведений и данных. Информация может представляться не только числами и функциями, но и набором вероятностей состояний системы.

Достоинства моделирования:

1. Упрощение процесса исследования или проектирования систем за счет более простой вариации исходных данных в модели.

2. Экономия средств, так как построение модели существенно дешевле, чем стоимость оригинала.

3. Сокращение сроков исследования систем и получения необходимой информации.

4. С помощью моделирования можно проводить эксперименты и определять численные данные о процессах, недоступных для наблюдения в реальных условиях (с применением масштабирования данных и времени).

5. Модели удобно использовать в тренажерах для обучения специалистов управлению сложными системами или их эксплуатацией.

ПК может работать только с математическими моделями, которые с помощью языков программирования переводятся в набор машинных кодов, которые обрабатывает ПК. Построение математической модели процесса, явления или объекта начинается с построения упрощенного варианта модели, в котором учитываются только основные черты. В результате прослеживаются основные связи между входными параметрами, ограничениями и показателями эффективности.

Математическая модель должна отражать все существенные факторы, определяющие ее поведение, при этом быть простой и удобной для восприятия результатов. Каждая математическая модель в своей основе имеет математический количественный метод.

Применение математических количественных методов для обоснования выбора того или иного управляющего решения во всех областях человеческой деятельности называется исследованием операции.

При решении практически любой задачи имеется неограниченное количество решений. Множество решений, удовлетворяющих заданным условиям, называется допустимым множеством решений. Выбор из множества допустимых решений одного наилучшего, называемогооптимальным- есть задача исследования операции. Оптимальное решение называется наилучшим только при заданных ограничениях. При решении задачи исследование операции без ограничений на ресурсы, можно ставить вопрос о нахождении наилучшего решения среди локальных оптимальных решений. Такое наилучшее решение называетсяглобальным экстремумом.

Поиск локального или глобального экстремума выполняется набором некоторых действий, подчиняющихся общее идее определения экстремума, оформленной в виде алгоритма поиска. Каждое отдельное действие, входящее в план решения, называется операцией.

Операция всегда является управляемым воздействием на модель исследуемого объекта. Анализируя реакции на входное воздействие, исследователь делает вывод – достигнут экстремум или нет.

Модель – это материальный или идеальный объект, заменяющий оригинал, наделенный основными характеристиками оригинала и предназначенный для проведения некоторых действий над ним с целью получения новых сведений об оригинале.

Примеры моделей: чертеж будущего здания; макет радиотелеграфа; система уравнений, описывающих полет артиллерийского снаряда.

Классификация моделей

Модели

Материальные Идеальные

Физические Аналоговые Интерактивные Знаковые

Материальные модели

Модели этой группы реализованы в виде реальных физических объектов – макетов. Модели связаны с оригиналом различными характеристиками: геометрическими, физическими и т. д. Изучение оригинала производится путем воздействия на макет и обработкой реакций макета на суммарное воздействие. Такой метод исследования называется экспериментальным.

Материальные модели подразделяются на макеты подобия (физические модели) и заменяющие макеты (аналоговые модели).

Физическое моделированиеосновано на устройствах, математическое описание процессов функционирования которых, подобно описанию процессов в реальной системе. Взаимный перевод параметров от оригинала к модели и обратно производится с помощью теории подобия. Модели могут быть представлены в реальном, уменьшенном или увеличенном масштабе времени. Физические модели часто имеют ту же природу, что и оригинал (например, продувки в аэродинамических трубах моделей самолетов, скоростных поездов, автомашин). Перед реконструкцией дорог, когда требуется сужать проезжую часть, целесообразно предварительно промоделировать такое сужение, оценить характеристики трассы, на основе чего принять меры, позволяющие существенно не снизить её пропускную способность.

Аналоговыми моделяминазывают системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства ВТ на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается, например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.

Идеальные модели

В этом случае создается либо мысленный образ объекта или явления в памяти человека или ПК, либо абстрактная математическая модель. Такая модель носит теоретический характер.

Идеальные модели делятся на:

1. Сущностные (интерактивные), создаваемые в памяти человека или компьютера, для создания которых, как правило, не требуется строгих уравнений. Законы функционирования таких моделей строятся на наблюдениях за оригиналом.

2. Символьные (знаковые)построены на наборе символов: алфавит, пиктограмма, технические символы и т.д. Символьные модели могут выступать в виде графиков, чертежей, рисунков, текстов, формул. Одним из видов символьных моделей являются математические модели.

Математическое моделированиеосновано на аналогии данной реальной системе некоторых математических уравнений, описывающих процессы в модели, исследование которых позволяет получать характеристики функционирования оригинала.

Математические модели:

1. Дескриптивные;

2. Оптимизационные;

3. Игровые;

4. Имитационные;

5. Многокритериальные;

6. Модели прогнозирования.

Дескриптивные модели – объект, явление или процесс описываются математическими уравнениями. Наиболее часто используются в механике, физике, химии и т. д. и описывают протекающие процессы без вмешательства в ход событий.

Оптимизационные модели – предназначены для управления объектом, явлением или процессом. Строятся с целью получения наилучших результатов при изменении управляющих факторов.

Игровые модели – применяются для управления процессами, которые противодействуют исследователю.

Имитационные модели – используются для моделирования сложных технических систем или общественных процессов, когда не ясно, какую цель нужно достигнуть.

Многокритериальные модели – применяются для нахождения наилучшего решения по нескольким целевым функциям.

Модели прогнозирования – позволяют создать прогноз о поведении объекта или системы.

По степени точности математические модели делятся на:

• Аналитические модели – используются для описания простых процессов, явлений и объектов и учитывают небольшое количество факторов. Такие модели грубы, но лучше приспособлены к отысканию оптимального решения и имеют наглядные и простые решения;

• Статистические модели – строятся на основе данных за поведением реального процесса явлений или объектов. Исходные данные носят случайный характер. Каждое воздействие на такую модель называется реализацией.

После выполнения большого количества реализаций, полученные результаты обрабатываются специальными методами и в результате получают усредненные характеристики процесса, явления или объекта.

Такие модели позволяют учитывать больше факторов, но они более громоздки и полученные результаты носят усредненный характер, плохо воспринимаются и плохо приспособлены к поиску оптимального решения.

В своей основе каждая математическая модель имеет целевую функцию, которая описывает функционирование реального объекта, процесса или явления.

В зависимости от исследуемого объекта целевая функцияможет быть представлена одной функциональной зависимостью, системой уравнений, набором статистических данных и т. д. При работе с целевой функцией исследователь воздействует на нее через набор входных параметров.

Реакция математической модели (целевой функции) на набор входных воздействий называется решением – вектор выходных параметров. Т. к. на математическую модель можно подавать множество наборов входных параметров, то в результате будет множество решений. Лучшее решение по заранее обговоренным признакам называетсяоптимальным.

Кроме набора входных параметров и значения оптимального решения исследователю приходится иметь дело с ограничениями на значения входных параметров. Они могут быть заданы в виде равенств или неравенств и описаны как линейными, так и нелинейными зависимостями.

По способу реализации математические модели делятся на:

1. Линейное программирование. Математическая модель целиком описывается уравнениями первого порядка. Включает в себя следующие методы решения: симплексный, графический, транспортная задача, целочисленное программирование.

2. Нелинейное программирование. Целевая функция и ограничение, составляющие математическую модель содержит хотя бы одно нелинейное уравнение. Методы решения: графический, методы прямого поиска, регулярного симплекса, деформированного многогранника, градиентный.

3. Динамическое программирование. Ориентировано на решение задач прокладки магистралей кратчайшим путем и перераспределение различных видов ресурсов.

4. Сетевое планирование. Решает проблему построения графика выполнения работ, распределение производственных, финансовых и трудовых ресурсов.

5. Принятие решений и элементов планирования. В этом случае в качестве целевой функции выступает набор статистических данных или некоторые данные прогнозы. Решением задачи являются рекомендации о способах поведения. Решение носит рекомендательный характер. Выбор стратегии остается за человеком, принимающим решение. Для принятия решения разработаны следующие теории: теория игр и система массового обслуживания.