- •Федеральное агентство связи
- •Раздел 2. Детерминированные задачи Тема 2.1 Линейное программирование
- •Графический метод решения задачи лпр
- •Двойственность в задачах линейного программирования
- •Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •Транспортная задача
- •Математическая формулировка транспортной задачи
- •Тема 2.2 Нелинейное программирование
- •Тема 2.3 Динамическое программирование
- •Раздел 3. Задачи в условиях неопределенности Тема 3.1 Системы массового обслуживания Марковский случайный процесс
- •Системы массового обслуживания
- •Моделирование систем массового обслуживания
- •Классификация смо
- •Литература
Двойственность в задачах линейного программирования
Каждая задача линейного программирования, называемая прямойилиисходной, тесно связана с другой задачей, ее называютдвойственной.
Математические модели этих задач имеют следующий вид.
прямая задача:
|
двойственная задача:
|
Эти задачи экономически могут быть сформулированы следующим образом.
Прямая задача: сколько и какой продукциихi(i-1, 2, … , n)надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукцииСi, объемом имеющихся ресурсовbj (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсоваijмаксимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.
Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого ресурсаyj (j=1, 2,…, m),чтобы при заданныхbj, ciиаij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.
Правила построения двойственной задачи по имеемой прямой задаче:
Если прямая задача решается на максимум, то двойственная задача решается на минимум; если прямая задача решается на минимум то двойственная на максимум;
В задаче на максимум ограничения неравенства имеют вид – ≤, а в задаче на минимум – ;
Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, в другой модели ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;
Матрица системы ограничений двойственной задачей получается из матрицы из матрицы систем ограничений прямой задачи транспонированием;
Свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи и наоборот;
Если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, в противном случае – как ограничение равенство;
Если какое либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.
Пример:
Прямая задача:
|
Двойственная задача:
|
В этой задаче – предельные оценки стоимости единицы каждого ресурса, целевая функция – оценка стоимости всех ресурсов, а каждое ограничение есть условие, что оценка ресурсов, идущих на производство продукции, не менее чем цена единицы продукции.
Взаимосвязь решений прямой и двойственной задач находится из трех теорем двойственности.
Первая теорема двойственности:
Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают Z(X)=Z'(Y). Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.
Экономическое содержание первой теоремы двойственности: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения и оценок ресурсов, при этом полная стоимость продукта, полученного в результате реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения, значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными только тогда, когда полная стоимость произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадает.
Оценки выступают как инструмент сбалансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей стоимости продукции и ресурсов обуславливает убыточность всякого другого плана отличающегося от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставлять и сбалансировать затраты и результаты производства.
Вторая теорема двойственности:
Для того чтобы план Х*и Y*пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условий:
Эти условия называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует, что если какое-либо неравенство системы ограничений в одной из задач не обращается в строгое равенство оптимальным планом этой задачи, то соответствующий элемент оптимального плана двойственной задачи должен равняться нулю. Если какой-либо элемент оптимального плана одной из задач положителен, то соответствующее ограничение в двойственной задаче её оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство, т.е.
если bj, то;
если 0, то
Аналогично,
если
если 0 то
Экономически это означает, что если по некоторому оптимальному плану X*= производства расходj-горесурса меньше его запасаbj, то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок егоj-й элемент больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу. Отсюда следует вывод: двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс, т.е. полностью используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную оценку, а избыточный ресурс, т.е. не используемый полностью имеет нулевую оценку.
Третья теорема двойственности:
Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи линейного программирования, т.е.
В последнем выражении дифференциалы заменим приращениями. Тогда получим выражение:
,
если , тогда, Экономическое содержание третьей теоремы двойственности: двойственная оценка численно равна изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу. Двойственные оценкиyj часто называютсяскрытыми теневыми или маргинальными оценками ресурсов.