Вопрос 48: Интегрирование рациональных дробей.

Вопрос 51: Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла и его свойства.

51.1. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом

51.2.Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.

52.3.Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Вопрос 52: Теорема о среднем

Вопрос 53: Интеграл с переменным верхним пределом. Производная по переменному пределу интегрирования в определённом интеграле.

53.1.Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция  f ( x ), тогда для любого x [a, b ] существует функция: задаваемая  интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

53.2.Если подынтегральная функция непрерывна, топроизводнаяопределенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.

Вопрос 54: Замена переменной в определённом интеграле.

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Вопрос 55: Несобственные интегралы.

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Вопрос 56: Приложения определённого интеграла. Вычисление плоских фигура и объёма тел вращения.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как

Площадь криволинейного сектора равна

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси (пВрямые,, осьи функция), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:

Вопрос 57:Вычисление длины дуги кривой.

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме ,и производные,непрерывны на отрезке [,] , то длина дуги кривой выражается интегралом.гдеи— значения параметра, соответствующие концам дуги (<).

Вопрос 58: Приложение определённого интеграла к задачам экономики. Выигрыш потребителя.

Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q², где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребитеоьского излишка

Решение.

Вопрос 59: Приложение определённого интеграла к задачам экономики.Определение времени поставки товара и коэффициента Джина.

Вопрос 60: Формула Ньютона – Лейбница.