Вопрос 36: Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора.

Формула Тейлора

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

Вопрос 37: Формула Маклорена. Остаточный член формулы Маклорена.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 - остаточный член.

Вопрос 38:Разложение функций sinx, cosx, e^x, ln(1+x) по формуле Маклорена.

Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞):

sinx=x-(1)

Дифференцируя ряд sinxполучаем разложение приx(-∞;+∞):

cosx=1-(2)

Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)

e^x=1+(3)

ln(1+x)=x(4)

Вопрос 39: Производные в экономических теориях. Дифференциальное исчисление при исследовании «эластичности» в экономике. Необходимое условие максимума прибыли.

39.1.Так, например, если задана производственная функция: у = f (Х..., х,,... .Хд), где х — объем затрачиваемого i -то ресурса (f=l,...,n), у — максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая ресурсы соответственно в объемах х^,...,х^...х^, то предельный эффект от использования i -то ресурса ( р,) определяется следующим образом:

39.2.При экзогенно заданной системе цен прибыль зависит только от объема выпуска(Q) =PQ-TC(Q),

где Р - цена блага. В этом случае необходимым условием ее максимизации является следующее равенство:

а достаточным - отрицательное значение второй производной функции прибыли:

<0.

Вопрос 40: Неопределённый интеграл. Первообразная.

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx

Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции.

Вопрос 41: Свойства неопределённого интеграла.

1. постоянную можно выносить за знак интеграла.

2. интеграл суммы равен сумме интегралов.

3. производная от интеграла равна подынтегральной функции.

4. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

Вопрос 42: Интегрирование основных элементарных функций. Таблица интегралов.

Вопрос 43: Методы интегрирования. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям

43.1. Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где– монотонная, дифференцируемая функция; б)– новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

Во втором случае:.

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

43.2. Формула интегрирования по частям

Вопрос 44: Нахождение интеграла вида:, где, а,в,с – постоянные коэффициенты.

Вопрос 45: Нахождение интеграла вида:

Вопрос 47: Разложение рациональных дробей на простейшие.

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная, выделить целую часть, следующие пункты применить к остатку

2. Найти действительные корни знаменателя

   1. Если это многочлен степени 3 и выше, некоторые его корни стоит искать перебором делителей свободного члена.

   2. Когда найден хотя бы один корень x₁, нужно разделить исходный многочлен на (x - x₁).

   3. Пункты 1) и 2) нужно повторять до тех пор, пока будет получено квадратное уравнение, корни которого находят по школьным формулам. Если действительных корней нет - оставляют так.

   4. Если до квадратного уравнения дойти не получилось, нужно во-первых - уточнить условие (может, неверно переписано), во-вторых - есть целый раздел математики "решение уравнений высших степеней"

3. Представить знаменатель в виде произведения (x - x₁)(x - x₂)...

4. Получить сумму дробей, в знаменателе каждой из которых находится один из множителей предыдущего пункта, а в числителе - многочлен степени на 1 меньше, чем в знаменателе. Если некий корень оказался кратным степени m, то ему будет соответствовать m дробей, со знаменателями в степени от 1 до m

5. Привести полученные дроби к общему знаменателю и сложить

6. Приравнять полученную дробь к исходной правильной дроби из пункта 0

7. Приравнять коэффициенты при х в одинаковых степенях справа и слева от знака "="

8. Решить полученную систему уравнений

9. Подставить полученные коэффициенты в соответствующие дроби.