Вопрос 30: Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Лангранджа о конечных приращениях, Коши)

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

Вопрос 31: Правило Лоппиталя. Нахождение пределов по правилу Лопитталя.

31.1. Пусть функцииf(x)иg(x)дифференцируемы в некоторой окрестности точкиa, за исключением, быть может, самой точкиa, и пустьили. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения самих функцийf(x)/g(x)приx→а, причем

Вопрос 32:Условия возрастания и убывания функции.

Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательнуюпроизводную, то она являетсянеубывающейфункцией в этом интервале.

Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.

Вопрос 33: Достаточное условие экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.

33.1.

Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x₀ или не существует и при переходе через x₀ меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").

Если в точке x₀ первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x₀ функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x₀ и ее окрестности.

Вопрос 34: Выпуклость функции и точка перегиба. Асимптоты графика функции.

34.1. График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

Пусть y=f(x)дифференцируема на(a; b). Если во всех точках интервала(a; b)втораяпроизводная функции y = f(x) отрицательная,т.е.f''(x) < 0, то график функции на этом интервалевыпуклый,если жеf''(x) > 0 – вогнутый.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Еслиf''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак,то точка графика функции с абсциссойx=x₀естьточка перегиба.

34.2.Асимптота- прямая линиия, к который неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат

Вопрос 35:Общая схема и следования функции и построения их графика.

1. Находим область определения функции f(x)2. Находим точки пересечения кривойy = f(x)с осями координат и наносим их на чертеж. 3. Определяем, симметрична ли криваяy = f(x)относительно осей координат и начала координат.

4. Исследуем функцию y = f(x)на непрерывность. Если функция имеет в точкеx₀разрыв, то отмечаем ее на чертеже. 5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.

6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами. 7. Исследуем кривую y = f(x)на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.  8. Вычерчиваем кривуюy = f(x).