Управляемость, оценка и наблюдаемость

Каждая техническая система обладает несколькими фундаментальными характе­ристиками, которые требуют особого внимания.

Управляемость (controllability) — это характеристика системы, которая показыва­ет, имеет ли система достаточное количество регулируемых параметров для того, чтобы управлять ею требуемым образом. Грубо говоря, система является управляемой, если можно подобрать такие управляющие воздействия и, чтобы система достигла заданного состояния х. Только тогда, когда система управляема, ее полюса (или собственные числа) можно произвольно перемещать с помощью обратной связи.

Если процесс неуправляем, это означает, что части системы физически отсоединены от управляющих сигналов .

Управляющие сигналы влияют на каждую переменную состояния по отдельности. В управляемой системе все элементы матрицы В — ненулевые, в противном случае переменные состояния, соответствующие нулевым элементам матрицы В, не могут регулироваться сигналами управления. Значения таких переменных будут определяться только свойствами системы.

Управляемость линейной системы на базе непрерывной и дискретной модели можно проверить математическими методами. Однако никакие математические методы не могут заменить понимание физической природы процесса инженером-проектировщиком. Например, часто бывает, что некоторые параметры плохо управляемы, т. е. значения соответствующих коэффициентов Р, малы. И хотя формально система управляема, реальный регулятор, пригодный для практического использо­вания, создать невозможно.

Оценка состояния на основе измерений

Вторая характеристика системы связана с измерениями и наблюдением. Позволяет ли имеющийся состав датчиков получить достаточную информацию о состоянии системы. Возможно ли косвенным образом вычислить весь текущий вектор состояния x{t), если известны текущее и предыдущее значения выходного сигнала у(0).Эта характеристика называется наблюдаемостью.

В большинстве случаев состояние системы не измеряется непосредственно, т. е. число датчиков меньше числа переменных состояния. Однако часто важно знать полный вектор состояния х, даже если адекватные датчики не существуют или про­сто слишком дороги. При определенных условиях можно вычислить вектор состояния х на основе измерений у. В последующем х будет обозначать вычисленный вектор состояния, поскольку он может отличаться от реального.

Для вычисления неизмеряемых переменных состояния можно использовать процедуру оценки (estimator), причем как для непрерывных, так и для дискретных моде­лей. Здесь рассмотрен алгоритм оценки для дискретной модели, поскольку его можно непосредственно применять в компьютерном управлении. Оценка состояния фактически является описанием технического процесса разностными уравнениями, в которые введен дополнительный член для корректировки оцениваемых переменных на основе измерений у

Матрица D в большинстве случаев — нулевая. Если система имеет только один датчик, тогда К является вектором, в противном случае — матрицей. При "отличной" оценке х и х совпадают и последнее слагаемое в уравнении равно нулю, так как у = С х. Оценка будет подчиняться тому же динамическому уравнению, что и истинный вектор состояния х. Поскольку х отличается от х, последнее слагаемое, т. е. разность между реальным измерением у и его оценкой С*х, используется для коррекции ошибки. Матрица К есть весовой коэффициент, определяющий качество оценки.

Нечеткие системы

Многие системы не только нелинейны и нестационарны (изменяются во времени), но и вообще плохо определены. Их нельзя смоделировать уравнениями или представить набором ясных логических правил типа "если-то-иначе". Для решения подобных задач американский ученый Лотфи А. Задех (Lotfi A. Zadeh) разработал нечеткую логику {fuzzy logic). Термин "нечеткая" фактически использован не совсем правильно, поскольку логика прочно базируется на математической теории.

Нечеткую логику можно рассматривать как методологию дискретного управления, имитирующую человеческое мышление, с использованием такого свойства, присущего всем физическим системам, как неточность. В традиционной логике и вычислительной технике используются детерминированные множества, т. е. всегда можно сказать, принадлежит ли элемент множеству или нет. Обычная — бинарная — логика оперирует только противоположными состояниями — "быстро/медленно", "открыто/закрыто", "горячо/холодно". В соответствии с этой логикой температуру 25 "С можно расценить как "горячо", а 24.9 °С — еще "холодно", и регулятор темпера­туры будет реагировать соответственно.

В противоположность этому нечеткая логика работает, преобразуя жесткие двоичные переменные — "горячо/холодно", "быстро/медленно", "открыто/закрыто" — в мягкие градации с изменяемой степенью принадлежности — "тепло/прохладно", "довольно быстро/несколько медленно". Температура 20 °С может означать одновременно и "тепло", и "прохладно". Такие градации игнорируются обычной логикой, но служат краеугольным камнем нечеткой логики. Степень член­ства определяется доверием {confidence) или уверенностью {certainty) (выражается числом от 0 до 1), что конкретный элемент принадлежит нечеткому множеству.

Нечеткие системы вырабатывают свои решения на основе входной информации в форме лингвистических переменных, т. е. терминов обычного языка, например "го­рячо", "медленно" или "темно". Эти переменные обрабатываются правилами "если-то-иначе",,и в результате формируется один или более выводов в зависимости от того, какие утверждения истинны. Вывод каждого правила взвешивается в соответствии с доверием или степенью принадлежности его входных значений.

Существует некоторая аналогия между правилами "если-то" искусственного интеллекта и нечеткой логикой, хотя искусственный интеллект есть процесс обработки символов, а нечеткая логика — нет. В искусственном интеллекте нейронная сеть есть совокупность данных и выводов в виде специальных структур. Каждой входной величине назначается относительный, дискретный весовой коэффициент. Взвешенные данные точно определенным способом формируют сеть для принятия решений. В отличие от этого в нечеткой логике весовые функции непрерывно определены на множестве значений принадлежности.

Нечеткая логика часто имеет дело с переменными, которые скорее наблюдаются, чем измеряются. Управление на основе нечеткой логики имеет еще одно существенное отличие по сравнению с традиционным. Последнее основано на математической модели системы, которая предполагает наличие детальных знаний о соответствующих переменных. Моделирование на основе нечеткой логики имеет дело с отношениями вход/выход, в которых собраны вместе многие параметры. При таком управлении замена большого диапазона значений на меньшее количество градаций принадлежности помогает сократить число переменных, которыми должен оперировать регулятор. Соответственно, требуется меньшее число правил, поскольку надо оценивать меньше параметров, и во многих случаях регулятор на базе нечеткой логики может вырабатывать решения быстрее, чем экспертная система на основе правил "если-то". На экспериментальных прототипах было показано, что нечеткая логика является хорошим инструментом при недостаточных объемах информации.

Автоматический регулятор скорости поезда служит простой иллюстрацией приложений нечеткой логики. Критерием для регулятора является оптимизация времени пути при известных ограничениях. Входными данными являются текущие скорость, ускорение и расстояние до места назначения, на основе которых регулятор управляет мощностью двигателя

Функция принадлежности присваивает измеряемым величинам лингвистические значения. В приведенном случае ускорение имеет значение "торможение" из-за крутого подъема. Скорость принадлежит к множеству "медленно" (вес 0.8) и "слишком медленно" (вес 0.2), а расстояние имеет значение "очень близко к месту назначения" с весом 0.65 и "близко" с весом 0.35

Несколько правил могут дать представление о логике управления:

• если скорость имеет значение "слишком медленно", а ускорение — "торможение", то следует "существенно увеличить" мощность;

• если скорость имеет значение "медленно", а ускорение — "торможение", то следует "слегка увеличить" мощность;

• если расстояние имеет значение "близко", то следует "слегка снизить" мощность.

Какое правило должно быть выбрано? Выход также имеет степень доверия, кото­рая зависит от степени доверия (т. е. веса) входных данных. Окончательный выбор в рассматриваемом примере — "слегка увеличить" мощность. Даже если скорость имеет значение "слишком медленно", то поезд уже близок к месту назначения.

Нет гарантии, что нечеткая логика может успешно справляться со сложными системами. Регулятор на базе нечеткой логики является практически оценкой состояния системы, которая не основана на конкретной модели. Доказать устойчивость такого регулятора очень сложно.