Моделирование динамических систем

Существуют как хорошо известные и давно изученные процессы, так и процессы, о которых известно очень мало и которые трудно поддаются количественному описанию. Например, динамика самолетов и ядерных реакторов изучалась очень тщательно, и существуют достаточно точные, хотя и очень сложные модели этих процессов. Есть процессы, которые трудно описать количественно. Например, лабораторный процесс ферментации микроорганизмов одного типа в четко определенной питательной среде можно описать весьма точно. В отличие от этого, процесс биологической очистки сточных вод содержит сложную смесь организмов в среде, трудно поддающейся описанию. Такой процесс только частично можно описать обычными количественными моделями. Когда количественных моделей недостаточно или они слишком сложны, для описания процессов применяют семантические (лингвистические) модели. Другие примеры частично изученных процессов — производство металла, разделение жидких и твердых субстанций, многие биохимические процессы и работа печей кругового обжига.

Для процессов, параметры которых изменяются во времени, характерны свои специфические проблемы. Например, в биологической системе добавление нового субстрата в процесс может вызвать мутацию микроорганизмов, которая приведет к значительному изменению динамики всего процесса.

Как правило, моделирование сложной системы представляет собой трудный, дорогой и требующий много времени процесс, особенно если необходима экспериментальная проверка. В принципе, существуют два способа разработки модели. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и уравнений баланса. Другой способ построения динамической модели основан на экспериментальных данных. В технический процесс вносятся возмущения в виде различных типов входных сигналов, а затем выполняется анализ серий входных и выходных данных с помощью процедуры, которая называется идентификацией параметров. Если анализ выполняется в реальном времени, т. е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой.

На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изучении основных свойств процесса становится проще получить точное динамическое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, основанные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки.

Параметры многих процессов и систем изменяются не только во времени, но и в пространстве, например концентрация жидкости в баке. Физический баланс таких систем описывается уравнениями в частных производных. В системах управления процессами эти уравнения обычно аппроксимируются конечными разностями по пространственным переменным для того, чтобы система описывалась обыкновенными дифференциальными уравнениями

Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, всегда можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что это описание в виде уравнений состояния или в пространстве состояний . Главное преимущество такой формы записи в том, что для решения этих уравнений можно использовать численные методы. Кроме того, четко прослеживается физическая сущность процесса, в частности связь между внутренними переменными и внешними входным и вы­ходным сигналами. Аналогично, изучение систем управления с более чем одним входом и выходом, проще в форме уравнений состояния. Основой математического аппарата для моделей в пространстве состояний служит, главным образом, линейная алгебра — векторная и матричная нотации значительно упрощают описание. Однако методы линейной алгебры не требуются, чтобы получить основные представления о динамике системы.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных — так называемых переменных состояния, производные первого порядка от , которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, состояние — это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого — переменные состояния

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях, т. е. существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков. Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием. Выходные величины — измерения, обозначаются через y₁, у₂,..., у_р и составляют вектор у

В общем случае число датчиков р, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния п. Поэтому вычисление х по у — нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов — сигналы,которые можно изменять вручную или автоматически какими-либо техническими средствами, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления U₁, U₂ составляют вектор U

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, нежелательным магнитным воздействием ("наводками") и т. п. Все эти сигналы обозначаются вектором v

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измере­ний у таких управляющих сигналов и, чтобы, несмотря на влияние возмущений v, техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.13), на которой показаны управляющие сигналы, возмущения и выходные переменные

Рис. 2.1 Блок-схема управляемой системы