Область применения линейных моделей

Существуют динамические явления, которые нельзя описать линейными диффе­ренциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим влияние нелинейности на примерах. Системы, описываемые ниже, ведут себя как линейные при малых значениях входных сигналов, а при больших — появляется нелинейность.

Ограничения сигнала

В реальных условиях все сигналы ограничены. Во многих технических системах в качестве конечных управляющих элементов используются клапаны. Поскольку клапан не может быть открыт больше, чем на 100 %, рассчитанный математически сигнал управления иногда просто нельзя реализовать (рис. 2.2). Это вызывает определенные трудности в управлении.

Другой пример ограничения сигнала — ток ротора электрического двигателя. Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах, когда ток тоже должен быть большим

Рис.2.2 Выходной сигнал исполнительного механизма с ограничениями

Нелинейные системы

Описанные системы являются нелинейными, но при некоторых допущениях их можно аппроксимировать линейными уравнениями. Другие типы нелинейностей нельзя свести к линейному описанию. Наиболее часто встречающийся пример — релейные системы. Реле вырабатывают бинарные сигналы типа "включено/ выключено"; идеальное реле для любого положительного входного сигнала имеет фиксированный положительный выход и, соответственно, фиксированный отрицательный выход при любом отрицательном входе. Очевидно, что в такой системе не выполняется принцип суперпозиции

Примеры систем с существенными нелинейностями:

• различные виды реле (с зоной нечувствительности, гистерезисом и т. д.);

• клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);

• нелинейные деформации механических пружин;

• падение давления в сужении трубы;

• силы трения;

• аэродинамическое сопротивление;

• свойства пара;

• двигатели постоянного тока с последовательной обмоткой возбуждения (момент — функция квадрата тока роторной цепи);

двигатели переменного тока

Нелинейные системы можно описать в сле­дующем виде

где определены п переменных состояния и г входов, или в компактной векторной форме

Численное моделирование динамических систем

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев используются численные методы. Основной метод решения дифференциальных уравнений — аппроксимация производных по времени простыми разностными уравнениями. Этот метод называется аппроксимацией Эйлера с восходящими разностями

Если известны начальные условия х(0), то можно рассчитать состояния х(t+h), х(t+2h), х(t+3h),..., которые являются приближениями точного решения в моменты времени t+h, t+2h, t+3h и т.д. Здесь очень важно выбрать шаг {step) интегрирования h, который, в принципе, должен быть как можно меньше, однако на практике выбирается некая компромиссная величина. Слишком маленький шаг приведет к неоправданно большому времени вычислений (которое, естественно, еще серьезно зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и мощности процессора). С другой стороны, слишком большое значение h вызывает проблемы сходимости решения и приводит к нежелательным результатам. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если моделируемая система включает в себя и быстрые, и медленные динамические процессы.