Проблема слишком большого шага

Для иллюстрации проблемы слишком большого шага рассмотрим простую систему, описываемую уравнением первого порядка

где х(0) = 1 и а > 0. Уравнение имеет аналитическое решение

С другой стороны, дифференциальное уравнение можно решить численно методом Эйлера. При аппроксимации производной конечной разностью

На рис. 2.3. показано, что происходит при различных значениях шага h. В общем случае для больших значений h — таких, что h > 2/а, решение х будет иметь колебательный характер с изменением знака и ростом амплитуды. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызвана только слишком грубой аппроксимацией при вычислении решения.

Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки; наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить наперед заданному критерию погрешности

Дискретные модели динамических систем

Цифровая ЭВМ не может обрабатывать постоянно меняющиеся аналоговые данные. Соответственно, и сбор данных, и выработка управляющих сигналов происходят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора. Более быстрый процессор работает по тому же принципу, что и более медленный, — он просто обрабатывает больше данных за тот же интервал времени, но данные при этом остаются дискретными.

Ниже излагается модель физического процесса, пригодная для приложений компьютерного управления. В соответствии с рассматриваемой моделью измеряемые данные процесса собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамической модели становится проще при постоянном интервале. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией {sampling) или квантованием, длина интервала — временем (периодом, интервалом) выборки, дискретизации {sampling time) или квантования. Другое упрощение, используемое при разработке дискретно-временных моделей процессов, состоит в том, что измеряемые данные и сигналы управления остаются постоянными в течение интервала выборки. Фактически таким же образом работают схемы выборки и хранения интерфейса компьютера.

Описание в пространстве состояний

Нелинейный процесс можно аппроксимировать разностным уравнением

где h — интервал выборки kh — его порядковый номер; f(x, u) — производная по времени вектора состояния системы х. Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал, и производная "гладкая". Разностное уравнение по существу такое же, что и при численном моделировании. Линейная система с постоянными коэффициентами в дискретном виде представляется следующим образом

В матричных обозначениях это можно записать

Для линейной или линеаризированной системы аппроксимация не обязательна. Поскольку линейные дифференциальные уравнения можно решить аналитически, соответствующие уравнения для дискретного представления можно получить из решения. Предполагается, что сигнал управления u(t) остается постоянным между моментами выборки, т. е. система включает в себя схему удержа­ния. Дискретную модель можно записать в матричном виде

где Ф — матрица размерностью п x п, а Г — матрица размерностью п x l. Связь между матрицами А и В и матрицами Ф и Г следующая

где I — единичная матрица.

Преобразование между матрицами для непрерывной и дискретной моделей можно выполнить с использованием стандартных программ. Аппроксимация конечными разностями стремится к точному решению при малых значениях интервала выборки h. Поскольку измерения происходят периодически, то урав­нение для дискретной модели справедливо только в моменты выборки

Решение уравнений дискретной модели на цифровой ЭВМ получается довольно просто: решения х(kh) в последовательные моменты времени вычисляются шаг за шагом на основе разностных уравнений