fiz

Вычислим давление, оказываемое газом на стенку сосуда площадью S . Будем считать, что, поскольку все направления движения молекул равновероятны, а всего

ударившись абсолютно упруго о стенку, отскакивают от нее без потери скорости.

Изменение импульса каждой молекулы при ударе о стенку и отскоке будет равно разности импульса после удара mM кв и импульса до удара mM кв ,

mM кв mM кв 2mM кв .

При этом сама стенка S согласно третьему закону Ньютона получит после удара импульс, равный по величине и противоположный по знаку импульсу молекулы, т. е. импульс стенки после удара о нее одной

молекулы будет равен 2mM кв . Если же о стенку ударятся все 16 N молекул, движущихся к ней в

направлении оси OX, то она получит импульс 62 mM кв N 13 mM кв N .

Число молекул N можно представить как произведение их концентрации п и объема сосуда V:

Согласно основному уравнению динамики изменение импульса стенки равно импульсу силы давления F t , подействовавшей на стенку при ударе молекул:

F t 13 mM кв N 13 mM кв2 n tS

или

F 13 mM кв2 nS .

По определению давления:

p FS

или

Уравнение (65.2) называется основным уравнением кинетической теории идеального газа или уравнением Клаузиуса. Оно устанавливает зависимость давления идеального газа от массы его молекул, концентрации и их средней квадратичной скорости.

Установим связь давления идеального газа со средней кинетической энергией поступательного движения его молекул. Для этого умножим и разделим правую часть уравнения (65.2) на 2:

Уравнение (65.3) представляет собой иную запись основного уравнения кинетической теории идеального газа.

Поскольку плотность газа равна произведению массы одной молекулы mM и концентрации

молекул n :

mM n ,

то, подставив в уравнение (65.2) вместо mM n плотность , получим еще одно уравнение, определяющее давление идеального газа:

p13 кв2

66.УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ОБЪЕДИНЕННЫЙ ГАЗОВЫЙ ЗАКОН

Уравнение, устанавливающее зависимость между параметрами состояния данной массы идеального газа – его давлением p , объемом V и температурой T , – называется уравнением состояния идеального

газа.

Выведем уравнение состояния идеального газа, исходя из основного уравнения кинетической теории идеального газа

где mм N m – масса всего газа.

С учетом этого уравнение (66.4) можем записать так:

изданной учебной литературе постоянная R называется универсальной газовой постоянной.

Поскольку Vm – плотность газа, то уравнение состояния идеального газа можно записать так:

Уравнение состояния идеального газа вывел русский ученый Д. И. Менделеев в 1874 г., исходя из полученного на сорок лет раньше французским физиком Б. Клапейроном объединенного газового закона:

Объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона): произведение давления данной массы идеального газа на его объем, деленное на абсолютную температуру, есть величина постоянная.

Объединенный газовый закон можно непосредственно получить из уравнения МенделееваКлапейрона, если записать его применительно к двум состояниям одной и той же массы одного и того же идеального газа. Пусть первое состояние газа характеризуется параметрами p1 , V1 и T1 , а второе –

параметрами p2 , V2 и T2 . Тогда

Поделив эти уравнения друг на друга, получим:

Поскольку объединенный газовый закон также устанавливает соотношение между параметрами состояния газа, уравнение (66.7) называют также уравнением состояния идеального газа.

Мы вывели уравнение Клапейрона (или объединенный газовый закон), исходя из уравнения Менделеева-Клапейрона. Исторически же было наоборот: как мы уже упомянули, Д. И. 0Менделеев вывел уравнение (66.6) из уравнения Клапейрона (66.5). Покажем, как это можно сделать. Возьмем 1

67. СВЯЗЬ СРЕДНЕЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА С ЕГО ТЕМПЕРАТУРОЙ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АБСОЛЮТНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ. СВЯЗЬ ДАВЛЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА С КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ЕГО МОЛЕКУЛ И АБСОЛЮТНОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ

Определим соотношение между средней кинетической энергией теплового движения молекул EК

идеального газа и его абсолютной температурой T . Согласно основному уравнению кинетической теории идеального газа

Из п. 66 позаимствуем уравнение состояния идеального газа для одного моля:

Приравняв правые части формул (67.1) и (67.2), получим:

Здесь R – молярная газовая постоянная, n – концентрация молекул, Vмоля – объем одного моля газа.

Произведение концентрации n , т. е. числа молекул в единице объема, и объема одного моля газа равно числу молекул в одном моле, т. е. числу Авогадро N A :

Заменив в предыдущей формуле отношение молярной газовой постоянной к числу Авогадро постоянной Больцмана, получим формулу, раскрывающую физический смысл абсолютной температуры,

Физический смысл абсолютной температуры: абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Это утверждение справедливо для всех веществ в любом агрегатном состоянии.

Таким образом, температура хоть и является макропараметром, но одновременно имеет смысл и микропараметра: она прямо пропорциональна средней кинетической энергии теплового движения одной молекулы. Поэтому в некоторых учебниках физики энергию теплового движения молекул выражают и в

кельвинах, и в джоулях, считая, что

1 К = 1,38∙10-23 Дж и 1 Дж = 7,25∙1022 К.

Но при этом надо помнить, что все же температура и энергия – разные величины и поэтому измеряются в разных единицах.

Из формулы (67.3) следует, что когда

Физический смысл постоянной Больцмана: постоянная Больцмана показывает, что при температуре идеального газа 23 K средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул равна

1,38∙10-23 Дж.

Установим связь между давлением идеального газа, его концентрацией и абсолютной температурой.

Давление идеального газа прямо пропорционально концентраций этого газа и его абсолютной температуре.

Еще раз подчеркнем, что все соотношения, полученные в п. 66-67, применимы лишь к газам, близким к идеальным, т. е. находящимся под низким давлением и при высокой температуре. К реальным газам, находящимся при нормальных условиях, их можно применять приближенно. К газам под высоким давлением и при низких температурах они неприменимы.

68. ИЗОПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ. ОСНОВНЫЕ ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ И ИХ ГРАФИКИ

Изопроцессами в газах называются процессы, при которых один из параметров состояния: давление, объем или температура, остается неизменным в течение всего процесса. Закономерности, наблюдаемые в газах при изопроцессах, называют газовыми законами. В курсе физики средней школы изучают изотермический, изобарный и изохорный процессы, наблюдаемые в идеальном газе неизменной массы, и соответствующие этим процессам законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля.

1. Закон Бойля-Мариотта. Изотермический процесс.

Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при постоянной температуре (от греч. изос – равный, термо – тепло). В середине XVII века английский физик Р. Бойль и французский физик Э. Мариотт, экспериментально изучив изотермический процесс в идеальном газе данной массы, открыли закон, названный законом Бойля-Мариотта.

Закон Бойля-Мариотта: при постоянной температуре давление данной массы идеального газа обратно пропорционально его объему,

Другая формулировка закона Бойля-Мариотта: при постоянной температуре произведение давления данной массы идеального газа и его объема есть величина постоянная.

Закон Бойля-Мариотта был открыт задолго до создания молекулярно-кинетической теории строения вещества. С её созданием он получил теоретическое обоснование. Действительно, если температура T данной массы m идеального газа с молярной массой M остаются неизменными, то уравнения 2-х состояний идеального газа с параметрами p1 , V1 и p2 , V2 можно записать так:

p1V1 p2V2

Объясним закон Бойля-Мариотта с позиций молекулярно-кинетической теории строения вещества. При сжатии газа, т. е. уменьшении его объема, увеличивается концентрация и плотность газа, вследствие чего возрастает число ударов молекул газа о стенки сосуда, в которых газ находится. А поскольку давление газа это суммарная сила ударов его молекул о единицу площади поверхности сосуда, то оно при этом возрастает. И наоборот, с расширением газа общее число соударений молекул со стенками уменьшается, поэтому давление ослабевает.

Рассмотрим графики изотермического процесса в координатных осях p V , p T

(рис. 68-1).

На рис. 68-1, а точка 1 соответствует некоторому состоянию газа с параметрами p1 и V1 . Если увеличить давление газа вдвое, чтобы оно стало равно p2 , то согласно закону Бойля-Мариотта его объем уменьшится вдвое и станет равен V2 . Этому новому состоянию соответствует точка 2. Если наоборот, давление уменьшить вдвое до p3 по сравнению с первоначальным давлением p1 , то объем газа увеличится вдвое по сравнению с V1 и станет равен V3 . Этому состоянию соответствует точка 3. Таким

путем можно получить множество точек, соответствующих разным состояниям газа при изотермическом процессе. Если все эти точки соединить, то мы получим гиперболу, которая здесь называется изотермой. Изотерма, соответствующая меньшей температуре T1 лежит ниже и ближе к осям координат, чем

изотерма, соответствующая большей температуре T2 . Это связано с тем, что при одинаковом объеме

большей температуре соответствует большее давление. Поскольку при этом процессе температура не меняется, то в координатах V T (рис. 68-1, б) и p T (рис. 68-1, в) изотермы представляют собой

прямые линии, параллельные оси ординат (на рис. 68-1, б это ось объемов, а на рис. 68-1, в – ось давлений).

Реальный процесс в реальном газе можно считать изотермическим, если он протекает очень медленно, столь медленно, что изменением температуры газа за некоторый малый промежуток времени можно пренебречь.

2. Закон Гей-Люссака. Изобарный процесс.

Французский ученый Гей-Люссак в начале XVIII века, экспериментально открыл закон, устанавливающий зависимость объема данной массы идеального газа от его температуры при неизменном давлении.

Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы идеального газа прямо пропорционален его абсолютной температуре.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным (греч. барос – давление).

Закон Гей-Люссака, как и закон Бойля-Мариотта, можно вывести из уравнения состояния идеального газа массой m с молярной массой M . Пусть при давлении p объем газа при температуре T1 был V1 , а

когда температура изобарно изменилась до T2 , объем стал равен V2 . Тогда уравнение МенделееваКлапейрона применительно к первому и второму состояниям примет вид:

С позиций молекулярно-кинетической теории закон Гей-Люссака можно обосновать следующим образом: при изобарном росте температуры увеличивается средняя кинетическая энергия молекул газа и их средняя скорость, что связано с увеличением длины свободного пробега молекул, т. е. свободного

пространства между ними. Поэтому при изобарном, т. е. свободном расширении или сжатии газа, его объем изменяется соответственно изменению температуры.

Рассмотрим графики изобарного процесса в идеальном газа, изображенные на рис. 68-2 в координатных осях V T , p V и p T .

Изобары в координатных осях V T на рис. 68-2, а представляют собой прямые, проходящие через начало координат под углом к осям координат, поскольку согласно закону Гей-Люссака объем газа V прямо пропорционален абсолютной температуре T . При этом изобары, соответствующие разным давлениям одной и той же массы идеального газа на одном графике выходят из одной и той же точки – начала координат, поэтому они не могут быть параллельными друг другу. Изобара, соответствующая более высокому давлению p1 лежит ниже изобары, соответствующей меньшему давлению p2 , так как

при неизменной температуре большему давлению соответствует меньший объем газа.

Поскольку абсолютный нуль недостижим и, кроме того, давление и объём газа не могут быть равны нулю, изобары на рис. 68-2, равно как и изотермы на рис. 68-1 (и изохоры на рис. 68-4) при их приближении к началу или осям координат советуем изображать штриховой линией.

Изобары в координатных осях p V (рис. 68-2, б) и p T (рис. 68-2, в) представляют собой прямые,

параллельные оси абсцисс, поскольку координатар остается постоянной в течение всего процесса. Подчеркнем еще раз, что изобарным является процесс, протекающий в газе так, что газ может свободно расширяться. Поэтому, если сказано, что газ свободно изменял свой объем и при этом внешние силы, оказывающие на него давление, остались прежними, значит, в нем протекал изобарный процесс.

Если ввести в закон Гей-Люссака вместо абсолютной температуры T температуру по шкале Цельсия t C , то формула, выражающая этот закон, примет следующий вид:

На рис. 68-3 показана изобара, соответствующая уравнению, приведенному выше.

3. Закон Шарля. Изохорный процесс

Французский ученый Шарль в середине XVIII века экспериментально открыл закон, устанавливающий зависимость давления газа от его температуры при неизменном объеме газа.

Закон Шарля: при постоянном объеме давление данной массы идеального газа прямо пропорционально его абсолютной температуре,

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным процессом (греч. хорос – объем).

Как и два предыдущих закона, закон Шарля можно получить из уравнения Менделеева-Клапейрона для двух состояний одной и той же массы газа при неизменном объеме:

С позиции молекулярно-кинетической теории закон Шарля можно обосновать следующим образом: если увеличить температуру газа, не давая ему расширяться, т. е. поместив газ в закрытый сосуд, то с ростом средней кинетической энергии его молекул будут усиливаться их удары о стенки сосуда, т. е. будет увеличиваться давление газа.

Рассмотрим графики изохорного процесса в координатных осях p T , p V и V T , изображенные на рис. 68-4.

Рис. 68-4

Поскольку согласно закону Шарля при изохорном процессе между давлением газа и его температурой существует прямо пропорциональная зависимость, графически изохоры в осях координат p T представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат под углом к осям

координат (рис. 68.4, а). При этом изохоры, соответствующие разным объемам, выходят из начала координат – точки 0, поскольку при абсолютном нуле согласно закону Шарля объем газа тоже должен стать равным нулю, что невозможно, ибо тогда молекулы расположатся вплотную друг к другу и не смогут двигаться. Но их движение вечно и неуничтожимо. Поэтому изохоры на рис. 68-4, а не могут быть параллельными друг другу. Кроме того, изохора, соответствующая большему объему V1 , лежит ниже

изохоры, соответствующей меньшему объему V2 , так как при неизменной температуре большему

давлению соответствует меньший объем газа согласно закону Бойля-Мариотта.

Изохора в координатных осях p V (рис. 68-4, б) параллельна оси ординат 0 p , так как V const ,

показывающая линейную зависимость давления идеального газа от температуры по шкале Цельсия при неизменном объеме.

69. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

Идеальным газом мы назвали газ, у которого можно пренебречь размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии. Можно ли считать воздух идеальным газом при нормальных условиях или условиях близких к ним? Согласно числу Лошмидта в 1 см3 воздуха при нормальных условиях содержится порядка 1019 молекул. Диаметр молекулы порядка 10-10 м = 10-8 см, значит, объем молекулы порядка (10-8)3 см3 = 10-24 см3. Следовательно, все 1019 молекул займут объем порядка 10-24 ∙ 1019 = 10-5 см3, т. е. одну стотысячную часть кубического сантиметра, остальное пространство будет пустым. В таких условиях молекулы летают на огромных расстояниях друг от друга по сравнению с их диаметром, и, конечно, такой газ вполне можно считать идеальным. Если же увеличить давление по сравнению с нормальным в 5000 раз, то согласно закону Бойля-Мариотта объем бывшего кубического

там останется прежним, поэтому и их собственный объем по-прежнему будет порядка 10-5 см3, т. е. примерно в 10 раз меньше объема газа. А если еще учесть и пространство вокруг каждой молекулы, куда другие молекулы проникнуть не могут из-за взаимного отталкивания, то расчеты покажут, что для свободного передвижения молекулам останется всего половина получившегося после сжатия объема. И конечно, в таких условиях пренебрегать собственным объемом молекул нельзя, т. е. такой газ уже нельзя считать идеальным. Поэтому уравнение состояния идеального газа – уравнение МенделееваКлапейрона – к газу под высоким давлением неприменимо.

Чтобы описать состояние газа под высоким давлением – реального газа – нужно учесть взаимодействие молекул на расстоянии и их собственный объем. И это сделать очень непросто. До сегодняшнего дня такое уравнение применительно к любым реальным газам при любых условиях так и не получено.

В конце XIX века голландский физик И. Ван-дер-Ваальс показал, что для записи уравнения состояния газа под высоким давлением и при низких температурах, когда кинетическая энергия молекул газа мала и им трудно сблизиться из-за взаимного отталкивания, необходимо учитывать не только отталкивание молекул при их сближении, но и притяжение их друг к другу, когда молекулы находятся на небольших расстояниях друг от друга.

Когда молекула находится вблизи стенки сосуда, в котором заключен газ, то остальные молекулы, действуя на нее все вместе, притягивают ее к себе, т. е. внутрь газа от стенки, из-за чего давление реального газа p меньше, чем идеального pид , на некоторую величину p , поэтому p pид p или

pид p p .

Кроме того, из-за собственного объема молекул газа под высоким давлением объем самого газа уменьшается на некоторую величину b . Поэтому бывшее уравнение состояния 1 моля идеального газа pидV RT применительно к газу под высоким давлением и при низкой температуре следует записать так:

Уравнение (69.1) или (69.2) назвали уравнением Ван-дер-Ваальса для одного моля реального газа. Оно дает качественное объяснение отличий реального газа от идеального, но описывает состояние реального газа не при любых параметрах, а лишь при некоторых. На практике для описания состояния разных реальных газов при различных параметрах используют более сложные уравнения, применимые к каждому конкретному случаю.

70. ИЗОТЕРМЫ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА И ИЗОТЕРМЫ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА

Графиком изотермы идеального газа в координатах p V является гипербола (рис. 70-1). При этом согласно закону Бойля-Мариотта одному значению давления р соответствует только одно значение объема V .

Теперь обратимся к уравнению Ван-дер-Ваальса. Перепишем уравнение (69.2) в виде:

pVмоль2 pb RT Vмоль2 aVмоль ab 0 .

Мы получили кубическое уравнение, устанавливающее связь давления p с объемом газа V . Графиком полученного уравнения является кубическая парабола (рис. 70-1). Из рис. 70-1 видно, что одному значению давления p1 здесь соответствует три значения объема V1 , V2 и V3 .

реального газа лишь на участках 1-2 и 6-7 совпадает с изотермой Ван-дер-Ваальса, показанной на рис. 70- 1, а на остальных участках графика теория не соответствует опыту. Давайте разберемся, почему так происходит.

Когда давление газа мало, а его объем велик (точка 1), сжимаемый газ ведет себя подобно идеальному – участок 1-2 графика. Мы видим, что, как и у идеального газа, графиком 1-2 – является гипербола.

Но, когда газ (пар) оказывается сжатым до объема V1 , он переходит в состояние, которое называют

насыщением, а сам газ или пар – насыщенным паром. Позднее мы подробно рассмотрим, в чем состоят особенности этого состояния. А пока заметим, что при дальнейшем сжатии уже насыщенного пара его давление p1 остается неизменным (участок 2-4-6 на рис. 70-2). Но почему так происходит, ведь мы

уменьшаем объем пара и его молекулам становится все «теснее» и «теснее», поэтому давление, казалось бы, должно расти и расти?

Объяснение следующее: при сжатии насыщенного пара он постепенно конденсируется, т. е. переходит в жидкое состояние, причем так, что давление оставшегося над этой жидкостью насыщенного пара не изменяется, поэтому на рис. 70-2 изотерма 2-4-6 идет параллельно оси объемов.

Когда насыщенный пар будет сжат так, что его объем станет равен V3 , он весь превратится в

жидкость (точка 6). Дальнейшая попытка сжать эту жидкость приведет к резкому росту давления (участок 6-7). Это объясняется тем, что жидкости практически несжимаемы, поэтому участок 6-7 идет почти параллельно оси давлений.

Однако, если газ или пар очистить от пылинок, заряженных частиц и примесей, которые могут стать центрами конденсации, то, быстро сжимая его без встряхивания, можно реализовать участок 2-3, изображенный на рис. 70-2 штриховой линией. Такое состояние газа неустойчивое, поэтому его называют метастабильным. Малейшее встряхивание или толчок в стенку сосуда с газом или паром приведет к быстрой конденсации. Если в такой пар (он называется пересыщенным) влетит заряженная частица, то по ее следу образуются крошечные капельки жидкости – трек частицы. Поэтому пересыщенный пар применяется в камере Вильсона для наблюдения треков элементарных частиц.

Если жидкость, очищенную от примесей, которые могут стать центрами парообразования, взять в состоянии, изображенном на рис. 70-2 точкой 6, и быстро, не встряхивая, нагреть, то можно осуществить участок 6-5, на котором она останется только жидкостью без образования насыщенного пара над ней. Такая жидкость называется перегретой. Состояние перегретой жидкости тоже является метастабильным, т. е. неустойчивым, малейшее встряхивание ведет к ее бурному вскипанию и появлению насыщенного