x |
= |
1 |
. |
(17) |
y |
|
|||
|
y |
|
||
Так как функция x = g( y) Переходя к пределу при получим:
g′( y0 ) = lim |
x |
= |
1 |
|
y |
|
y |
||
y→0 |
|
lim |
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
y→0 |
x
|
непрерывна, то x →0 при y → 0. |
||||||
y →0 |
в обеих частях равенства (17), |
||||||
= |
1 |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
lim |
y |
f |
′ |
|||
|
|
x |
(x0 ) |
|
|||
|
|
x→0 |
|
|
|
||
Производные обратных тригонометрических функций
1.Производная функции y = arcsin x.
Рассмотрим функцию |
|
y = arcsin x, |
определенную на интер- |
||||||||||||||||
вале −1 < x <1. Она является обратной для функции |
|
x = sin y, |
|||||||||||||||||
определенной на интервале |
− π |
< y < π |
. |
Из формулы |
(16) сле- |
||||||||||||||
дует, что |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
y′x = (arcsin x)′ = |
|
= |
= |
|
|
= |
|
= |
. |
||||||||||
x′y |
|
|
(sin y)′ |
cos y |
|
1−sin2 y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|||||||||
Из основного тригонометрического тождества |
|
|
|
||||||||||||||||
sin2 y +cos2 y =1 |
следует, что cos y = + 1−sin2 y , |
так как |
|||||||||||||||||
cos y > 0 при |
− π |
|
< y < |
π . |
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin x)′ = |
|
1 |
|
, |
−1 < x <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1− x2
2.Производная функции y = arccos x.
Так как arccos x = |
π |
−arcsin x, |
то |
|
|
|||
|
|
|
2 |
′ |
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
||
(arccos x)′ = |
2 |
−arcsin x = − |
|
, |
−1 < x <1. |
|||
1− x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
73
|
3.Производная функции y = arctgx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Функция |
y = arctgx, |
определенная на бесконечной прямой |
||||||||||||||||||||||||
|
−∞ < x < +∞, |
является обратной для функции |
x =tgy, опре- |
||||||||||||||||||||||||
|
деленной на интервале − π |
< y < |
π |
. Из формулы (16) следу- |
|||||||||||||||||||||||
|
ет, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
y′x = (arctgx)′ = |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||
x′ |
(tgy)′ |
|
1 |
|
|
|
2 |
y +cos |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cos |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2 y +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Итак, |
(arctgx)′ = |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.Производная функции y = arcctgx.
Так как arcctgx = |
π |
−arctgx, |
то |
|
||||
|
|
|
|
2 |
′ |
|
|
|
′ |
|
π |
|
|
1 |
|
||
(arcctgx) |
= |
|
−arctgx = − |
|
. |
|||
2 |
1+ x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Производная функции, заданной параметрическими |
||||||||
|
|
|
|
|
уравнениями |
|||
Теорема. Пусть зависимость между аргументом х и
функцией у задана параметрическими уравнениями: |
|
x =ϕ(t), |
t (a,b), |
|
|
y =ψ(t), |
|
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. |
||||
Пусть функции ϕ(t) |
и |
ψ |
(t) имеют производные в некоторой |
|
точке t (a,b) : yt′ |
=ψ′(t), |
xt′ =ϕ′(t)≠ 0. |
Кроме того, функция |
|
x =ϕ(t) в окрестности |
точки t имеет |
обратную функцию |
||
t = g(x).
74
Тогда определенная параметрическими уравнениями функция y=f(x) также имеет производную в точке x =ϕ(t), причем
y'x = y't . x't
Доказательство.
Рассмотрим дифференциал функции y = f (x) : dy = y′x dx. В силу свойства инвариантности формы дифференциала можно
записать равенства: |
′ |
dy |
, |
dy =ψ |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
yx = |
dx |
(t)dt, dx =ϕ (t)dt. Из этих |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенств получим выражение для производной: |
y′x = |
ψ′(t) |
= |
yt′ |
. |
|||||
ϕ′(t) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xt′ |
||
Наклонные асимптоты
Теорема. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при x→+∞ наклонную асимптоту y=kx+b , необходимо и достаточ-
но, чтобы существовали пределы |
|
|||
lim |
f (x) |
= k; |
(18) |
|
x |
||||
x→+∞ |
|
|
||
lim ( f (x) −kx) =b.
x→+∞
Лемма. График функции птоту y =kx +b при x → +∞
ция представима в виде f (x) = kx +b +α(x),
где xlim→+∞α(x) = 0.
(19)
y = f (x) имеет наклонную асимтогда и только тогда, когда функ-
(20)
Доказательство леммы.
Пусть M (x, y) - точка, лежащая на графике функции, а N (x, y) - точка, лежащая на асимптоте. Пусть точка P - основа-
ние перпендикуляра, опущенного из точки M на асимптоту. Длина отрезка MP равна расстоянию от точки M до асимптоты.
По определению, прямая y = kx +b является наклонной асимптотой, если
75
lim MP = 0. |
(21) |
||
x→+∞ |
MNP |
||
Пусть ϕ − угол наклона асимптоты к оси Ox, тогда из |
|||
(рис. 50) найдем: |
|
||
NM = |
MP |
. |
|
|
|
||
|
cosϕ |
|
|
Y
|
·M |
|
|
N |
T ·P |
O |
· |
X |
x |
||
Рис. 50
С другой стороны,
NM = TM −TN = y − y = f (x) −(kx +b) .
Равенство (21) выполняется тогда и только тогда, когда
lim NM = |
lim |
|
f (x) −(kx +b) |
|
= 0. |
|
|
||||
x→+∞ |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
Из последнего равенства по определению бесконечно малой функции следует, что
f (x) −(kx +b) =α(x), lim α(x) = 0.
x→+∞
Таким образом, f (x) = kx +b +α(x).
Доказательство теоремы.
76
|
Необходимость. Пусть график функции |
y = f (x) имеет |
|||||||||||||
при |
x → +∞ асимптоту |
y = kx +b. Тогда по лемме выполняется |
|||||||||||||
равенство |
f (x) = kx +b +α(x), |
|
lim |
α(x) = 0. Найдем пределы: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
||
|
f (x) |
|
|
kx +b +α(x) |
|
|
|
b |
|
α(x) |
|
||||
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
lim k + |
|
|
+ |
|
= k; |
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
x |
||||||||
x→+∞ |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
||||||
lim (f (x) −kx)= lim (kx +b +α(x) −kx)= |
lim (b +α(x))= b. |
||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|||||
|
Достаточность. Из равенства (19) |
по теореме о связи |
|||||||||||||
предела и бесконечно малой функции следует, что |
|
||||||||||||||
f (x) −kx = b +α(x), |
lim |
α(x) = 0 .То есть |
f (x) = kx +b +α(x) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, прямая |
y = kx +b |
по лемме является наклон- |
|||||||||||||
ной асимптотой графика функции |
y = f (x). |
|
|
||||||||||||
|
Аналогично доказывается теорема для случая x → −∞. |
||||||||||||||
77