Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-14
.pdf
Теорема 2
Имеется два набора векторов a1; a2; : : : ; ak и e1; e2; : : : ; ek связанных матрицей A
a1 a2 : : : ak = e1 e2 : : : ek A .
Тогда V(a1; a2; : : : ; ak) = V(e1; e2; : : : ; ek) j det Aj.
J Пусть |
h1; h2; : : : ; hk |
некоторый ортонормированный базис |
|
|
|
иe1 e2 : : : ek = h1 h2 : : : hk B,
тогда V(e1; e2; : : : ; ek) = j det Bj и
a1 a2 : : : ak = h1 h2 : : : hk BA.
Поэтому V(a1; a2; : : : ; ak) = j det BAj = j det Bj j det Aj =
= V(e1; e2; : : : ; ek) j det Aj. I
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
11 / 23 |
Следствие
Имеется два базиса e1; e2; : : : ; en и e1; e2; : : : ; en
связанных матрицей перехода C
e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en C.
Тогда j det Cj = V(e1; e2; : : : ; en) .
V(e1; e2; : : : ; en)
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
12 / 23 |
Ориентированный объём параллелепипеда
Пусть теперь евклидово пространство V ориентировано. Можно ввести ориентированный объём параллелепипеда, построенного на векторах a1; a2; : : : ; an
обозначение (a1; a2; : : : ; an) :
1 |
если векторы |
a1; a2; : : : ; an |
линейно зависимы |
|
то, (a1; a2; : : : ; an) = 0 |
|
|
2 |
если векторы |
a1; a2; : : : ; an |
положительно ориентированы |
|
(a1; a2; : : : ; an) = V(a1; a2; : : : ; an) |
||
3если векторы a1; a2; : : : ; an отрицательно ориентированы
то, (a1; a2; : : : ; an) = V(a1; a2; : : : ; an)
(a1; a2; : : : ; an) = V(a1; a2; : : : ; an)
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
13 / 23 |
Теорема 1e
Базис e1; e2; : : : ; en ортонормированный, положительно ориентированный.
Векторы a1; a2; : : : ; an 2 V и
a1 a2 : : : an = e1 e2 : : : en A . Тогда (a1; a2; : : : ; an) = det A .
Теорема 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеется e |
|
|
a |
1 |
; a |
2 |
; : : : ; a |
n |
и |
|
два набора векторов |
|
|
|
|
||||||
e1; e2; : : : ; en |
связанных матрицей A |
|
|
|
||||||
a1 a2 : : : an = e1 e2 : : : en A . |
|
|
|
|||||||
Тогда (a1; a2; : : : ; an) = (e1; e2; : : : ; en) det A . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналитическая геометрия |
(1-ый сем.) |
|
|
Лекция 14 |
|
|
3 декабря 2011 г. 14 / 23 |
|||
Следствие
Имеется два базиса e1; e2; : : : ; en и e1; e2; : : : ; en связанных матрицей перехода C
e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en C.
Тогда det C = (e1; e2; : : : ; en) .
(e1; e2; : : : ; en)
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
15 / 23 |
Упр. Показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(a1; a2; : : : ; an)(b1; b2; : : : ; bn) = |
|
; bni |
3 . |
||||||||||||
= det |
2ha2 |
; b1i |
ha2 |
; b2i |
|
ha2 |
|||||||||
|
6h |
a1 |
; b1 |
|
|
a1 |
; b2 |
|
|
|
a1 |
; bn |
i7 |
||
|
|
i h |
|
i |
|
h |
|
||||||||
|
6 an; b1 |
i h |
an; b2 |
i h |
an; bn |
|
7 |
||||||||
|
4h |
|
|
|
|
|
|
|
i5 |
||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
16 / 23 |
Резюме
|
k |
Y |
(a1; a2; : : : ; ak) = na 2 V : a = j=1 jaj ; 0 j 1o |
X |
назовём параллелепипедом, построенным на векторах a1; a2; : : : ; ak.
Объём параллелепипеда, построенного на векторах a1; a2; : : : ; ak обозначим V(a1; a2; : : : ; ak).
Определение
Если векторы a1; a2; : : : ; ak линейно зависимыми, то
V(a1; a2; : : : ; ak) = 0.
Если векторы a1; a2; : : : ; ak линейно независимыми, то по индукции: V(a1) = ja1j,
V(a1; a2; : : : ; ak) = V(a1; a2; : : : ; ak 1) h(a1; a2; : : : ; ak).
V(a1; a2; : : : ; ak) = 0 () a1; a2; : : : ; ak линейно зависимы.
Теорема 1
Пусть a1; a2; : : : ; an векторы,
e1; e2; : : : ; en ортонормированный базис и
|
a |
1 |
a |
2 |
a |
3 |
: : : a |
n |
|
e |
1 |
e |
2 |
e |
3 |
: : : e |
n |
a11 |
a12 a13 |
|
a1n |
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
A т.е. , |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a21 a22 a23 |
a2n |
|||||||
|
a1 |
a2 |
a3 |
: : : an |
= e1 |
e2 |
e3 |
: : : en |
6a31 a32 a33 |
|
a3n |
7. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6a |
a |
n2 |
a |
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 n1 |
|
n3 |
|
nn7 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Тогда V(a1; a2; : : : ; an) = j det Aj.
Следствия
Независимость объёма параллелепипеда V(a1; a2; : : : ; an) от порядка векторов.
Геометрическая интерпретация величины определителя.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
18 / 23 |
Определим матрицу Грама набора векторов:
2a2 |
3 |
|
|
|
a1 |
7 |
|
ak |
|
G(a1; a2; : : : ; ak) = 6 ... |
a1 a2 |
= |
||
6a |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
6 k |
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
= |
2ha2 |
; a1i |
ha2 |
; a2i |
ha2 |
; aki3. |
|||||||
|
ha1 |
; a1i |
ha1 |
; a2i |
ha1 |
; aki |
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
6 |
ak |
; a1 |
i |
h |
ak |
; a2 |
i |
|
h |
ak |
; ak |
7 |
|
4h |
|
|
|
|
|
|
i5 |
|||||
Упр. Векторы fa1; a2; : : : ; akg линейно зависимы ()
() det G(a1; a2; : : : ; ak) = 0 .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
19 / 23 |
Утверждение
V(a1; a2; : : : ; ak) = pdet G(a1; a2; : : : ; ak).
Теорема 2
Имеется два набора векторов a1; a2; : : : ; ak и e1; e2; : : : ; ek связанных матрицей A
a1 a2 : : : ak = e1 e2 : : : ek A .
Тогда V(a1; a2; : : : ; ak) = V(e1; e2; : : : ; ek) j det Aj.
Следствие
Имеется два базиса e1; e2; : : : ; en и e1; e2; : : : ; en
связанных матрицей перехода C
e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en C .
Тогда j det Cj = V(e1; e2; : : : ; en) .
V(e1; e2; : : : ; en)