Высшая математика

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

2. Определить плоскость, касательную к поверхности х2+4у2+z2=36 и параллельную плоскости х+у-z=0.

Билет 6.

1.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

2.Найти решение уравнения y| cos x = lnyy , удовлетворяющее условию у(0)=1.

Билет 7.

1.Частные производные, дифференцируемость и дифференциалы первого порядка функции двух переменных.

2.Найти углы с осями координат нормали к поверхности конуса х2+у2=z2 в точке

(3;4;5).

3.Исследовать сходимость ряда 2x1−3 − (2x3−3) + (2x5−3) +...

Билет 8.

1. Признак Даламбера сходимости ряда.

Билет 9.

1.Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости.

2.Исследовать функцию на экстремум: z=x2-xy+y2+9x-6y.

3.Найти решение уравнения у|||=xsinx, удовлетворяющее начальным условиям:

у(0)=0, y|(0)=0, y||(0)=2.

330

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Билет 10.

1.Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

2.Решить уравнение (х2+2ху)dx+xydy=0.

+∞sin x

3. Исследовать сходимость интеграла ∫1 ex dx .

Билет 11.

Билет 12.

1. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

1 при xy> 0 2. Построить график функции z=f(x,y)= 0 при xy= 0 .

-1 при xy< 0 3. Решить уравнение xy+y2=(2x2+xy)×y|.

Билет 13.

1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Теорема существования.

2.Вычислить ∫∫(x − y)dxdy , если область D ограничена линиями: y=2-x2, y=2x-1.

D

3. Найти dydx из уравнения xy+lny+lnx=0.

Билет 14.

1. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл.

331

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

2. Показать, что функция u=xe-y/x удовлетворяет дифференциальному уравнению

Билет 15.

1. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравне-

ния.

3.Найти угловой коэффициент касательной к кривой y2-xy=4 в точках пересечения

еес прямой х=3.

Билет 16.

1. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициен-

тами.

2.Переменить порядок интегрирования ∫dx ∫f (x, y)dy .

10

3.Найти сумму ряда 1+2х+3х2+... (|х|<1), продифференцировав почленно ряд

1+x+x2+... (|x|<1).

Билет 17.

1. Производная по направлению. Градиент. 2. Решить уравнение (1+e2x)y2dy=exdx.

3. Исследовать сходимость степенного ряда: x2 + x4 + x6 +...+ x8 +...

2 3 4

Билет 18.

1.Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.

2.Найти производную функции u=ln(ex+ey) в направлении, параллельном биссектрисе координатного угла (1-я четверть).

3.Найти решение уравнения y||=xe-x, удовлетворяющее условиям: у(0)=1, y|(0)=0.

332

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Билет 19.

1.Абсолютная и условная сходимость ряда. Признак Лейбница.

2.Написать уравнение касательной плоскости к поверхности az=x2+y2 в точках пересечния ее с прямой x=y=z.

3.Решить уравнение y|+2xy=xe-x2.

Билет 20.

1. Линейные уравнения второго порядка. Структура общего решения.

Билет 21.

1. Производная интеграла Римана по верхнему пределу. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

3. Найти частные производные второго порядка функции u = 3xt .

Билет 22.

1.Интегральный признак Коши сходимости ряда.

2.Написать уравнения нормали в точке (3;4;5) к поверхности конуса x2+y2=z2.

3.Решить уравнение xy|-y=x2cosx.

Билет 23.

1.Производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.

2.Разложить lnx в ряд по степеням (x-1).

3.Найти решение уравнения y||+y=3sinx, удовлетворяющее краевым условиям:

333

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Билет 24.

1.Функции двух переменных. Метод сечений. Поверхности второго порядка, исследование их формы методом сечений.

2.Решить уравнение y||+y|-2y=cosx-3sinx. Начальные условия: у(0)=1; Y|(0)=2.

3.Разложить в степенной ряд функцию f(x)=sin2x.

Билет 25.

1.Применения рядов Тейлора и Маклорена.

2.Написать уравнения нормали к поверхности x2+y2-(z-5)2=0 в точке (4;3;0)

3.Решить уравнение y| + 2xy = 3x2 y4 3 .

Билет 26.

1.Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема существования. Понижение порядка.

2.Построить линии уровня функции z=xy.

334

точные для: коллинеарности двух векторов, перпендикулярности (ортогональности) двух векторов, компланарности трех векторов.

Уметь: решать задачи, связанные с линейными и нелинейными операциями с векторами, приобрести навыки применения аппарата векторной алгебры для решения геометрических задач.

При изучении темы 1 необходимо:

читать п.п. 1.1.1.–1.1.3. учебника «Высшая математика» (Никишкин В.А., Максюков Н.И., Малахов А.Н.)

решить задачи № 372–449 из «Сборника задач по Высшей математике» Минорского.

Вопросы и задания для самооценки:

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: вектором, равными векторами, коллинеарными векторами, компланарными векторами, суммой векторов, произведением вектора на скаляр, разностью векторов, координатами вектора в базисе, скалярным произведением векторов, векторным произведением векторов, смешанным произведением векторов.

ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА: суммы векторов, произведения вектора на скаляр, скалярного произведения векторов, векторного произведения векторов, смешанного произведения векторов.

СФОРМУЛИРОВАТЬ НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ: коллинеарности векторов, ортогональности (перпендикулярности) векторов, компланарности векторов.

ЗАПИСАТЬ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ: линейную комбинацию векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов.

ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ: косинуса угла между векторами, площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, объема параллелепипеда, построенного на трех векторах

Тема 2. Геометрия на плоскости и в пространстве

Цель изучения – понять возможность представления геометрических образов в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих линейным и квадратным уравнениям в прямоугольной системе координат; познакомиться с полярной системой координат; понять возможность представления поверхностей и линий в форме уравнений или систем уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих линейным и квадратным уравнениям в прямоугольной системе координат.

Данная тема включает понятия:

•линия, соответствующая уравнению F(x,y)=0 в прямоугольной системе координат, линия, соответствующая уравнению F(r,ϕ)=0 в полярной системе координат,

•виды уравнения прямой в прямоугольной системе координат (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное),

337

•канонические уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола),

•параллельный перенос прямоугольной системы координат.

•поверхность, соответствующая уравнению F(x,y,z)=0 в прямоугольной системе координат, геометрический образ, соответствующий системе уравнений,

•соответствие линейного уравнения и плоскости,

•нормальный вектор и направляющие вектора плоскости,

•нормальное уравнение плоскости,

•поверхности второго порядка соответствующие уравнениям второго порядка, в пространственной прямоугольной системе координат.

Изучив тему 2, студент должен:

Знать основные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное, общего вида) в прямоугольной системе координат и геометрический смысл коэффициентов этих уравнений, способ определения угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых, определения, канонические уравнения и геометрические свойства окружности, эллипса, гиперболы, параболы, изменение вида уравнения линии при параллельном переносе прямоугольной декартовой системы координат. Основные два способа задания плоскости в пространстве (точка и нормальный вектор, точка и два направляющие вектора) и вид уравнения плоскости в каждом случае, особенность нормального уравнения плоскости и его применение для вычисления расстояния от точки до плоскости, способ определения угла между плоскостями, канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве; канонические уравнения и геометрические свойства сферы, эллипсоида, гиперболоида, параболоида, особенность уравнения цилиндрической поверхности с образующей, параллельной одной из координатных осей.

Уметь: решать геометрические задачи, связанные с прямой и кривыми второго порядка, решать геометрические задачи, связанные с прямой и плоскостью в пространстве.

Приобрести навыки определения формы линии, заданной уравнением в прямоугольной и полярной системах координат, определения формы поверхности, заданной уравнением в прямоугольной и цилиндрической системах координат

При изучении темы 2 необходимо:

читать п.п. 1.1.4–1.1.5; 1.2; 1.3 учебника «Высшая математика» (Никишкин В.А., Максюков Н.И., Малахов А.Н.).

Решить задачи 1–139; 450–535 из «Сборника задач по Высшей математике» (Минорский).

Вопросы и задания для самооценки:

Что называется: уравнением линии в системе координат, окружностью, эллипсом, гиперболой, параболой. Сформулировать геометрическое свойство кривой второго порядка, связанное с ее эксцентриситетом, записать уравнения кривых второго порядка с центром

338

(вершиной для параболы), смещенным относительно начала координат, и осями, параллельными координатным осям.

Записать формулы для вычисления косинуса угла между прямыми, тангенса угла между прямыми, расстояния от точки до прямой, эксцентриситета эллипса и гиперболы.

записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору,

записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным неколлинеарным векторам,

записать уравнение плоскости, проходящей через три точки, записать канонические, параметрические уравнения прямой, проходящей через задан-

ную точку параллельно заданному вектору, записать канонические, параметрические уравнения прямой, проходящей через две

заданные точки, записать канонические, параметрические уравнения прямой, проходящей через задан-

ную точку перпендикулярно заданной плоскости, записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельно-

сти, совпадения двух плоскостей, записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельно-

сти, пересечения двух прямых, записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельно-

сти прямой и плоскости, принадлежности прямой плоскости, записать формулы для вычисления косинуса угла между прямыми, между плоскостями, расстояния от точки до плоскости, расстояния от точки до прямой,

схематически строить поверхность, заданную уравнением первого и второго порядка

Тема 3. Вещественные и комплексные числа

Изучение этой темы позволяет освоить логическую символику, операции над множествами, процесс расширения понятия числа: натуральные числа→ целые числа→ рациональные числа, действительные числа→ комплексные числа; счетные множества; несчетные множества, континуум.

Данная тема включает в себя

1)Понятие числа. Натуральные, целые и рациональные числа. Вещественные числа, изображение вещественных чисел как точек оси координат.

2)Некоторые конкретные множества вещественных чисел.

3)Понятие о комплексных числах. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация.

4)Тригонометрическая форма комплексного числа.

Изучив данную тему, студент должен Знать

• определения натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел.

339