Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

5.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

II).	k	1	и k	2	– действительные и равные , тогда y	00	= c ek1x	+ c	2	xe k1x
							1
III). k1			и k2		– комплексные и сопряженные k1,2 =α + β i , тогда

= c eαx

cos βx + c

eαx

sin βx

для нашего случая имеем:

k 2

+ k −2 =0

(первый случай)

k1 = −2

k2 =1,

т.е. y

= c e−2 x + c

ex .

Частное решение уравнения y′′ + a1 y′ + a2 y = f (x ) для заданного вида правой части

следует искать в виде

(x ) sin bx ],

ч,н,

= x r eαx [P (x ) cos bx +Q

где r- равно показателю кратности корня d ± bi (если он совпадает с корнем харак-

теристического уравнения) и r=0, если d ± bi не совпадает с α ± βi, Pe( x ) , Qe (x ) - полные

многочлены степени 1=mах{m,n}, с неопределенными коэффициентами. Если правая часть равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части и взять их сумму. В нашем случае m=n=0 и, следовательно 1=0, тогда

yч.н. = A cos x + B cos x (d=0, b=1, т.е. d ± bi = ±i что не совпадает с корнями ха-

рактеристического многочлена). yч′.н. = A sin x + B cos x

yч′′.н. = −A cos x − B sin x подставим в исходное уравнение и получим: yч′′.н. + yч′.н. −2yч.н. =(B −3A) cos x + (−3B − A) sin x ≡cos x −3 sin x

Отсюда B −3A =1 т.е. А=0, В=1

3B + A =3

Следовательно, общее решение данного уравнения будет

y = c e−2 x + c

+ sin x .

Найдем теперь c1 и c2 , используя начальные условия:

+ c

+ sin 0 =1

c + c

c e

2c1e

+ c2 e

−2c

+ c =1

−

+ cos 0 =2

Отсюда

c =0, c

=1 и y = e x

+ sin x

- будет частным решением дифференциального

уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициен-

тами, когда правая часть его имеет вид :

f (x ) = eαx [P (x ) cos βx +Q

(x ) sin βx ]

(или является суммой функций такого вида), α и β - постоянные Qm (x ) и Pn (x ) многочлены степеней m и n. А само уравнение:

311

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

y (n) + a1 y ( n−1) + a2 y ( n−2 ) +... + an y = f (x ) (1)

Общее решение уравнения (1) будем искать как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Для определения общего решения однородного уравнения y00 составим характеристическое уравнение, соответст-

вующее данному линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, т.е.

k n + a1k n−1 + a2 k n−2 +... + an =0

Оно является уравнением n-ой степени и имеет n корней. Среди корней могут быть вещественные и комплексные, различные и кратные.

Задание 37.

Найти область сходимости ряда:

2x +

+...

2 n x n

2n −1

Применим

признак

Даламбера:

U n =

2 n x n

;U n+1

2 n+1 x n+1

. Найдем lim

U n+1

2n −1

2n +1

n→∞

U n

пусть этот предел равен 1(x ) , тогда при тех х, для которых 1(x ) <1, ряд сходится, при

тех х, для которых

1(x )

>1, ряд расходится, а при тех х, для которых

1(x )

=1, следует

провести дополнительные исследования.

2 n+1 (2n −1) x n+1

−

1(x )

= lim

lim

2 n (2n +1)x n

n→∞

т.е. при x 21 ряд сходится, при x 21 ряд расходится. Исследуем сходи-

мость ряда на границах промежутка, т.е. для тех х, при которых x = 21 .

Если х = 21 , то получаем ряд

1 + 13 + 51 + 17 +... + 2n1−1 +...

Этот числовой ряд расходится. Его можно сравнить с гармоническим

рядом	1 +		1	+... +	1
рядом	1 +	2		+... +	n
	1	2			n
	1
lim	n	=		2 по теореме о сравнении числовых рядов мы получаем, что
lim		=		2 по теореме о сравнении числовых рядов мы получаем, что
n→∞	1

2n −1

312

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

∞

исследуемый ряд расходится, т.к. гармонический ряд ∑

расходится, а

n=1 n

предел отношения n-ых членов рядов при n → ∞ равен константе, отличной от 0.

Т.е. при х =

ряд расходится. При х = −

получаем знакочередующийся ряд

(−1)n

−1 +

−

+... +

+...

2n −1

По теореме Лейбница этот ряд условно сходится. Действительно:

I). ряд знакочередующийся;

II).

U 2

...

U n

U n+1

...

(убывающий)

III). limU n = 0

n→∞

Таким образом заданный ряд сходится, если − 21 ≤ x < 21

Задание 38

Вычислить определенный интеграл ∫b																						f (x )dx		с точностью до 0,001, разложив по-
																					a
																																		0,1	ln(1 + x )
дынтегральную функцию в степенной ряд и почленно интегрируя этот ряд:																																		∫	ln(1 + x )			dx
																																		∫				dx
																																		0			x
Решение. Заменим в подынтегральном выражении 1n(1+х) его разложение в сте-
пенной ряд								1				1						1
0,1	ln(1 + x )				0,1 x −			1	x 2 +			1		x		3 −		1		x 4 +...
0,1					0,1 x −			2	x 2 +					x		3 −		4		x 4 +...
∫				dx = ∫				2			3							4					dx
∫	x			dx = ∫										x									dx
0	x			0										x
Разделим почленно на х и проинтегрируем, тогда																																		0,1
0,1	ln(1 + x )			0,1				1			1						1								x	2		x	3		x	4		0,1
∫	ln(1 + x )			dx = ∫				1			1				2		1				3				x			x			x
							1 −			x +			x			−			x			+... dx		= x −			+			−			+	...			=
	x						1 −	2		x +	3		x			−	4		x			+... dx		= x −	4		+	9		−	16		+	...		0	=
0	x			0				2			3						4								4			9			16					0
= 0,1 −		1	0,01 +		1	0,001 ≈ 0,098
= 0,1 −			0,01 +			0,001 ≈ 0,098
	4			9

Докажем теперь, что выполнена требуемая точность.

Рассмотрим первый отброшенный член 19 0,001 = 90001 < 0,001

В силу следствия из теоремы Лейбница (если числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то модуль суммы остатка не превосходит модуля первого отброшенного члена).

Модуль суммы всех отбрасываемых членов не больше 90001 , т.е. вычисления про-

ведены с заданной точностью.

313

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

314

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задания для контрольных работ

1-10. Даны вершины А(Х1;Y1), В(Х2;Y2), С(Х3;Y3) треугольника АВС. Требуется

найти:

а) уравнение стороны АС б) уравнение высоты, проведенной из вершины В

в) длину высоты, проведенной из вершины А г) величина (в радианах) угла В д) уравнение биссектрисы угла В.

1.А(5;3), В(-11;-9), С(-4;15).

2.А(-7;2), В(5;-3), С(8;1).

3.А(1;-15), В(6;-3), С(2;0).

4.А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).

5.А(6;3), В(-10;-9), С(-3;15).

6.А(-9;6), В(3;1), С(6;5).

7.А(20;5), В(-4;12), С(-8;9).

8.А(-3;-7), В(2;5), С(-2;8).

9.А(10;1), В(-6;13), С(1;-11).

10.А(0;-9), В(5;3), С(1;6).

11.Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое меньше, чем от прямой Х+1=0.

12. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое больше, чем от прямой Х+1=0.

13. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(3;1) и от прямой Y+5=0.

14.Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(3;4) в два раза больше, чем от точки В(6;7).

15.Составить уравнение геометрического места точек, являющихся центрами окружностей, проходящих через точку А(3;2) и касающихся оси ОХ.

16.Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(-4;2) и касающихся оси OY.

17.Составит уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;4)

иВ(-4;4) равна 8.

18.Составить уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;-2) и В(2;4) равна 8.

19.Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое ближе к точке А(-4;3), чем к точке В(1;-2).

20.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой Х+6=0 и от начала координат.

21.Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если большая ось его равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

22. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен

3/5.

314

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

23.Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат,

сфокусами на оси ОХ, если малая его ось равна 24, а расстояние между фокусами равно

10.

24.Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координат-

ных осей, с фокусами на оси ОХ, если уравнение ассимптот: y = ±34x , а расстояние между фокусами равно 20.

25.Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если действительная ее ось равна 16, а эксцентриситет равен 5/4.

26.Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/2.

27.Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между директрисами равно 32/5, а мнимая ось равна 6.

28.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, с вершиной в начале координат, проходящей через точку

А(-1;3).

29. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY, с вершиной в начале координат, проходящей через точку

А(1;1).

30. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY, с вершиной в начале координат, проходящей через точку

А(4;8).

31-40. Даны вершины А1(X1; Y1; Z1), А2(X2; Y2; Z2), А3(X3; Y3; Z3),

А4(X4; Y4; Z4). Средствами векторной алгебры найти: а) длину ребра А1 А2 б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А3

в) площадь грани А1А2А3 г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины А4

д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А4 е) объем пирамиды А1А2А3А4

31.А1(7;0;3), А2(3;0;-1), А3(3;0;5), А4(4;3;-2).

32.А1(1;-1;6), А2(2;5;-2), А3(-3;3;3), А4(4;1;5).

33.А1(3;6;1), А2(6;1;4), А3(3;-6;10), А4(7;5;4).

34.А1(1;1;3), А2(6;1;4), А3(6;4;1), А4(0;5;6).

35.А1(4;4;5), А2(10;2;3), А3(-3;5;4), А4(6;-2;2).

36.А1(-1;2;5), А2(-4;6;4), А3(2;1;5), А4(-1;-2;2).

37.А1(2;-1;9), А2(1;1;5), А3(7;3;1), А4(2;6;-2).

38.А1(1;-2;2), А2(-1;-3;4), А3(5;5;-1), А4(2;-4;5).

39.А1(1;1;3), А2(7;1;1), А3(2;2;2), А4(4;1;-1).

40.А1(3;1;2), А2(5;0;-1), А3(0;3;6), А4(3;7;10).

41-50. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

315

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

41.Прямую x 2−1 = y 1+2 = 2z и точку А(4;6;-3).

42.Две параллельные прямые

x +1

y −1

z +5

x +1

y −1

−2

43.Три точки А(1;2;3), В(2;11;4), С(3;-2;1).

44.Две пересекающиеся прямые

x −3	=	y +2	=	z +3	и	x −3	=	y +2	=	z +3	.
3				−2		4		−1
	2									−2

45.Прямую и точку:

x −2	=	y +2	=	z +1	и А(1;2;0).
3		−2
			2

46.Прямую и точку:

x +4	=	y	=	z −1	и А(2;1;-1).
3		−2
			2

47.Две параллельные прямые:

x +3	=	y −2	=	z +4	и	x	=	y +3	=	z −1	.
2				−3		2
	3						3			−3

48.Три точки : А(3;0;-1), В(4;1;0), С(2;-5;3).

49.Две пересекающиеся прямые:

x +1

y +3

z −1

x +1

y +3

z −1

−2

50.А(2;0;-3), В(2;-5;3), С(3;-1;2).

51-60.

Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):

51.

а) lim

5x5 −x +2

б) lim

x2 −9

6x2 −16x −6

x→∞ 2x5 +3x2

x→3

в) lim

x +2 −

г) lim

1 −cos2x

x +3 −

3x sin x

x→0

(

)

(

)

д) lim x[ln 2x −1

−ln 2x −3 ].

x→+∞

52.

а) lim

3x6 −x −1

б) lim

6x2 −2x −4

4x6 +4x

5 −x

3x2 + 4x −7

x→∞

x→1

в) lim

4 −x −

4 + x

г) lim

sin 3x + sin x

x→0

д) lim

ln(1 +2x)

x→0

53.

а) lim

3x3 +2x2 −x +1

б) lim

+x −6

+4x −6

2x2

−x −6

x→∞ x3 +3x2

x→2

316

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

в) lim

3 +x − 3 −x

г) lim

−x tgx

x→0

x→π

д) lim(1 +

2x)

3+x

x→0

54.

а) lim

7x5

−3x2

+2x

б) lim

2x2

−14x +12

x5 +x −5

x2 −6x +5

x→∞

x→1

в) lim

2x +1 −

г) lim

tgx −sin x

x→3

x −2 −1

x→0

x +3 −2x

д) lim

x→∞ x

−x

55.

а) lim

−3x

+5x

б) lim

−3x +2

x→∞

x3 +10

x→1

в) lim

x +1 −

г) lim sin 6x ctg4x

x→2

3x −2 −2

x→0

д) lim(1 +

2cos x)

cos x

x→π

56.

а) lim

−2x4 +5x2 −2

б) lim

3x2 −x −14

3x4

−4x2

+16x +24

x→∞

x→−2

в) lim

x +5 −3

г) lim

cos x −cos3 x

x −2

x sin x

x→4

x→0

3x−2

д) lim

x→∞ x

57.

а) lim

2x3

б) lim

2x2 −18

x2 −6x +9

x→∞ x2 +x +1

x→3

в) lim

2x −1 −1

г) lim

1 −cos2x

x +1 − 2

x→1

x→0

д) lim 2x[ln

(

)

(

)

x +3

−ln

x −3

x→+∞

58.

а) lim

−x +2

б) lim

2x2

−12x +10

2x2

+3x +4

2x2

−11x +5

x→∞

x→5

в) lim

2x −3 −1

г) lim

x tgx

2x +3 −

1 −cos2x

x→2

x→0

д) lim(1 +4x)6/x+2 .

x→0

59.

а) lim

−4x4 +x3 +6x2

б) lim

x2 −5x +4

−x4 +x −3

3x2 +4x −7

x→∞

x→1

в) lim

x2 +9 −3

г) lim

sin 2 (x −2)

x2 +3 − 3

x2 −4x +4

x→0

x→2

317

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

д) lim(1 +3sin x)2/sin x .

x→0

60.

а) lim

x7 +x6 +2

б) lim

2x2 +x −1

−x7 −x2 +3

x2 −1

x→∞

x→−1

в) lim

3 −

г) lim

cos2x −cos2 2x

x→0

−5x

x→0

x sin 3x

д) lim

x→∞

1 +2x

61-70. Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:


			x < 0
	−2,		x < 0
61.	y = −2cos x,					0 ≤ x ≤			π
									2
	π	+x,		x > π
						2


	x, x ≤ −1						π
63.			−1 < x ≤				π
63.	y = 0.5,		−1 < x ≤				6
						π	6
						π
	sin x, x ≥					6
						6
	2,		x < −1
65.		−2x,			−1 ≤ x ≤1
65.	y = 2	−2x,			−1 ≤ x ≤1
				x >1
	ln x,			x >1

			4	−x, x < 0
	0.5		4	−x, x < 0
67.				0		≤ x ≤		π
67.	y = cos2x,			0		≤ x ≤		4
					π			4
			x	>	π
	−x,		x	>	4
					4
		+ π,		x < −π
69.	x	+ π,		x < −π
69.	y = sin x,			− π ≤ x < 0
		−2x,		x ≥ 0
	3	−2x,		x ≥ 0

71-80. Найти производные:

	x +2,			x ≤ −2
62.		−x,		−2 < x < 0
	y = 2
		2	+2,	x ≥ 0
	x

	2	−4,	x			< −1
64.	x	−4,	x			< −1
64.	y = 3x, −1 ≤ x ≤ 3
		x > 3
	5,	x > 3
			4		,	x		< −2


	66.	x				−2 ≤ x < 0
	66.	y = x,				−2 ≤ x < 0
		1 −x,						x ≥ 0


		cos x,						x ≤ −π
	68.
	68.	y = −1, − π < x ≤ 0
					x +1,				x > 0
					x +1,				x > 0
				2		−4,			x < −2
	70.	x				−4,			x < −2
	70.	y = 3x +2,							−2 ≤ x ≤ 2
						−x	2	,	x > 2
		12				−x		,	x > 2

318

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

71.

а) y =

б) y = 3

ctg2 3x

3 9x +4

+10

в)

y = ln 6

г) y =

arccos

e6x −e−6x

д) x2 sin 2y −y2 cos2x =10

72.

а) y =

4 −x3

б) y = 5sin

в)

y = ln tg3

г) y = 6arctg

1 +3x

(

)

2 = x

д)

−3x

+a 2

73.

а) y =

б) y = sin 6 10x +2cos6 10x

−2

в) y =

x +4

г) y = arctg

e2x

−e−2x

x2 −3x

д) x tgy −2x2 +3y2

= 4

74.	а) y = x −4			x2	−6
		x +4
	в) y = ln 6 1 +e6x +e4x
	д) y3	−x2	= arctg			x
						y

75.	a) y =	x2	−	x	3
			+
		x		x
	в) y = ln		tg	x2	+4
				2

	д)у2 =х2+х cos 2у.

76.а) y = 3 (2x −3)(3 −x2 )

в) y = ln( 2x2 +1 + 2x )

д) y = x2arctgx −ln x2 +1

б) y = 4 tg8x +1

г) y = 4 −x2 +arcsin 52x

б) y = esin x−2cos x (sin x cos3x)

г) y = 4arcsin	x +1
	2

sin 2 x б) y = 4

4 +cos2 4x

г) y2 = x2 +x sin y

77.	а) y =	2x2 −1	б) y = e3x (3sin 2x −3cos2x)
		x2 +1

в) y = (2 +ln sin 3x)2

319

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015217.6 Кб23Вступительные испытания в магистратуру.doc
#
05.06.20151.23 Mб17ВТБ Составление закладной .doc
#
26.08.201953.04 Кб5Выездной семинар СЧАСТЬЕ.docx
#
05.06.201526.53 Кб56Выполнить задание. Маркетинг.docx
#
26.11.2018552.96 Кб9ВЫСТУПЛЕНИЯ МИГРАЦИЯ ВОЛГУ 09.doc
#
05.06.20155.73 Mб27Высшая математика.pdf
#
28.08.201966.72 Кб24Выявление уязвимостей компьютерных сетей.docx
#
08.05.20191.1 Mб11Г. Эмерсон. 12 принципов производительности.doc
#
05.06.20154.5 Mб7631Гарбовский Н.К. - Теория перевода (2007).pdf
#
05.06.2015266.39 Кб33Генеалогическая классификация языков.pdf
#
06.05.201937.85 Кб16геология Лабораторная работа №1.docx