Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

5.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

x	(−∞;−1 − 2)	−1 − 2	(−1 − 2;−1)	1		−1;∞
				1
y′	+	0	—			+
y′′	—	—	—			—
y	вып.	мax. -0,84	вып.	ерт.	ерт.	вып.
y

				с.	с.

−1− 2 -1

1 1,25

Рис. 9

Задание 22. Найти частные производные функции z = (x +2y) e−xy

Решение: Если переменная z зависит от двух и более независимых переменных x, y, ......., u, v, то z=f(x, y, ..., u, v) называют функцией нескольких независимых переменных. Важнейшим понятием в теории функций нескольких переменных является понятие частной производной. Частная производная функции z по данной переменной, например по у,


обозначается одним из символов z′			,		∂z	,	∂f	(не путать с обозначением производной для
					∂y		∂y
		y
функции одной переменной y′,	dy	,		df		) и вычисляется в предположении, что все осталь-
	dx			dy

ные переменные являются зафиксированными, т.е. их следует рассматривать как константы. Рассмотрим пример нахождения частных производных от заданной функции несколь-

ких переменных (в частности, двух) переменных. z = (x +2y) e−xy

∂∂xz = ∂∂x [(x +2y) e−xy ]= e−xy +(x +2y) e−xy (−y) = e−xy (1 − xy −2y2 ) ,

∂∂yz = ∂∂y [(x +2y) e−xy ]= 2 e−xy +(x +2y) e−xy (−x) = e−xy (2 − x2 −2xy) .

301

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 23. Вычислить интеграл

∫	2 +33 x2 +5 x dx
	x3

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

2 +33 x2 +5 x	= 2 x−23 +3 x−65	+5	1
x3			x

Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

2 +33 x2 +5 x

−3

−5

∫

= 2∫x

2 dx +3∫x

6 dx +5∫

x =

−3

−5

+5ln x +c = −

x +186

+5ln x +c

−

2 +1

−

6 +1

Проверка:

−

+186

′

−

′

x +5ln x +c

−4x

+18x 6 +5ln x +c

−4

−

−1

+18

−1

= x

−2

x 6

+3x 3 +5x 2

2 +33

Задание 24.

sin xdx

Вычислить интеграл ∫

1+2cosx

Решение:

Первый способ. Полагая 1+2cosx = t ,

−2sin xdx = dt , получим

∫

sin xdx

= −

∫

= −

∫t

−1

= −

+c = −

t +c = − 1+2cosx +c

+2cosx

2 dt

2t 2

Второй способ. ∫

sin xdx

1+2cosx

Умножая и деля на –2, и замечая, что −2sin xdx = d(1+2cos x) , получим

∫

sin xdx

= −

∫d(1+2cosx)

∫(1+cos x)−

d(1+cosx)=

1+2cos x

1+cos x

= − 1

(1+2cos x)

−

+c = −(1+2cos x)2

+c = − 1+2cosx +c

−

302

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Проверка:	(− 1+2cos x +c)′ =	2sin x		=	sin x
	2	1+cos x			1+2cosx
Задание 25. Вычислить интеграл ∫				x +1		dx

			x2 +2x +3

Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный трехчлен, надо выделить полный квадрат квадратного трехчлена, заменить переменную, в результате чего получим табличные интегралы.

Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:

x +2x +3 = (x +1)2 +2 . Далее, заменяя x +1 = t , dx = dt , получим:

∫

(x +1)dx

= ∫

(x +1)dx

= ∫

tdt

∫

d(t2 +2)

ln(t2

+2)+c =

x2 +2x +3

(x +1)2 +2

t2 +2

ln(x2 +2x +3)+c

Проверка:

ln(x2 +2x +3)+c ′ =

2x +2

x +1

2 x2 +2x +3

x2 +2x +3

Задание 26. Вычислить интеграл ∫

x ln xdx .

Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод интегрирования

по частям. Положив ln x = u ,													dv = xdx , найдем:
		1																1								3
du =		1	dx ;						v = ∫ xdx = ∫x 2 dx =														2 x 2 . Подставляя в формулу
du =			dx ;						v = ∫ xdx = ∫x 2 dx =														2 x 2 . Подставляя в формулу
		x																					3
∫udv = u v − ∫vdu , получим
∫ x ln xdx =						2 x			23 ln x − ∫				2 x				23	dx
						3							3					x
2		3			2				1			2				3					4				3			2			3					2
2	x	3	ln x	−	2		∫x 2 dx =					2			x	3		ln x −			4		x		3	+c =		2		x	3			−		2
3	x		ln x	−	3		∫x 2 dx =					3			x			ln x −			9		x			+c =		3		x		ln x		−		3	+c
3					3							3									9							3								3
						2			x	3				2					′		2				x	3	′		−	2		+ x		3				2	′	=
						3			x		ln x −			3			+c		=			(			x		) ln x		−	3		+ x			ln x −			3		=
Проверка:						3								3							3									3								3
Проверка:
					2			3					−		2			+	x	3		1		=			x ln x −			2		x +	2		x		= x ln x
					3			2		x ln x			−		3			+	x			x		=			x ln x −			3		x +	3		x		= x ln x
					3			2							3							x								3			3

При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В качестве u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая существенно упрощается при дифференцировании. За dv – та часть подынтегрального выражения вместе с dx, которая может быть проинтегрирована.

303

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 27.

Вычислить интеграл ∫ x3dx+1

Решение:

Имеем (x3 +1)= (x +1)(x2 −x +1). Разложим рациональную дробь.

1	1		на простейшие дроби, имея в виду, что квадратный трех-
	=	(x +1)(x2 −x +1)
(x +1)3

член x2 −x +1 не имеет действительных корней:

1	=	A	+	Bx +C
x3 +1		x +1		x2 −x +1

Отыщем методом неопределенных коэффициентов постоянные А, В, С. Умножая на х3 + 1 обе части равенства, получим:

1 = A(x2 −x +1)+(Bx +C)(x +1)= (A + B)x2 +(−A + B +C)x + A +C

Это равенство тождественно по х тогда и только тогда, когда выполнены равенства

(равны коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях): При х2 А + В = 0 При х1 –А + В + С = 0 При х0 А + С = 1

(свободный член)

Полученная система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет следующее решение:

A =							1										B = −						1														C =				2
A =																	B = −																				C =			3
		3																			3																			3
										1								1							1		(x −2)
																	3							3			(x −2)
Итак,													=				3				−			3							.
Итак,													=				x +1				−			x2			−x +				.
									x3 +1								x +1							x2			−x +			1
Интегрируя, получим:
				dx						1				dx									(x −2)dx										1										1		1	(2x −4)dx
																																													2
																																													2
	∫								=			∫							− ∫			3(x2 −x +1)											=		ln		x +1					−		∫							=
		x3 +1							=	3			x +1																				=	3	ln		x +1					−	3		x2 −x +1
		x3 +1								3			x +1																					3									3		x2 −x +1
	1		ln			x +1				−		1	∫		2x −1−3											dx =		1	ln			x +1				−		1	∫			2x −1					dx +	1	∫			dx			=
	1											1			2x −1−3													1										1				2x −1						1				dx

3												6			x2 −x						+1						3										6			x2 −x +						1		2				1 2		3
3												6			x2 −x						+1						3										6			x2 −x +						1		2				1 2		3
																																																		x −			+
																																																		x −			+	4
																																																				2		4
		1											1			ln(x					−x +1)+									1							x −			1
=					ln			x +1			−									2													arctg				x −			2
																				2																				2
				3										6																3							3
				3										6													2			3							3
																											2			4							4
																														4							4

304

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Проверка:

ln(x

−x +1)+

2x −1

x −1

−

arctg

2x −1

x −

−

6(x2 −x +1)

−

3(x +1)

(2x −1)2

x +1

x2 −x+ |1

4 +4x2 −4x

x3 +1

Задание 28. Вычислить интеграл ∫

xdx

x −3 x2

Решение: Подстановка x = tk , где k – общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входит в подынтегральную функцию, приводит к интегралу от рациональной дроби.

В нашем примере х входит в подынтегральную функцию под радикалами с показа-

телями 2 и 3. Следовательно, делаем подстановку x = t6 ,

dx = 6t5dt .

Тогда:

∫

xdx

= ∫

dt = ∫

= 6∫

t4 −1

6∫

t4 −1

6∫

−3 x2

− t4

t2 −

dt =

dt +

−1

t2 −1

= 6∫

(t2 −1)(t2 +1)

dt −6∫

= 6∫(t2

+1)dt +6∫

t2 −1

= 6

+6t

t −1

+c = 2t3 +6t +3ln

t −1

+c = 2

x +63 x +

3ln

x −1

t +1

x +1

Задание 29.

Вычислить интеграл	∫	dx
		a2 + b2 cos2 x

Решение: Т.к. при изменении знаков sinx и cosx подынтегральное выражение не меняет знака, применим подстановку

tgx = t ,

= dt ,

cos2 x =

+ t2

cos2 x

Интегрируя, получим:

∫

= ∫

cos2 x(a2 sec2 x + b2 )

= ∫

(a2 (1+ t2 )+ b2 )

a2 + b2 cos2 x

+ b2 =

= ∫a2 t2 +(a2 + b2 )

= a2

∫

a t

arctg

+C =

a2 + b2

arctg

a tgx

a a2

+ b2

a2 + b2

Проверка:

305

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

arctg

a tgx

a2 + b2

a a

a2 tg2 x

dx a a2 + b2

+ b2

+ a2 + b2

cos2 x

a2 + b2 =

(a2 + b2 )(a2

+ b2 +a2 tg2 x)cos2 x

a2 + b2 cos2 x

Задание 30. Вычислить интеграл

∫

4sin x +3cos x +5

Решение: Поскольку подынтегральная функция рационально зависит от sinx и cosх, то применим универсальную подстановку

= t;

sin x =

;

cos x =

1− t2

;

dx =

2dt

1+ t2

Интегрируя, получим:

∫

2dt

4sin x +3cos x +5

1−t2

(1+ t )

1+ t

2 +

1+ t

= 2∫

∫

−1

2t2 +8t +

+2)2

t +2

= −

+C.

Проверка:

−

−2

+4tg

+4 cos

2 x

2sin

+8sin

cos

+8cos

2 x

4sin x +3cos x +5

Задание 31. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х и параболой у = 2

– х2 .

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:

			Y		y = x
			Y
	2				y = 2 −x2
				X	х – 2 + х2 = 0



					х1 = –2; х2 = 1
-2		1			х1 = –2; х2 = 1
-2		1

306

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя

кривыми: S = b∫(f2 (x)−f1 (x))dx

При а = –2, b = 1, f2(x) = 2 – x2, f1(x) = x

Получим:

S = −1∫2 (2 −x2 −x)dx = 2x − x33 − x22 1−2 =

		1		1				8			9
= 2	−		−		−	−4	+		−2	=		= 4,5
		3		2				3			2

Ответ: 92 кв. ед.

Задание 32. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2y = x2 , 2x +2y −3 = 0 вокруг оси ОХ.

A	−3;	9									Y																			Решение: Ограниченная линия-
		9																												ми y = x2 2 и 2x +2y −3 = 0
																														ми y = x2 2 и 2x +2y −3 = 0
	2																													фигура, при вращении вокруг



																		1												оси ОХ образует тело, объем


																														которого можно найти как раз-
															B 1;															ность объемов V1 и V2, образо-
															B 1;			2
																							X

																														ванных				вращением							вокруг			оси


			A	1			0						B1																	ОХ		трапецией								А1АВВ1				и
																														А1АОВВ1.
																																					−	3	3
				x2			1				3				2					1					3				2			3				x					1		91
															2														2							x		2
					2																																	2				=		π
	V1 = π ∫y							= π ∫				−x dx = π ∫									x −							d x −					= π								−3
	V1 = π ∫y							= π ∫			2	−x dx = π ∫									x −				2			d x −				2	= π				3						3
				x1					−3		2									−3					2							2					3						3
				x1					−3											−3
			1			2				π 1			4				π		x5			1				61
			1			2				π 1			4				π		x5			1				61
	V2 = π ∫y						dx =				∫x			dx		=						−3		=						π
	V2 = π ∫y						dx =			4	∫x			dx		=	4			5				=			5			π
				−3						4	−3						4			5							5
	Искомый объем V = V1 −V2																			=			91		−			61			π =18			2	π
	Искомый объем V = V1 −V2																			=					−		5				π =18		15		π
																						3					5						15

Задание 33. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

∞ arctgx

1∫ 1+ x2 dx

Решение: Определение ∞∫f (x)dx называется предел lim ∫b f (x)dx
1	b→∞ a

307

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

∞

∫

arctgx

dx = lim ∫

arctgx

dx = lim ∫arctgxd(arctgx)=

1+x

b→∞ 1

1+x

b→∞ 1

arctg2 x

arctg2 b

arctg2

π2

lim

−

lim

8 32

b→∞

		dx
т.к.d(arctgx)=			=
т.к.d(arctgx)=		1+x2	=
		1+x2
=	3π2
=	32
	32

Задание 34.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

(x2 +2xy)dx + xydy = 0

Решение: Уравнение вида P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 называется однородным, если Р(х, у) и Q (х, у) – однородные функции одного измерения. Функция f (x, у) называется однородной измерения m, если f (λx, λy)= λmf (x, y). Однородное уравнение может быть

приведено к виду y' = f	y	, подстановка y = tx преобразует это уравнение в уравнение с

x

разделяющимися переменными.

В данном уравнении P(x, y)= x2 +2xy; Q(x, y)= xy . Обе функции однородные 2-го измерения. Введем подстановку y = tx dy = xdt + tdx . Тогда уравнение принимает вид:

(x2 +2x2 t)dx + tx2 (xdt + tdx)= 0 или (x2 + 2x2 t + t2x2 )dx + t x3dt = 0

Разделяя переменные и интегрируя, находим:

dx	−	tdt	= 0 ∫	dx	+ ∫	tdt	= C
x		(t +1)2		x		(t +1)2

преобразуем второй интеграл: ln x + ∫ t(t++11−)21dt = C

или ln x +ln t +1 + t +1 1 = C

Возвращаясь к прежней неизвестной функции у, находим окончательный ответ:

ln	x + y	+	x	= C	(общий интеграл)

			x + y

Задание 35. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального урав-

нения y' cos2 x + y = tgx

Решение: Уравнение вида y'+P(x)y = Q(x) называется линейным, если у и у’ входят

в первых степенях. Если Q(x) ≠ 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а при Q(x) = 0 – линейным однородным. Общее решение однородного уравнения получает-

ся разделением	переменных	в уравнении	y'+P(x)y = 0 . Нам	надо		уравнение
y' cos2 x + y = tgx ,	разделим на	cos2 x , тогда	получим, что y'+	y	=		tgx		, а
				cos2 x			cos2
								x

308

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

соответствующее одно родное уравнение y′+

0. Разделяем в этом урав-

cos2 x

нении переменные

= −

cos2

= −

и интегрируем ln

= −tgx +ln

, тогда у =

c e−tgx . Полагаем теперь,

cos2

что С – функция от х, т.е. С=С(х) и найдем эту функцию, используя правую часть уравнения,

у=С(х) e−tgx

y′ =C ′(x ) e	−tgx	+C (x ) e	−	1
	−tgx		−tgx	1
				cos2	x

Подставляем теперь в уравнение, тогда получаем

C ′(x )e−tgx

−C (x )

e−tgx

C (x )e−tgx

tgx

cos2

cos2 x

cos2

после приведения подобных членов получаем:

С′(x )e−tgx

tgx

cos2

разделяя переменные получаем:

dC (x )

etgx tgx

;

dC (x )=

etgx tgxdx

cos2 x

cos2

dC (x )

= etgx tgx dtgx ;

C (x )=tgx etgx

− etgx

+C1

(C1 - произвольная постоянная)

подставляем теперь полученное значение для С(х) в выражение для общего решения и получаем:

у = (tgx etgx − etgx +C1 )e−tgx или y =tgx +Ce −tgx −1это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения 1-го порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. Полагая у=UV, где U=U(х) и V=V(х), преобразуем

исходное уравнение у' +Р(х)у = Q(х) к виду:
U ′V +UV ′ + P(x ) U V =Q(x ) или
U[V' + Р(х)V] + VU ' = Q(х) выберем теперь V таким образом, чтобы
V'+Р(х) V =0, т.е. V= e−∫P ( x )dx ,
тогда V U ′ =Q(x )	или	U ′ =	Q(x )
			V

U ′ =Q(x ) e ∫P ( x )dx	или U = c + ∫Q(x ) e∫P ( x )dx dx .

309

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Теперь найдем общее решение

y =U (x ) V (x ) = e

−∫P ( x )dx

∫P ( x )dx

dx + c

Q(x )e

Для нашего примера будем иметь:

y′ +

tgx

cos2

y =U V ;

y′ =U ′V +V ′U

U ′V +V ′U +

U V

tgx

cos2

U V ′ +

+V U

′ =

tgx

cos

V ′ +

V = 0

тогда V = e−tgx

cos2

подставляем это значение в уравнение и получаем:

e−tgx

U ′ =

tgx

тогда U ′ = etgx

tgx

cos2 x

U =tgx etgx

− etgx

+ c

и y =U V = (tgxe tgx − etgx + c)e−tgx

=tgx −1 + c e−tgx , т.е. общее решение

уравнения y =tgx −1 + c e−tgx .

Задание 36.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′+ y′−2y =cos x −3 sin x , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1;

у'(0)=2.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами y′′ + a1 y′ + a2 y = f (x ) ,

правая часть которого имеет вид eαx [Pn (x ) cos βx +Qm (x ) sin βx ] (или сумму функций такого типа). Здесь α и β постоянные, Pn (x ) и Qm (x ) - многочлены от х степеней n и m соответственно.

Общее решение этого уравнения будем искать как сумму общего решения соответ-

ствующего однородного уравнения, т.е.
y′′ + a1 y′ + a2 y					= 0	и частного решения данного неоднородного уравнения. Соста-
вим для уравнения y					′′ + a y′ + a		2	y = 0 характеристическое уравнение					k 2 + a k + a	2	=0, то-
					1		2						1	2
гда возможны три случая:
I). k	1	и k	2	– действительные и различные, тогда					y	00	= c ek1x + c	2	ek2 x
	1		2							00	1	2

310

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015217.6 Кб23Вступительные испытания в магистратуру.doc
#
05.06.20151.23 Mб17ВТБ Составление закладной .doc
#
26.08.201953.04 Кб5Выездной семинар СЧАСТЬЕ.docx
#
05.06.201526.53 Кб56Выполнить задание. Маркетинг.docx
#
26.11.2018552.96 Кб9ВЫСТУПЛЕНИЯ МИГРАЦИЯ ВОЛГУ 09.doc
#
05.06.20155.73 Mб27Высшая математика.pdf
#
28.08.201966.72 Кб24Выявление уязвимостей компьютерных сетей.docx
#
08.05.20191.1 Mб11Г. Эмерсон. 12 принципов производительности.doc
#
05.06.20154.5 Mб7631Гарбовский Н.К. - Теория перевода (2007).pdf
#
05.06.2015266.39 Кб33Генеалогическая классификация языков.pdf
#
06.05.201937.85 Кб16геология Лабораторная работа №1.docx