Высшая математика

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

8. Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственные интегралы

Введенное ранее понятие определенного интеграла не пригодно для неограниченной функции и для случая, когда подынтегральная функция не ограничена. Рассмотрим некоторые возможные обобщения понятия определенного интеграла.

8.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на полупрямой а≤x<+∞, тогда она непрерывна на любом отрезке [a,b], где b>a и, следовательно, существует интеграл

b

∫ f(x)dx .

a

b

Этот интеграл является функцией своего верхнего предела b F (b) = ∫ f(x)dx , опре-

a

деленной на промежутке a≤b<+∞. Если при b→+∞ F(b) стремится к конечному пределу, то

+∞

этот предел обозначают ∫ f(x)dx и называют несобственным интегралом по бесконечно-

a

му промежутку (от а до бесконечности) от функции f(x). Таким образом, по определению

если этот предел существует и конечен. В этом случае принято говорить, что несобствен-

a

венным интегралом, говорят, что этот несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом для функции f(x), непрерывной на полупрямой -∞<x≤b, оп-

191

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

где с – любое число, а каждый из интегралов в правой части равенства сходится. При этом

−∞

Из данных выше определений сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования следует, что эти интегралы являются не пределами интегральных сумм, а пределами определенных интегралов с переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке

b

[a,+∞), то ∫ f(x)dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сни-

a

зу отрезком [a,b] оси OX, сверху кривой y=f(x), слева и справа – прямыми x=a и x=b. При возрастании b прямая x=b, ограничивающая эту криволинейную трапецию, движется направо.

+∞

В случае, если при этом несобственный интеграл ∫ f(x)dx сходится, его величи-

a

ну естественно принять за площадь бесконечной полосы, ограниченной снизу осью ОХ, сверху – графиком функции y=f(x), слева – прямой х=а (рис.).

Y

y=f(x)

X

Аналогичные рассуждения имеют место и для интегралов вида:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами иногда называют несобственными интегралами первого рода.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов первого рода.

192

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Пример 1.

∞

чит ∫ cos xdx – расходится.

0

Пример 4.

Исследуем на сходимость интеграл, зависящий от параметра р:

193

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

a

ε>0 можно указать А=А(ε), такое, что для любых R1 и R2, больших А, выполняется неравенство:

R∫2 f ( x ) dx < ε

R 1

Необходимое условие сходимости несобственных интегралов

+∞

Если интеграл ∫ f ( x)dx сходится, то его частные интегралы ограничены, то есть

a

b

существует такое число М>0, что для всех b>a выполняется неравенство ∫ f (x)dx < M

a

Это утверждение непосредственно вытекает из существования конечного предела частных интегралов при b→∞.

Таким образом, если частные интегралы не ограничены, то несобственный интеграл расходится. Если же частные интегралы ограничены, то о сходимости несобственного интеграла еще ничего сказать нельзя: в одних случаях интеграл может сходиться, а в других расходиться.

b

∫ cos xdx =sin x b0 =sin b ограничены, но они не имеют предела при b→+∞ (так как sin b

0

+∞

при b→+∞ не имеет предела) и, следовательно, несобственный интеграл ∫ cos xdx – рас-

0

ходится.

194

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Если подынтегральная функция f(x) на полупрямой [a,+∞) непрерывна и неотрицательна, то ограниченность частных интегралов является необходимым и достаточным ус-

+∞

ловием сходимости интеграла ∫ f (x)dx .

a

Признак сравнения несобственных интегралов

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на полупрямой [a,+∞) и удовлетворяют на нем условию 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости интеграла

расходятся одновременно.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Определение. Пусть f(x) – произвольная непрерывная на полупрямой [a,+∞) функ-

+∞

ция, необязательно знакопостоянная. Интеграл ∫ f (x)dx называется абсолютной сходя-

Отметим, что сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции не влечет за собой его абсолютной сходимости, а для интегралов от знакопостоянных функций из сходимости интеграла следует его абсолютная сходимость.

+∞sin x

есть интеграл ∫ dx не является абсолютно сходящимся. (Такие интегралы называют

a x

условно сходящимися).

195

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

8.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть теперь функция f(x) задана на полуинтервале [a,b). Точку b будем называть особой, если функция f(x) не ограничена на [a,b), но ограничена на любом [a;b-α] [a,b). Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция f(x) интегрируема.

b−α

В наших предположениях на [a;b-α] задана функция аргумента α F(α) = ∫ f (x)dx .

a

Исследуем вопрос о правом предельном значении функции F(x) в точке α=0, то есть вопрос о существовании предела:

b−α

lim ∫ f (x)dx .

α→+0 a

При этом для обозначения этого выражения будем использовать обозначение:

b

∫ f(x)dx . В дальнейшем этот символ будем называть несобственным интегралом второго

a

рода от функции f(x) по полуинтервалу [a;b). Если указанный предел существует, интеграл будем называть сходящимся, если предел не существует или равен ∞, то интеграл будем называть расходящимся.

Аналогично для функции f(x), непрерывной на полуинтервале (a;b] и неограничен-

b

расходится, то несобственный интеграл ∫ f(x)dx называют расходящимся.

a

196

8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Пусть теперь функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] всюду, кроме некоторой точки с, a<c<b, и не ограничена вблизи с.

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx , если каждый из интегралов в правой части равенства схо-

дится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то несобственный интеграл

b

∫ f(x)dx называется расходящимся.

a

Аналогично определяется несобственный интеграл по отрезку [a;b] от функции, непрерывной на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов второго рода.

Пример 1.

∫1 dx , где р>0.

0 x p

Это несобственный интеграл второго рода, так как y = x1p , где р>0, – неограни-

197

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

9. Функции нескольких переменных

9.1.Множества в евклидовом пространстве Rm

Определение 1. Совокупность всех упорядоченных наборов из m действительных чисел (х1, ..., хm) (точек Rm) называется m-мерным евклидовым пространством Rm, если

x1

Qε( M 0 ) = {( x1 , x2 ) R2 ( x1 − x10 )2 +( x2 − x20 )2 < ε}

(i = 1,..., m)

198

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Утверждение 1. Любая ε – окрестность т. М0 содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки М0, содержит ε – окрестность т. М.

Прежде всего заметим, что для m = 1 прямоугольные и Ε – окрестности совпадают. Для m = 2 содержание утверждения также очевидно.

Для всех m > 1 доказать этот факт можно только аналитически (хотя наглядные представления для двумерного случая несомненно этому помогают).

Доказательство: 1. Для фиксированного ε > 0 положим d1=d2=...=

ε-окрестности т. М0, иными словами ε-окрестность т. М0 содержит прямоугольную окре-

xi − x0i < d i (i = 1,..., m).

Таким образом, мы получим, что точка, принадлежащая ε-окрестности т. М0 (для ε = min{d1 ,...,dm }) принадлежит заданной прямоугольной окрестности т. М0, т.е. прямо-

угольная окрестность содержит некоторую (мы указали, какую, например) ε-окрестность

т. М0.

Утверждение 1 доказано.

199

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение 2. Точка М0 множества из Rm называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая ε-окрестность т. М0, целиком принадлежащая этому множеству

М0

Определение 3. Точка М0 множества из Rm называется граничной точкой множества М0, если любая ε-окрестность т. М0 содержит как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Определение 4. Множество из Rm называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества – внутренняя.

Примером открытого множества может служить открытый шар

Это множество не является ни замкнутым, ни открытым.

R

M0

Определение 6. Замкнутой областью называется объединение области и множества ее граничных точек.

200