Высшая математика
.pdf5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
r n +1
R n +1 (x) < (n +1)!er .
2) f(x)=sinx. Поскольку f (m) (x) = sin(x + m
дукции),
f |
(m) |
(0) = sin m |
π |
0 |
для m = 2k |
|
2 |
= |
|
||
|
|
|
(−1)k для m = |
||
|
|
|
|
|
|
Формула Маклорена имеет вид:
sin x = x − x3 + x5 − x7 3! 5! 7!
π2) (доказывается методом математической ин-
2k +1 k = 01,,... |
(1) |
|||
+...+(−1)n |
x2n +1 |
|
+ R 2n +3 (x) . |
|
(2n +1)! |
||||
|
|
Мы записали R2n+3(x), а не R2n+2(x), т.к. все члены разложения с четными номерами в силу (1) равны нулю.
|
|
|
|
|
|
|
sin |
θx +(2n +3) |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n +3 |
|
|
|||||||||||||
R 2n +3 (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
2n +3 |
= |
(−1) |
n +1 |
cosθx |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2n +3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +3)! |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
На любом сегменте [-r, r] (r>0) |
|
|
|
|
R 2n +3 (x) |
|
≤ |
|
r 2n +3 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2n |
+ |
3)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) f(x)=cosx. Поскольку f (m) (x) = cos(x + m |
|
π) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
(m) |
(0) |
= cos m |
π |
|
|
для |
|
m = 2k +1 |
|
k |
= 01,,... |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
= |
|
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)k |
|
|
m = 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула Маклорена имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
cos x =1 − |
x2 |
+ |
x4 |
− |
x6 |
|
+...+(−1)n |
x2n |
|
|
+ R |
2n +2 (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Мы записали R2n+2(x), |
|
а не R2n+1(x), т.к. следующий за последним выписанным сла- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гаемым член многочлена Тейлора в силу (2) равен нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos θx +(2n +2) |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n +2 |
|
|
|||||||||||||||
R 2n +2 (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
2n +2 |
= |
(−1) |
n |
|
cosθx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2n +2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +2)! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
На любом сегменте [-r, r] |
|
R 2n +2 |
(x) |
|
≤ |
|
r 2n +2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2n |
|
+2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) f(x)=ln(1+x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f ′(x) = |
|
|
|
|
= (1 + x)−1; |
|
f ′′(x) = (−1)(1 + x)−2 ; f ′′′(x) = (-1)(-2)(1+ x)-3 ;...; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (n) (x) = |
(−1)n −1 |
|
; f(0) = 0, |
f (n) (0) = (−1)n −1 (n −1)!. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x)n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Формула Маклорена имеет вид:
ln(1 + x) = x − |
x2 |
|
|
+ |
x3 |
|
− |
x4 |
+...+(−1)n −1 |
xn |
+ R n +1 (x) . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Остаточный член запишем в формах Лагранжа и Коши |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
R n +1 |
(x) |
= |
|
|
|
(−1)n xn +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(в форме Лагранжа).(3) |
|
|||||||||||||||||||
(n +1)(1 + θx)n +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R n +1 (x) = (−1)n xn +1 |
(1 − θ)n |
|
|
|
(в форме Коши). |
(4) |
|||||||||||||||||||||||||||||
(1 + θx)n +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть x (0, 1], |
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
R n +1 (x) |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn +1 |
|
|
|
|
< |
|
|
1 |
|
|
(следует из (3)), т.к. x>0, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n |
+1)(1 +θx)n +1 |
n |
+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
<1 |
|
|
|
|
(x = 0 R n +1 (0) = 0) . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оценим теперь |
|
R n +1 (x) |
|
|
|
на [-r, 0], где 0<r<1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Будем исходить из формы Коши для Rn+1(x). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Перепишем этот остаточный член в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
R n +1 |
(x) = (−1) |
n |
|
|
|
1 − θ n |
|
|
xn +1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +θx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + θx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Заметим, что |
|
1 −θ |
<1 для x [-r, 0], 0<r<1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + θx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-θ<1+θx θx>-θ θx+θ>0 θ(x+1)>0 x>-1 (что верно по предположению)
r n +1
R n +1 (x) < 1 − r .
Таким образом, Rn+1(x)→0 при n→∞ x [-r, 0], где r<1.
5) f(x)=(1+x)α, где α – вещественное число f (n) (x) = α(α −1)...(α − n +1)(1 + x)α−n ,
f (n) (0) = α(α −1)...(α − n +1).
Формула Маклорена имеет вид:
(1 + x)α =1 + |
α x + |
α(α −1) x2 |
+...+ |
α(α −1)(α −2)...(α − n +1) xn + R n +1 (x) , |
|
1! |
2! |
|
n ! |
где остаточный член в форме Лагранжа равен
R n +1 (x) = α(α −1)...(α − n) (1 + θx)α−(n +1) xn +1 . (n +1)!
В частном случае, когда α=n – целое число, Rn+1(x)=0 и мы получим формулу бинома Ньютона
132
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1 + x)n |
=1 + |
n |
x + |
|
n(n −1) |
x2 |
+...+xn |
и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(a + x) |
n |
= a |
n |
+ |
x n |
|
n |
|
|
|
|
n |
x |
|
n(n −1) |
x 2 |
x n |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
= a |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
(a + x)n = a n + n a n −1x + n(n −1) a n −2x2 +...+xn . 1! 2!
Итак, общий случай бинома Ньютона является частным случаем формулы Макло-
рена.
5.14.8.3. Приложения формулы Маклорена Приближенное вычисление числа е
def |
|
1 |
|
n |
|
e ≡ lim 1 |
+ |
|
. Ранее были установлены оценки 2 ≤е<3. Положим в формуле Мак- |
||
|
|||||
n→∞ |
|
n |
|
лорена для ex, х=1 и r=1, получим
e =1 +1!1 +...+ n1! + R n +1 (1) ,
где
R n +1 (1) ≤ (n +e 1)! < (n +31)!.
Выбирая номер n достаточно большим, получим приближенное значение e с любой наперед заданной точностью.
5.14.8.4. Вычисление пределов с помощью формулы Маклорена
Из полученных нами ранее разложений по формуле Маклорена элементарных функций легко следуют более грубые разложения (с остаточным членом в форме Пеано).
ex =1 + x + x2 +...+ xn +0(xn ), 2! n !
sin x = x − |
x3 |
+ |
|
x5 |
+...+(−1)n |
x2n +1 |
|
+0(x2n +2 ), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
||||||||||||||||
3! |
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos x =1 − |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
−...+(−1)n |
x2n |
|
+0(x2n +1 ), |
||||||||||||
|
|
|
(2n)! |
||||||||||||||||||
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ln(1 + x) = x − |
x2 |
+ |
x3 |
− |
x4 |
+...+(−1)n −1 |
xn |
+0(xn ), |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||
(1 + x)α =1 + α x + |
α(α −1) x2 |
+...+ |
α(α −1)...(α − n +1) xn +0(xn ). |
||||||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n ! |
Этиразложениямогутбытьиспользованыпривычислениипределовфункцийприx→0.
133
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример. Вычислить lim |
esin x −etgx |
. |
||
x3 (1 + sin 3 |
x) |
|||
x→0 |
|
Так как в знаменателе старшая степень x – третья, то в числителе нужно учитывать степени, не выше третьей.
Получим разложения функций, входящих в числитель, до членов с x3.
|
ez =1 + z + |
z2 |
+ |
z3 |
|
+0(z3 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
esin x |
=1 + sin x + |
(sin x)2 |
|
+ |
(sin x)3 |
+0[(sin x)3 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Так как lim |
sin x |
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0[(sinx)3]=0(x3), далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = x − |
x3 |
|
+0(x4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Подставляя это разложение в (1) будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
|
|
|
|
+ |
0(x |
|
)) |
|
|
|
|
|
(x |
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
0(x |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
e |
sin x |
=1 +(x − |
|
|
+ |
0(x |
4 |
)) + |
|
3! |
|
|
|
|
+ |
|
|
3! |
|
|
+0(x |
3 |
) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Раскрывая скобки и учитывая, что xk 0(xm)=0(xm+k)=0(xm), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin x |
|
=1 +(x − |
1 |
x |
3 ) + |
1 |
x2 |
+ |
|
1 |
x3 |
|
|
+0(x3 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin x |
|
=1 + x + |
|
1 |
x2 |
+0(x3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Получим теперь разложение tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
tgx = |
= (x − |
|
+ 0(x |
3 |
)) (1 − |
|
|
+ 0(x |
3 |
|
|
−1 |
|
= (x − |
|
+ |
|
0(x |
3 |
|
|
|
+ (−1)(− |
|
|
+ 0(x |
3 |
)) + 0(x |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Здесь использовано разложение (1+z)-1=1-z+0(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (x − |
x3 |
+ 0(x3 ))(1 |
+ |
x 2 |
+ 0(x3 )) |
= x |
− |
x3 |
|
+ |
x3 |
|
|
|
+ 0(x3 ) = x + |
x3 |
|
|
+ 0(x3 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
etgx =1 + (x + |
x3 |
) + |
|
1 |
x 2 |
|
+ |
|
1 |
x3 + 0(x3 ) =1 + x + |
|
1 |
x 2 |
+ |
1 |
x3 |
+ 0(x3 ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Подставляя в заданную функцию полученные разложения, будем иметь |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
esin x −etgx |
|
|
|
|
|
|
|
1 + x + |
|
x |
|
|
+0(x |
|
|
|
) |
−(1 + x |
+ |
|
x |
|
+ |
|
x |
|
+0(x |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
= lim |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 (1 + sin 3 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 (1 + sin 3 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− |
|
x |
|
|
+0(x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= lim |
2 |
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
+ sin 3 |
x) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 x3 (1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом примере использование правила Лопиталя было бы затруднительным, в то время как применение формулы Маклорена опиралось только на известные разложения элементарных функций.
134
5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.15.Исследование поведения функций с помощью производных.
5.15.1. Условие постоянства функций.
Теорема 1.
Пусть функция f(x) определена, дифференцируема на интервале Х, и f ′(x) = 0 на Х. Тогда функция f(x) является постоянной на Х.
Доказательство. Пусть x0 – некоторая фиксированная точка из Х и х-любая другая точка из Х. Для сегмента [x0, x] (или [x, x0]) удовлетворены все условия теоремы Ла-
гранжа, следовательно, между точками х0 и х найдется точка ξ, такая что f(x)−f(x0 ) = f ′(ξ)(x0 − x). Так как f’(ξ)=0, то для x X f(x) = f(x0 ), т.е. значение функ-
ции f(x) в любой точке х Х равно ее значению в фиксированной точке х0, т.е. постоянна всюду в Х.
Замечание. Геометрический смысл теоремы: если касательная в каждой точке некоторого участка графика функции y=f(x) параллельна оси ОХ, то этот участок есть отрезок прямой, параллельный оси ОХ.
y
y=f(x)
x
0a b
5.15.2.Признак монотонности функции
Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале Х). Пусть функция f(x)
1)определена на интервале Х;
2)имеет на Х конечную производную f ′(x);
3)f ′(x) >0 (f ′(x) <0) на Х.
Тогда f(x) является возрастающей (убывающей) на интервале Х.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда f ′(x) <0 на Х. Возьмем любые два зна-
чения х1 и х2 из Х такие, что х1 < х2, тогда на сегменте [х1, х2] f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому справедливо равенство f(x2 )− f(x1 ) = f ′(ξ)(x2 −x1 ),
где ξ- некоторая точка из (х1, х2): х1<ξ< х2. Так как х2> х1, и f ′(ξ)< 0,” f(x2 )< f (x1), что означает убывание функции на множестве Х.
Для случаев f ′(x) >0 на Х доказательство проводится аналогично.
Замечание 1. Положительность (отрицательность) производной f ′(x) на Х не яв-
ляется необходимым условием возрастания (убывания) функции f(x), т.е. если на некотором участке функция возрастает (убывает), то отсюда не следует, вообще говоря, что на этом участке производная этой функции всюду положительна (отрицательна).
135