Высшая математика

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения и из формулы 1 имеем

X1 Y2 − X 2 Y1 = 0, Z1 X 2 − Z 2 X1 = 0, Y1 Z 2 − Y2 Z1 = 0 , ч.т.д.

1.3.7. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора a, b и c . Если вектор a векторно умножается на вектор b , а затем полученный вектор [a × b] скалярно умножается на вектор c , то в результате

получается число ([a × b] c), называемое смешанным произведением векторов a, b и c .

Из определения следует геометрический смысл смешанного произведения трех векторов:

Смешанное произведение ([a × b] c) равно объему параллелепипеда, построенно-

го на приведенных к общему началу векторах a, b и c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если же векторы компланарны, то([a × b] c) = 0.

c b

a

Отсюда видно, что ([a × b] c) = (a [b × c]).

Поэтому можно записать смешанное произведение трех векторов a, b и c просто в виде (a b c) = ([a × b] c)

не указывая какие именно два вектора перемножаются векторно.

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 2. (a b c) = −(b a c)

1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Теорема. Если три вектора a, b и c определены своими ДПК a = {X1 , Y1 , Z1 }, b = {X 2 , Y2 , Z 2 }, с = {X 3 , Y3 , Z 3 },

то смешанное произведение a b c равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

21

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

22

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.4.Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости π заданы декартова прямоугольная система координат Oxy и

Определение. Уравнение (1.1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.е. линия L представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.1).

Примеры.

1). Уравнение (x −a)2 +(y − b)2 = r 2 является уравнением окружности радиуса r 0 с центром в точке Μ0 (a, b) .

2). Уравнение x2 + y2 = 0 определяет на плоскости Oxy только одну точку (0,0).

3). Уравнение x2 + y2 +4 = 0 вообще не определяет никакого геометрического образа.

1.4.1.Параметрическое представление линии

Для аналитического представления линии L возможно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи параметра t :

x = ϕ(t), y = ψ(t) , (2.1.)

где функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывны по параметру t в области{t}изменения этого параметра. Исключение из двух уравнений (2.1) параметра t приводит к уравнению вида (1.1).

Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса r 0 с центром в начале координат.

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения нашей окружности. Чтобы точка Μ(x, y) один раз обошла окружность, t должно изменяться в преде-

лах: 0 ≤ t 2π . Для исключения параметра t из уравнения (2.2), нужно возвести в квадрат и сложить уравнения (2.2); получим x2 + y2 = r 2 .

23

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах

Введем на плоскости полярные координаты. Выберем на плоскости точку O (полюс) и выходящий из нее луч Ox; укажем единицу масштаба.

y

Полярными координатами точки M называются два числа: ρ(полярный радиус) равное расстоянию точки M от полюса O и ϕ(полярный угол)- угол, на который нужно

повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM. Точку M обозначают символом Μ(ρ, ϕ) и обычно считают, что 0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π.

Если начало декартовой прямоугольной системы находится в полюсе, а ось абсцисс совпадает с полярной осью, то очевидна связь между полярными координатами точки

Μ(ρ, ϕ) и ее декартовыми координатами M(x, y) :

Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим ρ = x2 + y2 . Разделив одно на другое, получим, что tgϕ = yx , а также используя знаки x и y, определим чет-

верть, в которой находится точка M. Т.е., зная декартовы координаты точки x и y можно найти ее полярные координаты.

Если Φ(x, y) = 0 представляет собой уравнение линии L в декартовой прямоуголь-

ной системе координат Oxy, то достаточно подставить на место x и y их выражения в полярных координатах (3.1): получимΦ1 (ρ, ϕ) = 0 , где использовали обозначе-

ниеΦ1 (ρ, ϕ) = Φ(ρcos ϕ, ρsin ϕ) .

1.4.3. Пересечение двух линий

Задача о нахождении точек пересечения двух линий L1 и L 2 , заданных уравнениями Φ1 (x, y) = 0 и Φ2 (x, y) = 0 , состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих

каждому из этих уравнений.

Т.е. нужно решить систему уравнений

Φ1 (x, y) = 0Φ2 (x, y) = 0

Если эта система не имеет решений, то линии L1 и L 2 не пересекаются.

Пример. Найти точки пересечения окружностей x2 + y2 −1 = 0 и (x -1)2 + y2 −2 = 0. Решаем систему уравнений

24

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Вычитая из первого уравнения второе, получим

называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на поверхно-

Определение 2. Линия в пространстве есть геометрическое место точек, лежащих одновременно на двух поверхностях.

Таким образом линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей.

Если Φ1 (x, y, z) = 0 и Φ2 (x, y, z) = 0 - уравнения двух поверхностей, пересечением

которых является данная линия L, то два уравнения

Φ1 (x, y, z) = 0Φ2 (x, y, z) = 0

совместно определяют линию L.

Как и в случае плоской линии (п.2) можно линию в пространстве представить параметрически, задав координаты x, y, z любой точки данной линии как непрерывные функции некоторого параметра t :

x = ϕ(t), y =ψ(t), z = χ(t),

определенные в некотором промежутке изменения параметра {t}.

Для отыскания точек пересечения поверхностей и линий следует решить совместно уравнения, определяющие указанные линии и поверхности.

25

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.5.Различные виды уравнений прямой на плоскости

1.5.1.Общее уравнение прямой

Уравнение

Ax+By+C=0 (6.1)

с произвольными коэффициентами A, B и C такими, что A и B не равны одновременно нулю, называется общим уравнением прямой L.

Вычитая из уравнения (6.1) тождество (6.2), получаем уравнение

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 , (6.3)

эквивалентное уравнению (6.1).

Если точка Μ(x, y) лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (6.3), векторы перпендикулярный к прямой L и Μ0 Μ = {x − x0 , y − y0 } перпендикулярны и их скалярное произведение

A(x − x0 )+ B(y − y0 )

равно нулю. Если же точка Μ(x, y) не лежит на прямой L , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (6.3).

Итак, уравнение (6.3) определяет прямую L, проходящую через точку Μ0 (x , y0 ) и перпендикулярную вектору n = {A, B} . Этот вектор будем называть нормальным вектором прямой (6.1).

Замечание. Если два уравнения Ax + By + C = 0 и A1 x + B1 y + C1 = 0 определяют одну и ту же прямую, то существует такое вещественное число t, что справедливы равен-

ства A1 = At, B1 = Bt, C1 = Ct .

26

Если прямая параллельна оси Ox, то угол наклона α будем считать равным нулю. Угловым коэффициентом прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой к

оси Ox, κ = tgα .

Для прямой, параллельной оси Ox, угловой коэффициент равен 0, а для прямой, перпендикулярной оси Ox, угловой коэффициент не существует (κ = ∞).

Из уравнения (6.3) и того, чтоn = {A, B} - нормальный вектор прямой следует, что

Это уравнение и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Здесь k- угловой коэффициент данной прямой, а b - отрезок, отсекаемый данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат (при x = 0, y = 0).

1.5.3. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное (все коэффициенты A, B и C отличны от нуля) уравнение пря-

мой

Последнее уравнение называется уравнением прямой “в отрезках”. Числа a и b равны соответственно величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

27

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.5.4.Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, назовем направляющим вектором этой прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку Μ0 (x0 , y0 ) и имеющей заданный направляющий вектор q ={l,m}.

Точка Μ(x, y) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы Μ0 Μ ={x − x0 , y − y0 }Џ q = {l,m} коллинеарны, т.е. когда их координаты пропорциональны

Это уравнение обычно называют каноническим уравнением прямой.

В уравнении (6.5) одно из чисел l или m может равняться нулю, т.к. это есть коор-

динаты вектора. например, уравнение оси Ox запишется так x 1−0 = y −0 0 .

1.5.5. Параметрические уравнения прямой

Примем за параметр t величину, стоящую в правой и левой частях соотношения

(6.5), −∞ < t < ∞.

Получим x − x0 = lt, y − y0 = mt или

x = x0 + lty = y0 + mt

Это и есть искомые параметрические уравнения прямой.

1.5.6.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности

иперпендикулярности двух прямых

1). Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

A1 x + B1 y +C1 = 0 A x + B2 y +C2 = 0 .

Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами n1 = {A1 , B1 } и n 2 = {A 2 , B2 } этих прямых:

Условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно коллинеарности их нормальных векторов n1 и n 2 :

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получаем из формулы (6.6) при cosϕ=0:

A1 A2 + B1B2 = 0 .

28

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2)Если прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Если в этой формуле поменять местами k1 и k2 , то формула определит нам угол между прямыми, смежный к прежнему углу. Т.к. эти два угла в сумме равны π и их тангенсы отличаются только знаком.

Прямые параллельны, если tgϕ=0, т.е. k1=k2 .

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получим из формулы (6.8), т.к. tgϕ не существует при k1 k 2 +1 = 0 .

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 запишем в виде:

29

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.5.7.Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой

На прямой n возьмем единичный вектор n , направление которого совпадает с на-

правлением отрезка OP (если точки O и P совпадают, то направление вектора n выбираем произвольно).

Выразим уравнение прямой L через два параметра: 1) длину p отрезка OP и

2) угол θ между вектором n и осью Ox.

Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.

Пусть число d обозначает расстояние от точки M до прямой L.

Определение. Отклонением δ точки M от прямой L называется число +d в случае, когда точка M и начало координат O лежат по разные стороны от прямой L, и число -d в случае, когда точки M и О лежат по одну сторону от прямой L. Если же начало координат О лежит на прямой L, положим отклонение равным +d в случае, когда точка М лежит по ту сторону от прямой L, куда направлен вектор n , и равным -d в противоположном случае.

Теорема. Геометрический смысл левой части уравнения (6.13) состоит в том, что левая часть этого уравнения равна отклонению точки Μ(x, y) от прямой L, определяемой

уравнением (6.13).

30