Высшая математика

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Мы предполагаем, что функции у1, у2, … , уn на множестве Х непрерывны и имеют все производные до порядка n-1 включительно. Это функциональный определитель.

Теорема. Если функции у1, у2, … , уn линейно зависимы на множестве Х, то определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если решения у1(х), у2(х), … , уn(х) линейно однородного уравнения L[y]=0 являются линейно независимыми на множестве Х, где коэффициенты уравнения непрерывны, то определитель Вронского на этом множестве Х нигде не обращается в нуль.

Примем эти две теоремы без доказательств, также без доказательства примем следующие утверждения.

1.Если у1, у2, … , уn – система из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то y = c1y1 + c2y2 +K+cnyn есть общее решение этого уравнения.

2.Максимальное число линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения L[y]=0 с непрерывными на множестве Х коэффициентами равно порядку уравнения.

3.Независимо от начальных условий все другие решения уравнения L[y]=0 являются ли-

нейной комбинацией линейно независимых частных решений.

Таким образом, для решения линейного однородного уравнения n-го порядка необходимо найти n линейно независимых частных решений. Общее решение уравнения получится как линейная комбинация этих частных решений.

Назовем фундаментальной системой решений линейного дифференциального

λn +a1λn−1 +K+an−1λ + an = 0 .

Полученное уравнение называется характеристическим. Среди корней характеристического уравнения λ1, λ2, …, λn могут встретиться следующие:

1. Все корни характеристического уравнения λ1, λ2, …, λn действительные и различные. Тогда функциональную систему образуют функции линейно независимые на (-∞; ∞):

y1 = eλ1x , y2 = eλ2 x , … , yn = eλn x , линейная независимость этой системы следует из неравенства нулю определителя Вронского

поэтому общее решение будет:

y = c1eλ1x + c2eλ2 x +K+cneλn x .

281

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пример. Решить уравнение y′′ − 7y′ + 6y = 0 . Составим характеристическое уравнение λ2 − 7λ + 6 = 0 .

2. Среди корней характеристического уравнения, кроме действительных, есть и комплекс- но–сопряженные, но нет кратных.

Пусть λ1, λ2, …, λm – действительные корни, а λl =αl ± βl i ; (2l=m+1, m+2, …, n),

где i2=-1.

Тогда действительным корням отвечают частные решения вида yk = eλk x , k = 1,2,K,m,

а паре комплексно-сопряженных корней αe ±βe i

ye = e(αe +βe i )x ; ye+1 = e(αe −βe i )x

или

ye = eαe x eβe xi ; ye+1 = eαe x e−βe xi .

По формуле Эйлера ei ϕ = cosϕ +i sinϕ, имеем

eβei x = cosβex +i sinβex; e−βei x = cosβe x −i sinβe x;

ye = eαe x cosβex +ieαe x sinβex; ye+1 = eαe x cosβex −ieαe x sinβex .

Докажем следующую лемму.

Лемма. Если функция y = v(x) + i u(x) является решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка, то v(x) и u(x), также являются решениями уравнения.

Доказательство. По условию дано:

L[y]=0; L[v(x)] + i L[u(x)]=0.

Это равенство возможно, если L[v]=0, L[u]=0. На основании этой леммы примем за част-

как легко доказать, образует линейно независимую систему функций. Общее решение в этом случае будет представлять линейную комбинацию указанных функций.

3. Среди корней характеристического уравнения есть кратные корни.

Пусть λi – действительный корень кратности m, тогда этому корню отвечает m частных решений вида

eλi x , x eλi x , x2eλi x ,K,xm−1eλi x .

282

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни, тогда каждой паре комплексно-сопряженных корней

λ(1) = α +β i λ(2) = α −β i

кратности m соответствует 2m частных решений:

Можно доказать, что найденные таким образом частные решения у1, у2, …, уn составляют систему линейно независимых функций, то есть фундаментальную систему. Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами запишется так:

n

yoo = ∑ci yi .

i=1

Примеры.

1. Найти общее решение уравнения у IV- у = 0.

Решение.

Составляем характеристическое уравнение

λ4-1=0.

Корни характеристического уравнения будут:

λ1=1, λ2=-1, λ3=i, λ4=-i.

Частные решения:

у1=ех, у2=е-х, у3=соsx, y4=sinx.

Общее решение:

yoo=c1ex+c2e-x+c3cosx+c4sinx,

где с1, с2, с3, с4 – произвольные постоянные.

2. Найти общее решение уравнения y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение:

λ3-3λ2+3λ-1=0 или (λ-1)3=0.

Корни характеристического уравнения:

λ1=λ2=λ3=1.

Частные решения:

у1=ех, у2=х ех, у3=х2 ех.

Составляют фундаментальную систему, и следовательно, общее решение будет:

yoo = c1ex + c2xex + c3x2ex

или

yoo = (c1 + c2x + c3x2 )ex .

12.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

L[y]=f(x),

где f(x) непрерывная функция. Однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению, будет

283

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

L[y]=0.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть y(x) – частное решение уравнения L[y]=f(x), а уоо – общее реше-

ние уравнения L[y]=0, то общее решение уравнения L[y]=f(x) равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

уон = уоо + y .

Эта теорема о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения. Применение следующей теоремы позволяет упростить процесс отыскания частных

решений неоднородных уравнений.

Теорема. Если правая часть уравнения L[y]=f(x) есть сумма нескольких функций, то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности.

Доказательство. Пусть f(x) = f1(x) + f2(x), а частные решения уравнений

L[y] = f1(x); L[y] = f2(x)

соответственно y1 (x) и y2 (x) . Тогда

L[ y1 (x)] = f1 (x); L[ y2 (x)] = f2 (x);

L[ y] = L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ] = f1 (x) + f2 (x); y = y1 + y2 .

Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения неоднородного уравнения L[y] = f(x) сводится к отысканию общего решения однородного уравнения L[y] = 0 и частного решения неоднородного уравнения y .

Приведем без доказательства метод, позволяющий определить общее решение неоднородного уравнения по общему решению однородного уравнения.

2. Записать общее решение неоднородного уравнения в форме общего решения однородного уравнения, но с переменными коэффициентами

y= c1 (x)y1 +c2 (x)y2 +K+cn (x)yn ;

3.Построить систему уравнений

c1′(x)y1 + c′2 (x)y2 +K+c′n (x)yn = 0 ; c1′(x)y1′ +c′2 (x)y′2 +K+c′n (x)y′n = 0 ;

………………

Для соответствующего однородного уравнения y′′ + y = 0 общее решение имеет вид

284

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

y = c1 cosx + c2 sin x .

12.13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Пусть дано уравнение L[y] = f(x). Если f(x) имеет специальный вид, то, можно доказать, что частное решение может быть также найдено методом неопределенных коэф-

где Um(x) и Vm(x) – многочлены степени m (при m=0 Um(x) и Vm(x) обращаются в постоянные), α и β некоторые действительные постоянные.

Если β=0, то f (x) = Um (x) eαx и, в частности, при m=0 f (x) = a eαx (a – const).

При α=0 имеем

f (x) = Um (x) cosβx или f (x) = Vm (x) sinβx .

Если α=0 и β=0, то f (x) = Um (x) и, в частности, при m=0 f(x)=a (a – const).

Тогда если α+βi не является корнем характеристического уравнения

λn +a1λn−1 +K+an −1λ + an = 0 ,

то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида

y = eαx (Pm (x) cosβx + Qm (x) sinβx),

где Pm(x) и Qm(x) – некоторые многочлены степени не выше m.

Если же α+βi является корнем характеристического уравнения кратности r, то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида

y = xr eαx (Pm (x)cosβx + Qm (x)sinβx),

где Pm(x) и Qm(x) – многочлены степени не выше, чем m. Пример. Решить уравнение y′′ − y = 2ex − x2 .

Решение.

285

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

λ2-1=0 λ1=1 λ2=-1.

Общее решение однородного уравнения будет yoo = c1ex + c2e−x .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: y = A x ee + Bx2 + Cx + D ;

y′ = A(ex + xex ) + 2Bx + C; y′′ = 2Aex + Axex + 2B .

Подставляя в исходное уравнение, получим: 2Aex + Axex + 2B − Axex − Bx2 − Cx − D = 2ex − x2 .

Приравнивая коэффициенты при подобных членах в обеих частях уравнения, полу-

чим:

286

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Решение типовых задач контрольных работ

Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через две известные точки А(2;3) и В(6;-2) и вычислить длину отрезка АВ.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две известные точки М1(x1,y1) М2(x2,y2) имеет вид:

поэтому уравнение прямой (АВ) примет вид: x6 −−22 = −y2−−33 или 5x + 4y - 22 = 0

Расстояние между точками М1 и М2 определяется по формуле:

Μ1Μ2 = (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 ,

поэтому длина отрезка АВ:

АВ = (6 −2)2 +(−2 −3)2 = 41 .

Задание 2. Написать уравнение высоты (BN) и вычислить ее длину в треугольнике А(6;0), В(2;-3), С(-4;9).

Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М(x0,y0), имеет вид: y-y0=k(x-x0).

Угловой коэффициент прямой (BN) найдем из того условия, что (ВN) (АС). Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угловые коэффициенты k1, k2:

k1 = − k12 (п ри k2 ≠ 0) .

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2) -

т.о., k (AC) = −910 = −109

k (BN ) = 109 и уравнение (BN), следовательно, имеет вид : y +3 = 109 (x −2) или 10x - 9y - 47 = 0

Для вычисления высоты BN воспользуемся формулой, определяющей расстояние d точки М0(x0;y0) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0:

d = Ax0 + By0 + C

A 2 +B2

287

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Нам нужно определить расстояние точки В(2;-3) до прямой, идущей через точки А(6;0) и С(-4;9).

Уравнение: (АС)

Задание 3. Вычислить в радианах величину внутреннего угла В в треугольнике А(4;-1), В(-4;-5), С(1;10).

Решение: Для определения угла В воспользуемся формулой тангенса

Bдо совмещения со второй против часовой стрелки.

Рис. 2

В нашем случае такой прямой является (ВА) (см. рис. 2)

Задание 4. Написать уравнение (ВК) биссектрисы внутреннего угла треугольника с вершинами А(4;-1), В(-4;-5), С(1;5).

288

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Рис. 3

A1 x + B1 y + C1 = 0 и A 2 x + B2 y + C2 = 0

Уравнения таких биссектрис имеют вид:

A1 x + B1 y + C1 = A 2 x + B2 y + C2

Точка М(x;y), координаты которой удовлетворяют этому условию, равноудалена от двух данных прямых, т.к. в левой и правой части равенства записаны расстояния ее до этих прямых.

В нашем случае уравнения прямых (АВ) и (ВС) имеют вид:

Уравнения двух биссектрис угла В (внутреннего и внешнего) имеют вид:

Из уравнений (1), (2) угловые коэффициенты этих биссектрис k=-1, k=1

Искомый угловой коэффициент должен удовлетворять неравенству:

k(BA)< k(BK) <k(BC) , (см. рис. 3)

Так как k (BA ) = 12 , а k (BC) = 2, то k(BK ) = k 2 =1

и уравнение биссектрисы (ВК) есть x-y-1=0.

Задание 5. Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое дальше от прямой y+2=0, чем от точки F(-3;1).

Решение: Пусть точка М(x, y) обладает указанными свойствами:

289

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Координаты x, y точки М должны удовлетворять следующему уравнению: 2 (x +3)2 +(y −1)2 = y +2

После возведения в квадрат и соответствующих преобразований получим

уравнение:

4x2 + 24x + 3y2 - 12y + 36=0 или

4(x2 +6x +9 - 9) + 3(y2 -4y +4 -4) – 36 = 0

(x +33)2 + (y −42)2 =1

Это уравнение эллипса с осями симметрии, параллельными координатным осям с центром в точке С(-3; 2) и полуосями a = 3, b = 2

y

Рис. 5

Задание 6. Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно коорди-

обходимо вычислить величины a и b. Так как уравнения асимптот гиперболы имеют вид

290