Высшая математика
.pdfЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
|
г) y = |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
9x |
2 +4 arctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
д) e2y2 −e−3x + |
y |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
78. |
а) y = |
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
б) y = |
|
1 +sin 4x − |
1 −sin 4x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
−4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) y = ln |
|
|
e3x +e−3x |
|
|
|
г) y = |
|
x arccos 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
д) ln(x2 |
+y2 )+arctg |
x2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
79. |
а) y = |
|
|
3 x |
+1 |
|
1 |
|
|
−1 |
|
б) y = |
1 |
|
|
1 +tg7x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
x |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −tg7x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
г) y = (a −b)arctg |
a −x |
2 |
||||||||||||||
|
в) y = ln |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 +e |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−b |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
д) ey2 |
|
+ax2e−y |
= 2bx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
80. |
а) y = |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 −4x −5 |
|
|
|
|
sin 3 10x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
− x |
2 |
|
|
г) y = |
|
1 −4x2 arcsin 2x2 |
|
|||||||||||||||||
|
в) y = ln ctg |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
д) 3x+y2 −x y3 ln 3 =15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
81-90. Найти |
|
|
dy |
|
и |
|
|
d 2 y |
|
|
для функции, заданной параметрически: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
x =1 −e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
81. |
x = ln cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
82. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
5t |
−e |
−5t |
|
|
|
|
||||||||
|
y = sin 2 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = |
1 −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = sin 4 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
83. |
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 +t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos4 3t |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 t 4 +t
85. 4
y = ln(t 3 +1)
y = ln(1 +t 3 )
87.
x = t −arctgt
|
x = tgt |
|
|
|
||
86. |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
t |
|||
|
|
|
||||
|
|
sin t |
||||
|
x = |
|
|
|
|
|
88. |
1 +sin t |
|||||
|
||||||
|
y = |
cos t |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
1 +sin t |
||||
|
|
320
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
|
|
4 −e |
−3t |
|||
|
x = |
|
|
|||
89. |
|
|
|
3 |
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
e |
+1 |
|||
|
|
|
x = a(2t +sin t)
90.
y = a(1 −2cos t)
91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:
91. |
|
x4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4x +1 |
||||||
a) |
y = 3 |
|
−x |
|
б) |
y =1 + |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
92. |
a) |
y = x5 − |
5 |
x3 |
|
б) |
y = |
|
|
|
x |
|||||||
3 |
|
|
ln |
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
93. |
a) |
y = x3 |
−9x2 |
+24x −15 |
б) |
y = |
ex |
|
−e−x |
|
||||||||
ex |
|
+e−x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
94. |
а) |
y = 2x3 +3x2 −12x −5 |
б) |
y = |
x2 +16 |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
||||||
95. |
а) |
y = (x −3)2 (x −2) |
б) |
y = (x +1)e−2x |
||||||||||||||
96. |
а) |
y = x4 |
−8x3 |
+16x2 |
б) |
y = |
|
|
3x |
|
||||||||
1 |
+x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97. |
а) |
y = x2 |
+ |
1 |
x3 |
− |
x4 |
|
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|||
98. |
а) |
y = |
2x3 −6x2 |
−18x +15 |
|||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
99. |
а) |
y = x5 |
−x3 −2x |
||||||||
100. |
а) |
y =1 −x2 + |
x4 |
||||||||
8 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101-110. Найти частные производные функции:
101. |
|
3 |
x2 |
|
y |
|
102. |
|
z = ln tg |
|
|
|
− |
|
|
||
|
3 |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y = ln x − |
|
1 |
|
x2 |
|||
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
y = |
3 −x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
+2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
y = ln(x2 |
+9) |
||||||
б) |
|
y = |
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−25 |
|||||||
z = |
1 |
arctg |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4x3 |
|
|
|
|
|
103.z = 63 1 +4xy +x2 +3y3
104. |
|
2 |
x |
|
y2 |
105. |
|
5x |
2 −2y |
||
z =12cos |
|
|
|
− |
|
|
z = |
|
|
||
|
3 |
|
x |
+3y |
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
106. |
z = (2x +y2 )e−x2y |
107. z = 3x sin |
x |
|
|
|
|
|
y2 |
108. |
z = 4a |
2b2 1 − x2 |
− y2 |
|
|
|
a 2 |
b2 |
|
109.z = sin 2 (x +y2 ) −sin 2 x2 +cos2 2y
110. z = 2 arcsin(x у2 + 2)
321
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
111-120.
нием:
111. а)
в)
112. а)
в)
113. а)
в)
114. а)
в)
115. а)
в)
116. а)
в)
117. а)
в)
118. а)
в)
119. а)
в)
Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцирова-
∫4xdx−x2
∫5 x ln xdx
∫(2 −x2 )3 xdx
∫arctg xdx
∫arcsin1 −x2x dx
∫x ln x x+1dx
∫e−x2 xdx
∫arcsinx x dx
∫lnx3 x dx
∫arctg xdx
∫3 2sin+3cosxdx x
∫x3 ln(1 +x2 )dx
dx
∫cos2 x tgx −1
ln cos x
∫ sin 2 x dx
∫2x(x2 +1)5 dx
x cos x
∫ sin 2 x dx
x2dx ∫5 −x6
∫x arctg x2 −1dx
б) |
∫ |
|
2x −1 |
|
|
dx |
|
|
|||||||
x |
2 |
−x +1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
∫ |
|
|
|
6x −7 |
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
3x |
2 |
|
11 |
|||||||||||
|
|
|
|
−7x + |
|
|
|||||||||
б) |
∫ |
|
|
12x +1 |
|
|
dx |
||||||||
|
6x |
2 |
+ x |
−1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 −7x +3x2 |
|||||||||||
б) |
∫ |
|
|
(x +3)dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4x2 +4x +3 |
|||||||||||
б) |
∫ |
|
(6x +1)dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x |
2 |
+x |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
−2x +2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
∫ |
|
|
(x −3)dx |
|
||||||||||
3 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
+66x −11x |
|
|
||||||||||
б) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(3x +5) |
|
|
|
|
|
|
322
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
120. а) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
б) |
||
(1 |
+x |
2 |
|
)arctg |
2 |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
∫x2 cos |
x |
dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
121-130. Найти неопределенные интегралы:
121. |
а) |
∫ |
|
|
|
3x2 |
|
+6 |
|
|
|
|
dx |
б) |
||||||||||||||
|
x |
3 |
|
+x |
2 |
|
|
− |
2x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
+tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
122. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
x2 |
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
б) |
|||||||||
|
(x +1) |
3 |
(x −2) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
sin 3 x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
+cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
123. |
а) |
∫ |
|
4x2 |
|
+x + |
1 |
dx |
|
|
б) |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
124. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
б) |
||||||||||
|
x |
3 |
|
+4x |
2 |
+ |
|
5x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 +sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
125. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
б) |
||||||
|
x |
3 |
|
+x |
2 |
|
|
− |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
в) |
∫sin x3 cos xdx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
126. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||||
|
(x −1) |
2 |
(x |
+2) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin xcos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
127. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||||||
|
(x |
2 |
|
−1)(x +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
128. |
а) |
∫ |
|
|
x3 +x2 |
|
|
|
|
dx |
|
б) |
||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
−3x + |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) |
∫cos4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫5x2dx−x −1
∫x634 −x x dx
∫1 +xdx4 x
∫4 x3x+1dx
6 |
x +1 |
|
∫6 x7 |
+4 x5 |
dx |
∫3 x2 x−x dx
∫ |
xdx |
|
x −3 x2 |
∫ |
(1 |
+ |
3dx |
|
x) x |
6 |
x |
dx |
|
∫6 x5 |
−3 x2 |
||
|
323
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
129. |
а) |
∫ |
2x2 |
+x +1 |
dx |
|
б) |
∫ |
1 +4 |
x |
dx |
|||||||
x |
3 |
+x |
|
|
|
|
x |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
∫sin 3 xcos2 xdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
130. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
dx |
б) |
∫ |
dx |
|
||
|
2x |
3 |
−3x |
2 |
+x |
4 x +8 x3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
∫tg7xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131.Вычислить объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси ор-
динат фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями: y = 2 - x2; y = x; x = 0.
132.Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости и ог-
раниченной линиями:
y = x2 - 3x; 3x + y - 4 = 0; y = 0.
133.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси координат фи-
гуры, ограниченной линиями:
y = 3 - x2; y = x2 + 1.
134.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 2/x; y = x+1; x = 3.
135. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси |
абсцисс |
|
фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями: |
|
||
|
x + y = 4; y = 3x; y = 0. |
|
|
136. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|
|
|
x + y = 0; y = 2x - x2. |
|
|
137. |
Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: y = e-x, y = 0, |
x=0, x = |
|
1, вращается вокруг оси абсцисс. |
|
|
|
|
Вычислить объем тела, которое при этом образуется. |
|
|
138. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =sinx и |
y=cosx |
|
и лежащей между любыми двумя точками пересечения |
этих кривых. |
|
|
139. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси |
абсцисс |
|
фигуры, ограниченной линиями: |
|
|
|
|
y2 = 4x, x = 4. |
|
|
140. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|
|
|
y = x3, y = 2x. |
|
|
141-150. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
324
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
|
∞ |
|
|
|
141. |
∫xe−x2 dx |
|||
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
143. |
∫ |
|
|
|
|
3 |
|||
|
1 |
(2x −1) |
||
|
∞ |
|
dx |
|
145. |
∫ |
|
||
|
2 |
x |
x −1 |
|
147. |
∫0 |
|
dx |
|
|
2 |
x |
x2 −1 |
∞ xdx
149.∫x4 +9
1
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
||||
142. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||
x ln |
5 |
x |
||||||||
|
e |
|
||||||||
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
||||
144. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−9 |
|||||||
|
4 |
|
|
|||||||
|
∞ |
(x +1)dx |
||||||||
146. |
∫ |
|||||||||
2 |
||||||||||
|
0 |
|
2 +2x +x |
|||||||
|
∞ |
|
3 dx |
|
|
|
||||
148. |
∫ |
|
|
|
|
|||||
|
е |
x |
|
ln x |
∞ dx
150.∫2 x2 +4x +9
151-160. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:
151.x2y′ −y2 = x2
152.y′ +2xy = 2xe−x2
153.(x2 +2x +1)y′ −(x +1)y = x −1
154.y′ = x2 +2x −2y
155.4x2 −xy +y2 +y′(x2 −xy +4y2 ) = 0
156. y′ = |
2xy |
157. xy′ = y2 −x2 +y |
|
3x2 −y2 |
|||
|
|
158.2xy′ −y = 3x2
159. |
y′ −2xy = 2xex2 |
|
|
|
|
|
160. |
y′ −ycos x = sin 2x |
|
|||||
161-170. |
Найти |
частное |
решение |
дифференциального |
уравнения |
|||||||||
y′′ = py′ +qy = f(x) , удовлетворяющего начальным условиям y(0) = y0 ; y′(0) = y0′: |
||||||||||||||
161. |
y′′ −4y′ +3y = e5x , |
y(0) = 3, |
y′(0) = 9. |
|
|
|
|
|||||||
162. |
y′′ −6y′ +9y = x2 −x +3, |
y(0) = |
|
4 |
, y′(0) = |
1 |
. |
|
||||||
3 |
|
|
||||||||||||
163. |
y′′ −4y′ +4y = e2x , |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|||||
y(0) = 2, |
y′(0) = 8. |
|
|
|
|
|||||||||
164. |
y′′ +y = cos3x, |
y( |
π) = 4, |
y′( |
π) =1. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
165. |
y′′ −8y′ +16y = e4x , y(0) = 0, |
y′(0) =1. |
|
|
|
|
||||||||
166. |
y′′ +9y′ = 6e3x , |
y(0) = 0, |
y′(0) = 0. |
|
|
|
|
|||||||
167. |
y′′ +y = 2cos x, |
y(0) =1, |
y′(0) = 0. |
|
|
|
|
|||||||
168. |
y′′ −4y′ +5y = 2x2ex , |
y(0) = 2, |
y′(0) = 0. |
|
|
|
|
|||||||
169. |
y′′ +6y′ +9y =10sin x, |
y(0) = 0, |
|
y′(0) = 2. |
|
|
|
|
||||||
170. |
y′′ +y′ −2y = cos x −3sin x, y(0) =1, y′(0) = 2. |
|
325
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
171-180. Найти область сходимости ряда степенного:
|
∞ |
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
∞ |
4 |
n |
|
x |
n |
|||||||
171. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
172. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
2 |
|
+2n +1 |
|
3 |
−1 |
||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
n =1 |
n |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
n |
|
x |
2n |
||||||
173. |
∑ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
174. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
||||||||||||||
|
n =1 |
n +1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
n |
x |
n −1 |
|||||||||
175. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
176. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
n |
(n +1) |
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
|
|
n |
||||||||||||||||
|
∞ |
|
x |
2n +1 |
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
2n |
|||||||||||
177. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
178. |
∑ |
x |
|
||||||||||
|
(3n + |
1) |
2 |
|
|
n |
n +1 |
|||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
x |
3n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x |
4n |
|||||||||
179. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
180. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
n |
(n +1) |
6 |
n |
(n +2) |
|||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
181-190. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд:
|
0,1 |
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
||
181. |
∫arctgx dx |
182. |
|
∫sin x dx |
|
|||||||
|
0 |
|
|
x |
|
0 |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,1 |
e |
x |
−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
183. |
∫ |
|
dx |
184. |
∫e−x2 dx |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
185. |
∫cos xdx |
186. |
∫ |
x exdx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
x cos xdx |
|
3 |
|
dx |
|
||||
187. |
∫3 |
188. |
∫ |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
3 1 −x2 |
|
||
|
0,5 |
|
dx |
|
0,51 −cos x |
|
||||||
189. |
∫ |
|
|
|
190. |
|
∫ |
|
|
dx |
||
1 +x4 |
|
x |
2 |
|||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
326
ВЫВОДЫ
Выводы
Настоящее пособие может быть использовано для всех форм обучения: дневного, заочного, дистанционного.
Для заочного и дистанционного обучения рекомендуются следующие контрольные работы. По всем специальностям кроме юриспруденции по курсу «Высшая математика» студент должен выполнить четыре контрольные работы.
Контрольные работы выполняются в соответствии с приведенной ниже таблицей № 1. Номер выполняемого варианта должен совпадать с последней цифрой учебного шифра студента.
Таблица № 1
вариант |
|
|
|
|
номера задач контрольного задания |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
контрольная работа № 1 |
|
|
контрольная работа № 2 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
1 |
11 |
|
21 |
|
31 |
|
|
41 |
51 |
|
61 |
|
71 |
|
81 |
91 |
|
101 |
|||||
2 |
2 |
12 |
|
22 |
|
32 |
|
|
42 |
52 |
|
62 |
|
72 |
|
82 |
92 |
|
102 |
|||||
3 |
3 |
13 |
|
23 |
|
33 |
|
|
43 |
53 |
|
63 |
|
73 |
|
83 |
93 |
|
103 |
|||||
4 |
4 |
14 |
|
24 |
|
34 |
|
|
44 |
54 |
|
64 |
|
74 |
|
84 |
94 |
|
104 |
|||||
5 |
5 |
15 |
|
25 |
|
35 |
|
|
45 |
55 |
|
65 |
|
75 |
|
85 |
95 |
|
105 |
|||||
6 |
6 |
16 |
|
26 |
|
36 |
|
|
46 |
56 |
|
66 |
|
76 |
|
86 |
96 |
|
106 |
|||||
7 |
7 |
17 |
|
27 |
|
37 |
|
|
47 |
57 |
|
67 |
|
77 |
|
87 |
97 |
|
107 |
|||||
8 |
8 |
18 |
|
28 |
|
38 |
|
|
48 |
58 |
|
68 |
|
78 |
|
88 |
98 |
|
108 |
|||||
9 |
9 |
19 |
|
29 |
|
39 |
|
|
49 |
59 |
|
69 |
|
79 |
|
89 |
99 |
|
109 |
|||||
10 |
10 |
20 |
|
30 |
|
40 |
|
|
50 |
60 |
|
70 |
|
80 |
|
90 |
100 |
|
110 |
|||||
|
контрольная работа № 3 |
|
|
контрольная работа № 4 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
111 |
|
121 |
|
|
131 |
|
|
141 |
|
151 |
|
|
161 |
|
171 |
|
181 |
||||||
2 |
112 |
|
122 |
|
|
132 |
|
|
142 |
|
152 |
|
|
162 |
|
172 |
|
182 |
||||||
3 |
113 |
|
123 |
|
|
133 |
|
|
143 |
|
153 |
|
|
163 |
|
173 |
|
183 |
||||||
4 |
114 |
|
124 |
|
|
134 |
|
|
144 |
|
154 |
|
|
164 |
|
174 |
|
184 |
||||||
5 |
115 |
|
125 |
|
|
135 |
|
|
145 |
|
155 |
|
|
165 |
|
175 |
|
185 |
||||||
6 |
116 |
|
126 |
|
|
136 |
|
|
146 |
|
156 |
|
|
166 |
|
176 |
|
186 |
||||||
7 |
117 |
|
127 |
|
|
137 |
|
|
147 |
|
157 |
|
|
167 |
|
177 |
|
187 |
||||||
8 |
118 |
|
128 |
|
|
138 |
|
|
148 |
|
158 |
|
|
168 |
|
178 |
|
188 |
||||||
9 |
119 |
|
129 |
|
|
139 |
|
|
149 |
|
159 |
|
|
169 |
|
179 |
|
189 |
||||||
10 |
120 |
|
130 |
|
|
140 |
|
|
150 |
|
160 |
|
|
170 |
|
180 |
|
190 |
Юристы выполняют две контрольные работы, соответствующие таблице № 2.
327
ВЫВОДЫ
Таблица № 2
вариант |
|
|
номера задач контрольного задания |
|
|
||||||
|
|
контрольная работа № 1 |
|
контрольная работа № 2 |
|||||||
1 |
1 |
41 |
51 |
71 |
81 |
91 |
111 |
131 |
161 |
171 |
181 |
2 |
2 |
42 |
52 |
72 |
82 |
92 |
112 |
132 |
162 |
172 |
182 |
3 |
3 |
43 |
53 |
73 |
83 |
93 |
113 |
133 |
163 |
173 |
183 |
4 |
4 |
44 |
54 |
74 |
84 |
94 |
114 |
134 |
164 |
174 |
184 |
5 |
5 |
45 |
55 |
75 |
85 |
95 |
115 |
135 |
165 |
175 |
185 |
6 |
6 |
46 |
56 |
76 |
86 |
96 |
116 |
136 |
166 |
176 |
186 |
7 |
7 |
47 |
57 |
77 |
87 |
97 |
117 |
137 |
167 |
177 |
187 |
8 |
8 |
48 |
58 |
78 |
88 |
98 |
118 |
138 |
168 |
178 |
188 |
9 |
9 |
49 |
59 |
79 |
89 |
99 |
119 |
139 |
169 |
179 |
189 |
10 |
10 |
50 |
60 |
80 |
90 |
100 |
120 |
140 |
170 |
180 |
10 |
Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания по данному пособию.
328
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Вопросы к экзамену
|
Билет 1. |
1. |
Уравнения Бернулли и в полных дифференциалах. |
2. |
Вычислить ∫∫(cos2x +sin y)dxdy, если область ограничена линиями х=0, у=0, |
|
Д |
4х+4у-π=0.
+∞sin x
x3 dx .
Билет 2.
1. Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
+∞ |
|
dx |
|
2. Исследовать сходимость интеграла ∫ |
|
. |
|
1 |
x3 |
x2 |
+1 |
3. Найти решение уравнения y||-4|+3y=e5x, удовлетворяющее условиям: у(0)=3,
у|(0)=9.
Билет 3.
1.Ряд Тейлора. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
2.Найти экстремумы функции z=3x+6y-x2-xy-y2+1.
|
1 |
|
dx |
|
3. |
Исследовать сходимость интеграла ∫ |
|
. |
|
|
0 |
5 |
ln(1 +4x) |
|
|
Билет 4. |
|
||
1. |
Предел и непрерывность функции двух переменных. |
|||
|
1 |
|
6 xdx . |
|
2. |
Исследовать сходимость интеграла ∫ |
|
||
|
0 |
|
e3x − |
1 |
3. |
Решить уравнение y||-2y|+2y=x2. |
|
|
|
Билет 5.
1. Неоднородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициента-
ми.
329