Высшая математика

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

R(x)=const уравнение Рикатти является уравнением с разделяющимися переменными. Ес-

Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Рикатти к случаю α0=0. Во всех других случаях уравнение Рикатти не решается в квадратурах.

Пример. Решить уравнение xydy-(x4+y2)dx=0. Имеем

Это уравнение есть частный случай уравнения (2.5) при n=2, f(u)=(1+u2)/u.

12.6.Уравнения, приводимые

куравнениям с однородной функцией

Общий вид таких уравнений следующий

Рассмотрим несколько случаев 1. Если с=с1=0, то имеем уравнение с однородной функцией и его можно решить мето-

дом, изложенным ранее. Если u =yx , то уравнение преобразуется в уравнение

u′x+u =f( a +bu ) , которое является уравнением с разделяющимися переменными. a1 +b1u

271

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

которое решается подстановкой y1=x1u.

3. Изложенный метод не подходит, если определитель системы (3.3)

a b =0. a1 b1

Рассмотрим этот случай. Обозначив aa1 =bb1 =λ; a1 =aλ; b1 =bλ, уравнение (3.1) запишется в виде

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z=ax+by.

Приведенные операции геометрически означают следующее: числитель и знамена-

тель в функции f( ax+by+c ) можно рассматривать как левые части уравнений прямых в a1x+b1y+c1

раллельны (определитель равен нулю). Подстановка (2.3) геометрически означает параллельный перенос системы координат, что позволяет перенести начало координат в точку пересечения прямых.

Пример. (2x-y+3)dx+(x+y-1)dy=0

Запишем уравнение в форме (3.1)

Здесь а=-2; b=1; с=-3; а1=1; b1=1; с1=-1. Определитель −21 11 =-3≠0. Следовательно, урав-

нение (3.4) относится к случаю 2. Введем новые переменные x1 и y1 так, что x=x1+h; y=y1+k. Теперь запишем уравнение (3.4) в виде

272

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

12.7. Уравнения в полных дифференциалах

Выражение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy называется полным (точным) дифференциалом, если существует функция u(x,y) двух переменных, для которой du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. (4.1)

в котором левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y), называется уравнением в полных дифференциалах.

Если левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x,y), то (4.2) можно записать в виде du=0. Решением этого уравнения является u(x,y)=с.

Для существования решения y=y(x) уравнения (4.2), соответствующего начальным значениям x0, y0, необходимо по u(x,y) иметь возможность определить неявную функцию

273

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для того, чтобы выражение (4.1), где P(x,y) и Q(x,y) - непрерывные функции двух переменных, вместе с частными производными ∂∂Qx и∂∂Py вихобщейчастиобластиопреде-

ленияD, былополнымдифференциалом, необходимоидостаточновыполнениеусловия

бой, получим (4.4).

Докажем достаточность. Дано (4.3) и (4.4), то есть дана система дифференциальных уравнений (4.3) с условием (4.4), из которой надлежит найти функцию u(x,y). Если в первом уравнении системы (4.3) зафиксировать y и проинтегрировать уравнение по х, то получим

Здесь произвольная постоянная с=ϕ(y) зависит от y. В решении (4.5) не известна лишь ϕ(y). Для определения ϕ(y) продифференцируем (4.5) по y:

поэтому Q(x,y)=Q(x,y)−Q(x0,y)+ϕ′(y) или ϕ′(y)=Q(x0,y) .

Это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции ϕ(y). Решив его, имеемоднозначениефункции:

y

ϕ(y)=∫Q(x0,y)dy.

Здесьx0, y0 - координатыпроизвольной точки области определения u(x,y). Из (4.7) следует du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, то есть достаточность доказана. Выражение (4.7) с учетом u(x,y)=с

дает u(x,y)=∫P(x,y)dx+∫Q(x0,y)dy=c.

274

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При решении дифференциальных уравнений вида (4.2) вначале проверяют выполнение условия (4.4). Затем из любого уравнения (4.3) отыскивают u(x,y). Дифференцируя полученное для u(x,y) выражение и используя другое уравнение (4.3), определяют ϕ(y) (ϕ(х)), а с ней и функцию u(x,y). Решение получают в виде u(x,y)=с.

Пример. Решить уравнение (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0. Решение. P(x,y)=3x2 +6xy2; ∂∂Py=12xy;

Q(x, y) = 6x2 y + 4 y3; ∂∂Qx =12xy;

u(x, y) = ∫(6x2 y +4 y3 )dy = 3x2 y2 + y4 +ϕ(x);

Решением уравнения является x3+3x2y2+y4=c.

12.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение dydx+р(x)y=f(x) (a<x<b), (5.1)

где p(x), f(x) - непрерывные функции от х на интервале (a,b), называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция y(x) и ее производная входят в это уравнение в первой степени линейно.

называется линейным однородным уравнением, а в связи с этим уравнение (5.1) называют линейным неоднородным.

Однородное линейное уравнение имеет решение y(x)=0. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, решим его:

Если в (5.3) разрешить постоянной с принимать нулевое значение, то формула (5.3) дает и решение y(x)=0.

Уравнение (5.1) обычно решают методом Бернулли. Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y=uv, тогда

dydx = dudx v+dvdx u и уравнение (5.1) примет вид

275

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Относительно v(x) имеем линейное однородное уравнение, следовательно, по формуле (5.3) можем положить v=e−∫ р(x)dx . При такой функции v, подстановка ее в уравнение

(5.4) дает v dudx =f(x) , откуда du=v(f(xx))dx.

u = ∫v(f(xx))dx+с=∫(f(x)e∫ p(x)dx)dx+c.

Следовательно, общее решение уравнения (5.1) запишется в виде

y = uv = ce−∫ p( x)dx +e−∫ p( x)dx ∫ f (x)e∫ p( x)dxdx,

где с - произвольная постоянная.

Положим y=uv, y'=u'v+uv'. Подставляя выражения для y и y' в данное уравнение, получим:

После разделения переменных: dvv =2xxdx2 +1 . Отсюда ln| v |=ln(x2+1) или v= x2+1. Под-

ставим найденное значение v в равенство (*), получим

(x2 +1)dudx=x x2 +1.

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя: получим

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения: y=( x2 +1+c)(x2 +1).

12.9. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид y'+p(x)y=ynf(x), где n - любое вещественное число.

Если n равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение. Если n≠0, 1, то замена z=y1-n приводит нас снова к линейному уравнению относительно функции z(x).

Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, полагая y=u(x)v(x). Следует отметить, что при n>0 функция y(x)≡0 является решением уравнения Бернулли.

Пример. Решить уравнение y′+yx=x2y4 .

276

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Сделаем замену z=y1-4=y-3, z'=-3y-4y'. Поделим исходное уравнение на y4: y−4y′+xy13 =x2 . Подставим в него значения для z и z', сделав необходимые преобразования, получим урав-

нение z′−3xz=−3x2 , которое является линейным.

Приведем также решение непосредственно методом Бернулли. Полагая y=uv, по-

лучим u′v+uv′+uvx =x2u4v4; u(v′+vx)+u′v=x2u4v4 ( )

12.10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

10. Уравнение вида y (n) = f(x) решается последовательным n-кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.

Пример. Решить уравнения:

6

1) y′′′ = x3 .

Последовательно интегрируя, получим:

вестную функцию низшую из производных, входящую в уравнение, т.е. сделав замену y(k ) = z.

Пример 1. Уравнение вида y′′ = f (x,y′) не содержит явным образом искомой функции y.

277

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Представим функцию Р в виде

278

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

30. Если в уравнение не входит независимая переменная х, т.е. уравнение имеет вид F(y,y′,y′′,K,y(n) ) = 0, то порядок уравнения можно понизить, взяв за новое независимое переменное y, а за неизвестную функцию y′ = P(y).

12.11. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных y′,y′′,y′′′,K,y(n−1) ,y(n) , т.е. имеет вид

a0y(n) + a1y(n−1) +K+any = f (x),

где a0 ,a1 ,a2 ,K,an и f (x) – заданные функции от х или постоянные, причем а0≠0 для всех

значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение. В дальнейшем мы будем предполагать, что функции a0 ,a1 ,a2 ,K,an – постоянные, а f (x) непрерывна на всех

значениях х, причем коэффициент а0=1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция f (x) , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если f (x) не тождественна нулю, то уравнение называется неоднородным или уравнением с правой частью. Если же f (x) ≡0, то уравнение имеет вид

y( n) +a1y( n−1) +K+an y = 0

и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно

y,y′, y′′, y′′′,K, y( n −1) , y( n) ).

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений. Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка

L[y] = y( n) + a1(x)y( n −1) +K+an (x)y = 0.

279

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Выражение

L[y] = y( n) +a1(x)y( n−1) +K+an (x)y

называется линейным дифференциальным оператором от функции у.

С помощью линейного дифференциального оператора дифференциальное уравнение запишется так

L[y]=0.

Рассмотрим свойства которыми обладает линейный дифференциальный оператор

1.L[cy]=c L[y]

это справедливо для любой постоянной, в том числе и комплексной;

2.L[y1+y2]=L[y1]+L[y2].

Теорема 1. Если у1(х) есть решение дифференциального уравнения L[y]=0, то с1 у1(х) тоже решение уравнения L[y]=0, где с1 – произвольная постоянная.

Теорема 3. Если функции у1(х); у2(х); … ; уn(х) – частные решения уравнения L[y]=0, то их линейная комбинация, т.е. у=с1у1+с2у2+…+cnyn, также является решением.

Какие же условия следует наложить на функции у1(х), у2(х), … , уn(х), чтобы их линейная комбинация с произвольными постоянными являлась общим решением уравнения L[y]=0. Для этого введем понятие линейно независимой системы функций.

Система функций у1(х); у2(х); … ; уn(х), определенных на множестве Х, называется линейно зависимой, если существуют такие, не все равные нулю, действительные числа α1, α2, … , αn, что линейная комбинация α1y1 +α2y2 +K+αnyn = 0 для всех х из Х.

Функции у1(х), у2(х), … , уn(х) называются линейно независимыми на Х, если из

тождества

α1y1 +α2 y2 +K+αn yn ≡ 0

следует, что

α1=α2=…=αn=0.

Назовем определителем Вронского для системы функций у1(х), у2(х), … , уn(х), определенных на Х, следующий функциональный определитель n-го порядка:

280