Высшая математика

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Так как расстояние между директрисами равно 2aε , где ε – эксцентриситет,

то :

2a a = 645

Для a и b получим следующую систему:

А4 (4;1;3). Написать уравнение высоты А4К, вычислить ее длину, вычислить объем пирамиды и площадь грани А1 А2 А3 .

Решение: Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(x0 ;y0 ;z0) параллельно вектору l{m; n; p}, имеет вид:

x −mx0 = y −ny0 = z −pz0 .

Поэтому канонические уравнения прямой, проходящей через точку А4

(4;1;3) имеют вид:

xm−4 = yn−1 = z −p 3 , где вектор {m;n;p}- направляющий, т.е. параллельный

искомой плоскости.

Т.к. (А4 К) плоскости (А1 А2 А3), то нормальный вектор этой плоскости будет направляющим для искомой прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точки А1 (2;-1;1), А2 (5;5;4), А3 (3;2;-1) можно записать как условие компланарности векторов

А1 А2 , А1 А3 , А1 М , где М(x; y; z) - любая точка плоскости.

А1 А2 = {3;6;3}

А1 А3 = {13; ;−2}

А1 М = {x −2; y +1; z −1}

Необходимым и достаточным условием компланарности этих векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

А1 А2 А1 А3 А1 М = 0 .

291

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Или в координатной форме:

(x −2) (−21)−(y +1) (−9)+(z −1) 3 = 0 или 7x - 3y - z -16 = 0.

Нормальный вектор плоскости (А1 А2 А3) N = {7;−3;−1}, а канонические

уравнения высоты (А4К):

x −7 4 = y−−31 = z−−13 .

Для вычисления длины высоты (А4 К) воспользуемся формулой. Расстояние d точки М0 (x0; y0; z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0

Площадь грани А1 А2 А3 можно вычислить по формуле: S∆A1A 2A 3 = 12 A1 A 2 × A1 A 3 ,

где А1 А2 × А1 А3 - векторное произведение векторов.

А1 А2 × А1 А3 = 212 +92 +32 = 3 7 +3 +1 = 3 59

S∆A1A 2A 3 = 32 59

Объем пирамиды вычислим по формуле:

ведение векторов.

А1 А4 = {2; 2; 2}

292

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

динатной форме записывается равенством:

что и является уравнением заданной плоскости. Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получим: 9x-6y+25z -45=0 .

Решение. При х→∞ числитель и знаменатель этой дроби являются бесконечно

большими функциями, такое отношение, условно обозначаемое символом ∞∞ , представ-

ляет собой неопределенность, для раскрытия которой нужно провести преобразования. Разделим числитель и знаменатель почленно на наивысшую в данной дроби

степень х (на х3):

т.е. их пределы равны 0.

293

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При х→0 числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми

функциями, такое отношение, условно обозначаемое символом 00 , представляет собой

Задание 11. Найти lim 3x2 −9x +6 x→1 x2 +2x −3

0

Для раскрытия такого вида неопределенности 0 сделаем следующие преобразо-

вания:

0

Для раскрытия неопределенности 0 проведем следующие преобразования:

При вычислении заданного предела мы воспользуемся следующим результатом, называемым “первым замечательным пределом”:

294

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 13.

Найти:

1

а) lim(1 +3x) x

x→0

3x +1 2x б) lim

x→∞ 3x +2

Решение:

И в первом и во втором случае мы имеем дело с неопределенностью вида [1∞], так

как:

Для раскрытия такого вида неопределенностей можно воспользоваться следующей формулой:

Вычислим первый предел, пользуясь этой формулой:

Для вычисления второго предела воспользуемся непосредственно результатом, называемым “вторым замечательным пределом”:

где е - некоторое число, равное пределу числовой последовательности

Для вычисления заданного предела сделаем следующие преобразования:

числитель и знаменатель на х.

295

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 14. Найти lim x[ln(x +2) − ln(x −4)]

x→+∞

В данном случае второй сомножитель представляет собой неопределенность, обозначаемую символом [∞ — ∞], поэтому и произведение является неопределенностью. Для ее раскрытия проведем такие преобразования

исследовать ее непрерывность и схематически построить график. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

lim f(x) = f(x0 )

x→x0

Любая элементарная функция непрерывна в своей области определения. За-

данная нам функция у непрерывна в следующих интервалах: (−∞; 0); (0; π2 ) и ( π2 ; + ∞) ,

т.к. в каждом из них задана элементарная функция: постоянная (-1), простейшая элемен-

тарная (-cosx), линейная ( π2 + х) .

Но в точках перехода от одной функции к другой, т.е. в точках x1=0 и x2= π2

функция, хотя и определена, но может иметь разрыв, т.е. в этих точках могут быть нарушены условия непрерывности. Исследуем непрерывность функции у в точке х1=0:

lim y = lim (−1) = −1

x→0+0 x→0+0

lim y = lim (−cosx) = −1

x→0+0 x→0+0

y(0) = −cos0 = −1,

так как три полученных результата совпадают, условие непрерывности выполняется и у непрерывна в точке x1=0.

Исследуем непрерывность функции в точке х2= π2

296

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Несовпадение полученных результатов уже говорит о невыполнении условий не-

прерывности, и в точке х2= π2 функция имеет разрыв.

На рис. 8 схематически

Y

π

2

Рис. 8

показан график функции у.

Задание 16. Найти производную функции y=cos(x2)

Решение: При вычислении производных пользуются таблицей производных основных элементарных функций и теоремой дифференцирования сложной функции:

пусть y=f(u) дифференцируема в точке u0, u=f(x) дифференцируема в точке х0, причем ϕ(х0)=u0, тогда сложная функция y=f(ϕ(х)) дифференцируема в точке х0 и

Как видно из приведенных примеров, следует начинать дифференцирование с “внешней” элементарной функции, последовательно приближаясь к “внутренней”.

Задание 18. Найти производные функций:

297

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 19. Найти производную функции, заданной неявно: x4+y2x+y7=0.

Решение. Правило вычисления производной функции, заданной неявно, заключается в том, что дифференцируют левую и правую часть равенства в предположении, что у есть функция от х:

(x4 + y2x + y7 )′ = (0)′

4x3 +2y y′x + y2 1 + 7y6y′ = 0

Выражая из последнего равенства у′ , получим:

x = cos ty = sin t

Решение: Известна теорема о производной функции, заданной параметрически: пусть x=f(t) дифференцируема и f ′(t) ≠ 0

y=ϕ(t) - дифференцируемая функция, тогда производная dydx = ϕf ′′((tt)) или dydx = yx′′((tt)) .

При выполнении этого действия производная функции y(x) также выражена через параметр t.

298

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Для отыскания производной второго порядка d 2y можно использовать тот же подdx2

Можно использовать и готовую формулу для вычисления производной второго по-

Задание 21.

Провести полное исследование функции и построить ее график. f(x) = x + ln(x2 -1)

Решение.

Исследование функции будем проводить по следующей схеме:

1.) Найдем область определения функции и точки пересечения ее графика с осями координат;

2.) Выясним четность (или нечетность) функции (если она задана на симметричном промежутке);

3.) Выясним периодичность функции; 4.) Исследуем функцию на непрерывность, найдем точки разрыва и выясним харак-

тер разрывов; 5.) Найдем асимптоты графика функции;

6.) Исследуем функцию на экстремум, найдем интервалы монотонности функции;

299

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

7.) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функ-

ции.

Исследуем функцию f(x) = x + ln(x2 -1) по приведенной схеме.

1.) Функция определена при всех значениях х, для которых х2-1>0 или х >1, т.е.

при -∞ < x < -1 и +1 < x < +∞

C осью ОХ график функции пересекается в точке (х ≈ 1,25; 0). С осью ОУ график функции не пересекается.

2.) Функция не является ни четной, ни нечетной. 3.) Функция не является периодической.

4.) На интервале (-∞; -1) и (+1; +∞) функция непрерывна. 5.) Вертикальные асимптоты: