Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

10.10. Вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫zdxdy , где поверхность S есть

(S )

полусфера x2 + y2 + z2 = 4, y ≥ 0 .

10.11. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского и переходом к цилиндрическим координатам вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫x3dydz + y3dzdx + z3dxdy , где

(S )

S есть внешняя сторона поверхности конуса x2 + y2 ≤ z2 , 0 ≤ z ≤1 .

10.12. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный интеграл второго рода ∫∫x3dydz + y3dzdx + z3dxdy к тройному интегралу по объему V.

(S )

10.13. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный инте-

∂R ∂Q

∂P ∂R

∂Q ∂P

грал

первого

рода

∫∫

∂y

−

∂z

−

∂x

−

∂y

dS , где

cosα +

cos

β +

cosγ

(S )

R(x, y, z), Q(x, y, z), P(x, y, z)

непрерывны

со

своими

частными

производными,

cosα,

cos β,

cosγ направляющие косинусы нормали к поверхности S, к тройному инте-

гралу по объему V.

10.14. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный интеграл второго рода ∫∫yzdydz + zxdxdz + xydxdy к тройному интегралу по объему V.

(S )

10.15. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный инте-

грал второго рода ∫∫∂U dydz +	∂U dxdz +	∂U dxdy к тройному интегралу по объему V.
(S ) ∂x	∂y	∂z
10.16. Вычислить поверхностный интеграл второго рода			∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S
			(S )
есть внешняя сторона поверхности цилиндра x2 + y2 = 4,			− 3 ≤ x ≤ 3 .

10.17. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода

∫ ydx + zdy + xdz ,	где L есть окружность, определяющаяся соотношениями
( L)
x2 + y2 + z2 = 25,	x + y + z = 0 .

10.18. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫( y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz , где L есть эллипс

( L)

x = asin2 t, y = 2asin t cost, z = a cos2 t, a > 0, 0 ≤ t ≤π .

310

x2 + y2

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

10.19. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫ y2 z2 dx + x2 z2dy + x2 y2dz , где L есть замкнутая кривая

( L)

x = a cos t, y = a cos 2t, z = a cos 3t , пробегаемая в направлении возрастания t.

10.20. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫( y2 − z2 )dx + (z2 − x2 )dy + (x2 − y2 )dz , где L есть линия пересечения поверхности куба

( L)

0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ z ≤1 плоскостью x + y + z = 32 , пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси ОХ.

10.21. Найти модуль и направление grad U в точке М(-9; 12; 10), если U = xy − z2 .

10.22. Пусть rr = xi + yj + zk . Вычислить: a) grad r, b) grad r 2 , c) grad 1r .

r r

10.23. Найти div ar в точке М(3;4;5), если ar = −i x + jy + kz .

r r

10.24. Вычислить приближенно поток П вектора ar = −i x + jy + kz через бесконечно ма- x2 + y2

лую сферу радиуса ε (x −3)2 + ( y − 4)2 + (z −5)2 = ε 2 .

10.25.Найти div (grad U(x, y, z)).

10.26.Доказать тождество div[ar b ]= brotar− arrotb .

10.27.Найти rot (grad U(x, y, z)).

10.28.Найти div(rot ar) .

10.29.Найти поток П вектора ar = x3i + y3 j + z3k через сферу x2 + y2 + z2 = x .

10.30.Найти поток П вектора ar = yi + zj + xk через полную поверхность пирамиды, образованной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a (a > 0)

10.31.	Найти	циркуляцию	Ц вектора	ar = −yi + xj + ck (c = const)	вдоль	окружности
x2 + y2 =1, z = 0 .
10.32.	Найти	циркуляцию	Ц вектора	ar = −yi + xj + ck (c = const)	вдоль	окружности
(x − 2)2 + y2 =1, z = 0 .

311

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

10.33. Найти циркуляцию Ц вектора

вдоль контура L, если он окружает

= grad arctg

ось OZ.

10.34. Найти циркуляцию Ц вектора

вдоль контура L, если он не окру-

= grad arctg

жает ось OZ.

r r

, где

10.35. Найти rot(r a)r

= xi + yj + zk ,

a = i + j + k .

Ответы

10.1. 8π. 10.2. 3 −

3 + (

3 −1)ln 2 . 10.3. 125 5 −1 . 10.4.

64 2 . 10.5. π

2 . 10.6. 108π. 10.7.

16π

420

10.8. −

. 10.9.

0. 10.10.

. 10.11. −

. 10.12. 3∫∫∫(x2 + y2 + z2 )dV . 10.13.

0. 10.14.

(V )

10.15.

∂

∂ U

. 10.16. 36π. 10.17.

− 25 3π . 10.18.

0. 10.19. 0.

10.20.

−

2 +

∫∫∫

∂x

∂y

∂z

dxdydz

(V )

10.21.

25,

12i −

9 j

−

20k .

10.22. a)

b) 2r ,

c) −

10.23.

. 10.24. ≈

πε

125

10.25. ∂2U

∂2U

∂2U . 10.27.

0. 10.28.

0. 10.29. π

. 10.30.

0. 10.31. 2π. 10.32. 2π.

∂x2

∂y2

∂z2

10.33. 2πп, п – число оборотов при обходе оси OZ. 10.34. 0.

10.35. −[( y − z)ir+(z − x) j + (x − y)kr].

312

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел XI. Числовые и функциональные ряды

Примеры

∞

11.1. Пользуясь определением сходимости ряда, найти сумму ряда ∑

(2k −1)(2k +1)

k =1

∞

11.2. Пользуясь определением сходимости ряда, найти сумму ряда ∑

k(k +1)(k + 2)

k =1

∞

11.3. Пользуясь определением сходимости ряда, найти сумму ряда ∑arctg

k =1

∞

+k 2

11.4. Пользуясь определением сходимости ряда, найти сумму ряда ∑

k =1

Исследовать числовые ряды с положительными членами на сходимость

∞

1 .

∞

(2k −1)!!

11.5. ∑

11.14. ∑

k(2k)!!

k =1

∞

ln k

∞

11.6. ∑

11.15. ∑k!

k =1

k =2 k

∞

sin k

∞

3k (k!)4

11.7. ∑

11.16. ∑

11 84 (3k

+ 4k

+ 4)

k=1

∞

11.8. ∑

11.17. ∑k 3

+1 .

11.23. ∑2k sin

k =1

∞

(k!)

11.9. ∑arctg

11.18. ∑

11.24. ∑

k =1

k=1

(2k)!

∞

11.10. ∑ln k .

11.19. ∑

11.25. ∑ln k .

2k + ln k

k =1

k =2

∞

11.11. ∑

11.20. ∑

k =1

k=1

∞

+1 k

∞

11.12. ∑

11.21. ∑

k =1

∞

11.13. ∑

11.22. ∑k 2e−

k .

k ln k

k =2

k =1

Исследовать числовые ряды с произвольными членами на абсолютную и условную сходимость.

∞	(−1)		k		∞
11.26. ∑				.	11.36. ∑sin k .
	2k −1
k=1					k =2 ln k
∞	(−1)k				∞	cos	3k
11.27. ∑	3		.		11.37. ∑			.
		k				k
k=1					k =1`

313

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

∞

11.28. ∑(−1)k .

11.38. ∑sin 2k .

k =1

k =1`

∞

(−1)

∞

k .

11.29. ∑

11.39. ∑sin

k(k +

k=1

k =1`

∞

(−k 1)

∞

(−3)

11.30. ∑

11.40. ∑

(2k +1)

k=1

k=1`

∞

(−1)

k .

11.31. ∑

(−1)k .

11.41. ∑

k=1

k 2

k =1`

k +10

∞

(−1)

k −1

∞

(−

11.32. ∑

11.42. ∑

(2k −1)!

k =1

1 4 7 (3k − 2) .

11.33. ∑(−1)k sin 10 .

11.43. ∑(−1)k −1

∞

k =1

7 9 11 (2k + 5)

∞

(−1)

k−1

∞

(−1)

k+1

11.34. ∑

11.44. ∑

k ln k

k=2

k=1

∞

(−1)

ln k

∞

11.35. ∑

11.45. ∑

(−1)k k

k =2

k +1

k=1

∞

(−1)

11.46. Дан ряд ∑

. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда

k=1

суммой первых его четырех членов и суммой его пяти членов. Что можно сказать о знаках этих ошибок?

∞

11.47. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда ∑

суммой его первых

трех членов.

k =1

k! 2

∞

11.48. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда ∑

суммой его первых 10

членов.

k=1

∞

k−1

11.49. Сколько членов ряда ∑(−1)

нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точно-

k=1

стью до 0.01; до 0.001?

Найти область сходимости следующих функциональных рядов

∞

x .

∞

(x + 2)k

11.50. ∑ln

11.56. ∑

k 2

k .

k =1

∞

k−1

∞

cos kx

11.51. ∑(−1)x .

11.57. ∑

k=1

k =1

∞

11.52. ∑

11.58. ∑sin kx .

k =1

314

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА


∞		k
11.53. ∑		x	.
11.53. ∑		k	.
k =1		k
∞		x		k
11.54. ∑		x					.
11.54. ∑	1+ x				2k		.
k=1	1+ x
∞		1
11.55. ∑		1				.
11.55. ∑	1 + x				k	.
k =1	1 + x

∞

11.59. ∑(3 − x2 )k .

k =1

∑∞ k 3

11.60. k =1 xk .

Доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках

∞

11.61. ∑

− ∞ < x < +∞ .

+ x

k =1 k

∞

sin kx

11.62. ∑

− ∞ < x < +∞ .

k =1

∞

− ∞ < x < +∞ .

11.63. 1 + ∑sin x

k =1

∞

cos kx

11.64. ∑

− ∞ < x < +∞ .

k =1

∞

, − ∞ < x < +∞.

11.65. ∑arctg

k =1

∞

(−1)

1.66. ∑

− ∞ < x < +∞ .

k =1

+ k

Найти область равномерной сходимости следующих функциональных рядов

∞	cos kx			∞	( x − 2 )k ln k
11.67. ∑			.	11.71. ∑			.
	k	2			k 2	2k
k =1				k =1

∞		(−1)				k
11.68. ∑		(−1)				.
k =1		x2 + k 2
∞
11.69. ∑xk −1 .
k =1
∞		x	k
11.70. ∑		x				.
11.70. ∑	k	3		3	k	.
k=1	k			3

∑∞ xk

11.72. k =1 k 2 .

∞			kx
11.73. ∑			kx	.
11.73. ∑				.
k =11 + k 5 x2
∞		2	kx .
11.74. ∑ sin			kx .
k =1	k 3 +1

Найти радиус сходимости и область сходимости следующих степенных рядов

∞	x	k		∞
11.75. ∑			.	11.81. ∑ln(k +1) xk +1 .
	k	2
k =1				k =1	k +1
∞	xk			∞	x k
11.76. ∑			.	11.82. ∑k!		.
k =1	k!			k =1	k

315

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

∞	∞
11.77. ∑5k x3k .	11.83. ∑k k xk .
k =1	k =1

11.78. ∑∞ 2k2 +1 (x −1)k . k =1 3k + 2

∑∞ 2k (x +1)k

11.79. k=1 k ln2 (k +1) .

∞

11.80. ∑k 2 xk .

k=1

11.87.Показать, что функция

0.125

и вычислить ∫ f (x)dx .

11.88. Показать, что функция

π 2

числить интеграл ∫ f (x)dx .

π 6

∞

(−1)

11.84. ∑

k=1

(2k)!

∞

2k+1

11.85. ∑(−1)

k=1

(2k +1)!

∞

11.86. ∑

k =1

∞

k −1

f (x) =1 + ∑k 3

непрерывна в интервале

−

;

k =1

∞	1		x	непрерывна на сегменте x π		π
f (x) = ∑		tg			;		и вы-
	k		k			2
k =1	2		2	6

	∞
11.89. Доказать, что функция	f (x) = ∑e−k 2 x		при x>0 бесконечно дифференцируема.
	k =1
∞	k
11.90. Показать, что ряд ∑sin 2k πx сходится равномерно на (−∞; ∞) ,но его нельзя по-
k =1	2
членно дифференцировать ни в каком промежутке.
	∞		cos kx
11.91. Для каких х функциональный ряд ∑			cos kx	можно почленно дифференцировать?
11.91. Для каких х функциональный ряд ∑		5		можно почленно дифференцировать?
	k =1		k 2
	∞		sin kx
11.92. Для каких х функциональный ряд ∑			sin kx	можно почленно дифференцировать?
11.92. Для каких х функциональный ряд ∑			3	можно почленно дифференцировать?
	k =1		k
	∞
11.93. Для каких х функциональный ряд ∑x3e−kx				можно почленно дифференцировать?

k =1

Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, вычислить суммы следующих рядов.

∞	x	4k −1		∞	x	2k +1
11.94. ∑			.	11.95. x + ∑			.
	4k −1				2k +1
k=1				k =1

∞

2k+1

(−1)

11.96. x + ∑

2k +1

k=1

11.98.

+L.

2 3

∞x2k

11.97.x + ∑k=1 (2k)! .

11.99. 1 + 12 x + 21 34 x2 + 21 34 56 x3 +L.

316

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

11.100. x + 2x2 + 3x3 +L.	11.101. x − 4x2 + 9x3 −16x4 +L.
	∞
11.102. 1 2 x +2 3 x2 +3 4 x3 +L.	11.103. ∑	k	.

	k =1 xk

11.104. Вычислить sin18o с точностью до 10−5 11.105. Вычислить cos1o с точностью до 10−6 11.106. Вычислить tg9o с точностью до 10−3

11.107. Вычислить е с точностью до 10−6 Разложить в ряд Тейлора по степеням х следующие функции и указать области их сходимости

11.108. cos5x . 11.109. sin x2 .

11.110. cos 23x3 . 11.111. e3x .

11.112. 1 .

11.113. e−x4 .

11.114. 5x .

11.122. sin3 x .

11.115. 2−x2 .
11.116. shx.
11.117.			1	.
11.117.	1		+ х	.
	1		+ х
11.118.			2				.
11.118.		1 − 3х2					.
11.119.			х2	.
11.119.	1		+ х	.
	1		+ х
11.120. x3arctgx .
						x		−1
			e					−1	, x ≠ 0 .
11.121. y =								x	, x ≠ 0 .
					1,				x =1
					1,				x =1

				Ответы
11.1.	1		.	11.26. Сходится условно
	2

11.2.		1	.	11.27. Сходится условно
	4

11.3.		π		11.28. Расходится
	4
11.4.	3			11.29. Сходится абсолютно

	2

11.5. Расходится				11.30. Расходится
11.6. Сходится				11.31. Сходится абсолютно
11.7. Сходится				11.32. Сходится абсолютно
11.8. Сходится				11.33. Сходится условно
11.9. Сходится				11.34. Сходится условно
11.10. Расходится				11.35. Сходится условно

317

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

11.11.Сходится

11.12.Сходится

11.13.Расходится

11.14.Сходится. Указание: (2k −1)!!=1 3 5L(2k −1),

(2k)!!= 2 4 6L(2n)

11.36.Сходится условно

11.37.Сходится условно

11.38.Сходится условно

11.39.Расходится

11.15. Расходится

11.16. Сходится. Указание: применить признак Раабе

11.17. Расходится

11.42. Сходится абсолютно

11.18. Сходится

11.43. Расходится

11.19. Расходится

11.44. Расходится

11.20. Сходится

11.45. Сходится абсолютно

11.21. Сходится

11.40. Сходится абсолютно

11.22. Сходится

11.41. Сходится условно.

11.23. Сходится

11.24. Сходится

11.25. Расходится

11.46.

, R < 0, R < 0 . 11.47. R

. 11.48. R < 3 10−8 .

120

720

336

11.49. 99; 999. 11.50.

< x < e .

11.51. x>0

11.83. R=0,

x=0

11.52. −1 ≤ x <1

11.84. R = ∞,

−∞ < x < +∞

11.53. −∞ < x < +∞

11.85. R = ∞,

−∞ < x < +∞

11.54. −∞ < x < −1 1 < x < +∞

11.86. R =1,

−1 ≤ х <1

11.55.

11.87.

11.56. −4 ≤ x < 0

11.88. ln

11.57. −∞ < x < +∞

11.91. −∞ < x < +∞

11.58. −∞ < x < +∞

11.92. −∞ < x < +∞

11.59. − 2 < x < −

2 < x < 2

11.93. 0 ≤ x < +∞

11.60.

11.94.

1+ x

−

arctgx,

1− x

11.67. −∞ < x < +∞

11.95.

1 ln

1 + x

1 − x

11.68. −∞ < x < +∞

11.96. arctgx,

11.69. 0<x<1

11.97. chx,

−∞ < x < +∞

11.70. −3 ≤ х ≤ 3

11.98. 1+

1− x

≤1

11.71. 0 ≤ х ≤ 4

11.99.

−1 ≤ x <1

1− x ,

11.72. −1 ≤ х ≤ +1

11.100.

(1− x)2

318

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

11.73. − ∞ < x < +∞										11.101.
11.74. −∞ < x < +∞										11.102.
11.75. R =1,			−1 ≤ х ≤1							11.103.
11.76. R = ∞,			−∞ < x < +∞							11.104.
11.77. R =	1		,	−		1 < x <			1	11.105.
	3	5			3	5		3	5
11.78. R =1,			−1 < х <1							11.106.
11.79. R =	1	,	−	1	< x <		1			11.107.
11.79. R =	2	,	−	2	< x <		2			11.107.
	2			2			2
11.80. R =1,			−1 < х <1
11.81. R =1,			−1 ≤ х <1. 11.82. R = e,							−e < х < e .

x(1− x)

(1+ x)3

(1− x)3

(1− x)2

0.30902

0.999848

0.158

2.718282

∞

(−1)

∞

k −1

4k −2

11.108. 1+∑

−∞ < x < ∞. 11.109. ∑

(−1)

, −∞ < x < ∞.

(2k)!

k=1

k =1

(2k −1)!

∞

(−1)k 22k x6k

∞

3k xk

11.110. 1+ ∑

−∞ < x < ∞ . 11.111. 1+∑

−∞ < x < ∞ .

(2k)!

k =1

∞

(−1)

∞

(−1)

11.112. 1+ ∑

−∞ < x < ∞. 11.113. 1+ ∑

−∞ < x < ∞ .

k =1

2 k!

k =1

∞

(−1)

11.114. ln 5 +∑

, −∞ < x < ∞ . 11.115. ln 2 +∑

x2k , −∞ < x < ∞ .

k =1

∞

2k −1

∞

11.116. ∑

−∞ < x < ∞. 11.117. 1+ ∑(−1)k xk ,

<1.

(2k −1)!

k =1

∞

11.118. 2 + 2∑3k x2k ,

x <

. 11.119. x2 + ∑(−1)k xk +2 ,

<1.

k =1

∞

(−1)

k −1

2k +2

∞

11.120. ∑

≤1 . 11.121. 1+ ∑

< ∞ .

k =1

2k −1

k =1

(k +1)!

∞

−1

11.122.

∑(−1)k +1

x2k +1,

< ∞ .

(2k +1)!

4 k =1

319

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб14Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб76Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб21материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб265Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx