Математический анализ

x

1

4

∞

sin

=

+

∑

cos kx

.

π

2

2

π

k =1 1− 4k

Пример 7.4. Записать разложение

функции

f(x)=x, заданную на

промежутке

х [−π; π], в ряд Фурье в комплексной форме.

Решение. По формулам (7.16) и (7.17) имеем

1

π

1

x2

π

c0

=

∫

xdx =

= 0 ,

(7.30)

2π

2π

2

−π

−π

ck

=

1

π

x e−ikx dx

=

(−1)k +1

(7.31)

2π −∫π

ik

Подставляя (7.30) и (7.31) в (7.15), получим

∞

k

f (x) = x = ∑ i

(−1)

eikx

(k ≠ 0) .

k =−∞

k

Пример 7.5. Разложить функцию

f (x) =

π − x

,

заданную в промежутке x (0; 2π)

в ряд Фурье.

2

Решение. Заметим, что для произвольной функции ϕ(U ) , имеющей период 2π, ве-

α+2π

личина интеграла

∫ϕ(U )dU по промежутку длины 2π не зависит от α. Тогда, согласно

∞

(−1)

k

π .

1+∑

=

2k +1

k =1

4

∞

1 sin кх ;

∞

cos кх

а) х2

= ∑

б)

х2

= sin x +

∑

(−1)к ;

2

к=1

к

к=1

к

π

2

∞

cos кх

∞

в)

х2

=

−4 ∑

(−1)к+1 ;

г)

х2

= 2 ∑

cos кх

.

3

2

2

к=1

к

к=1

к

1

∞

sin кх

1

∞

а)

х

=

∑

;

б)

х

=

∑cos кх ;

π

к

π

к=1

к=0

1

∞

cos кх

π −

4

3x2

cos5

x

в)

х

=

∑

;

г)

x

=

(cos x + cos

+

+L.

2

π

к=1

к

2

π

3

5

3. Разложить в ряд Фурье на [-π, +π]

f(x)=sin3 x.

1

∞

кх

1

∞

π

2

а) sin3 x =

∑

sin

;

б) sin3 x =

∑cos кх

−

;

к

2

π

2

π

к=1

к=1

к

в)

sin3

x = sin x + sin 3x + cos5x ;

г) sin3 x =

3sin x

−

1 sin 3x .

4

4

4.Разложить в ряд Фурье по синусам f(x)=1 на (0, π).

2

∞

4

∞

+1)х

а) 1 =

∑

sin кх

;

б) 1 =

∑

sin (2 к

;

π

π

к=1

к

к=0

2к +1

1

∞

1

∞

в) 1 =

∑

sin кх

(−1)к ;

г) 1 =

∑sin (2к +1)х (−1)к .

2

π

π

к=1

к

к=0

5. Разложить в ряд Фурье f(x) = x на (0, 2π).

∞

sin кх

∞

cos кх

а)

x = ∑

+ ∑

;

2

к=1

к

к=1

к

sin 2x

∞

б) x = π – 2 (sin x +

+L) =π − 2∑

sin кх

;

2

к=1

к

∞

sin кх

в)

x = ∑

(−1)к

;

2

к=1

к

∞

г)

х = ∑ sin кх.

∞

2

4π

2

∞

∞

а)

x2

= ∑ cos2кх (−1)к −

;

б)

x2 =

+

4 ∑ cos2кх

−4π∑ sin кх

;

π

3

к=1

к

к=1

к

к=1

к

∞

sin кх

в)

x 2

= 4π∑

.

к=1

к

0 ≤ х ≤

π

,

cos x, при

2

7.

π

.

0,

при

≤ х ≤π.

2

1

∞

cos 2кх

1

1

1 cos x −

2

∞

(−1)

к

а)

f (x) =

∑

−

;

б) f (x) =

+

∑

cos (2кх) ;

π

2к

π

π

π

2

1

к=1

2

к=1

4к

−

∞

sin кх

в)

f (x) =∑

+cos x ; г)

f (x) =cos x −1.

к=1

к

2

∞

к

sin кх

2

∞

sin кх

а) sin ax =

sin aπ∑

(−1)

;

б) sin ax =

sin aπ∑

;

π

а

2

−

к

2

π

а

2

− к

2

к=1

к=1

2

∞

2

∞

в) sin ax =

∑sin

3кх

(−1)к ;

г) sin ax =

∑sin 2кх

(−1)к

1 .

π

π

к=1

к

к=1

к

а

9. Разложить в ряд Фурье

f(x) = eax , x (−π,π)

(a ≠ 0) .

ax

eaπ

∞

cos кх

ax

eaπ

∞ cos кх−аsin кх

a)

e

=

∑

;

б) e

=

∑

;

π

к

2

+а

2

π

к

2

+а

2

к=1

к=1

e

aπ

−e

−aπ

1

∞