Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Примеры

Найти производные от функций:

2.1. y = x3 + 2x2 − 6x +8 .

2.3. y = 4 8x − 3 3x .

2.5. y = tgx .
x
2.7. y = ln(1 + cos x) .
2.9. y = e−x (sin x + cos x) .
2.11. y = arctg e2 x + ln	e2 x +1 .
	e2 x −1

2.13. y = ln x + x2 − 3 (1 − ln x)2 .

2.2.y = x2 + 2x −1 .

x2 + 2

2.4. y = x2tgx .

2.6. y = tg 3 x − 3ctg 2 x + sin 2x + x cos2 x .

2.8. y = ln( x + x +1) . 2.10. y = ln(e−x + xe−x ) .

2.12. y =	4ln x	.
	1−ln x

2.14. y =	cos2 x	−1	.
	3sin2	x

2.15.	y = arcsin x arccos x .	2.16.	y = ln tg x3 −5 .
2.17.	y = e6 x +ex2 +ecos 2 x .	2.18.	y = x x .
2.19.	y = xsin x .	2.20.	y = x + xx + xxx , x > 0 .

2.21. y =	(ln x )x					2.22. y = 3	x(x2 +1)
			.				(x −1)2 .
		xln x	.				(x −1)2 .
2.23. y =	(x +1)3 4 (x			− 2)3		2.24. y =	x sin x 1−e	x	.
2.23. y =				.		2.24. y =	x sin x 1−e		.
		5 (x −3)2
2.25. y = 3		x(x2 +1)
2.25. y = 3		(x2 −1)2 .
2.26. Найти производную 2-ого порядка от функций:
1) y = x2 ;		2) y = cos2 x ;			3) y = e3x ;	4) y = xsin x .

2.27. Найти производные от у по х:

1) x = 3cosϕ,	y = 2sin ϕ;
2) x = b sin 3 ϕ,	y = a cos3 ϕ;
3) x = et sin t,	y = et cos t.

2.28. Применить формулу Лейбница для вычисления производной: 1) [(x +1)2 sin x](20) ; 2) [x3e2 x ](5) ; 3) (ex sin x)(n) .

280

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Найти интервалы монотонности данных функций:

2.29. y = (x − 2)5 (x + 3)4 .	2.30. y =	x 2	− x +1
		x 2	+ x +1
2.31. y = x +1 − ex .
	2.32. y = 2x + sin x

Провести полное исследование функций и построить ее график:

2.33. y = x2

+ 2x + 3 .

2.34. y = 2x −

1 .

2.35. y = x +

2.36. y = x2 +

2.37. y =

2.38. y =

−3

(x −

1)(x − 3)

2.39. y = (x −1)2 (x − 2)3 .

2.40. xy = (x −1)(x − 2) .

2.41. y = x2ex .

2.42. y = x3e−x .

2.43. y = 2 +ln x .

2.44. y = x − arctgx .

2.45. y = sin x 2 . 2.47. y = sin x −ln sin x . 2.49. y = x +sin x

2.51. y = xsin x .

2.53. y = ex2 −3 x+2 .

2.55. y = sinx x , y(0) =1 .

2.46.	y = x ln x .
2.48.	y = x2 ln(x −1) .
.2.50.	y = x − 2arctgx .
2.52.	y = etgx .

2.54. y = e x − x .

2.56. Найти производные от y по x второго порядка:

1). x=ln t , y=t2-1 ;

2). x=arcsin t , y=ln (1-t2) ;

3). x=a (ϕ – sin ϕ ), y=a (1-cos ϕ ) .

2.57. Найти общие выражения для производных порядка n от функций

ax	1			1
1). y=e ;	2). y=		;	3). y=		.
		a + bx			x2 −1

2.58.Показать, что функция y=ex sin x удовлетворяет соотношению y''-2y'+2y=0

2.59.Найти дифференциалы второго порядка от функций:

1). y= ln2 x − 4 ; 2). y= 4- x 2 .

2.60. Удовлетворяет ли функция y= 1 - 3 x2 условиям теоремы Ролля на сегментами [-1; 1].

281

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

2.61.Написать формулу Лагранта и найти c для функций: 1). f(x)=x3 на отрезке [а; b];

2). f(x)=arctg x на отрезке [0; 1]; 3). f(x)=x2+3 на отрезке [-1; 2]; 4). f(x)=arcsin x на отрезке [0; 1]; 5). f(x)=ln x на отрезке [1; 2).

2.62.Написать формулу Коши и найти c для функций:

1). sin x и cos x на отрезке [0; Π2 ]; 2). x2 и x на отрезке [1; 4].

2.63. Написать формулу Коши для функций f(x)=e2x ϕ (x)=1+ex на отрезке [а; b].

2.64. Найти пределы по правилам Лопиталя.

1). lim

− 2

;

2). lim

a x −1

;

3). lim

−16

;

4). lim

x3 −3x + 2

2 −

−

sin x

5x + 4

x3 − x2 − x +1

x→2

x→0

x→4

x→1

5). lim

ex −1

;

6). lim

x −tg x

;

7). lim

+ b x

+ c

;

8). lim

cos x − cos sin x

;

x→0

sin 3x

x→0

sin x − x

x→∞ a

+ b x + c

x→0

ln x

9). lim

n>0 ;

10). lim

−

;

11). lim x ln x .

x −1

x→+∞

x→1 ln x

x→0

2.65.Разложить многочлен x3+2x2+3x+4 по степеням двучлена x-1 , пользуясь формулой Тейлора.

2.66.Разложить функцию f(x)=x4-4x2 по степеням x+2 , пользуясь формулой Тейлора.

2.67.Найти формулу Маклорена n=20 порядка для функции y=xex .

2.68.Применить формулу Маклорена к функции f(x)= sin x , полагая n=5.

Ответы

2.1. 3х2

+ 4х − 6 . 2.2.

− 2х2 + 6х + 4

. 2.3.

−

. 2.4. 2xtgx +

(х2 + 2)2

cos2 x

4x −sin 2x

х х 4

2.5.

. 2.6. 3tg 2 x

+ 6ctgx

+ 2 cos 2x + cos2 x − x sin 2x .

x cos2 x

cos2 x

sin 2 x

2.7.

−sin x

= −tg

. 2.8.

. 2.9. − 2e−x sin x . 2.10.

− x

. 2.11.

4e2 x

1+cos x

x2 + x

x +1

1 − e8x

1+ 2x2

2.12.

2.13. 2x

+ 3x 3 1−ln x

. 2.14. 0.

x(1 − ln x)2

ln x + x2

2.15.

(arccos x − arcsin x)= arcsin(1 − 2x2 ) .

1 − x2

2.16.

3x2

. 2.17. 6e6 x

+ 2xex2 − 2sin 2x ecos 2 x . 2.18. xx (ln x −1) .

x3 − 5 cos2

x3 −

5 2

x3 −5

282

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

sin x

2.19.

cos x

ln x +

sin x . 2.20.

1 + x

(1 + ln x) + x

+ ln x

+ ln

x .

2.21.

(ln x)x−1

(x − 2 ln

x + x ln x ln(ln x)),

x >1 . 2.22.

x(x2 +1) 1

3 3 (x −1)2

+ x2 +1

− x −1 .

xln x+1

2.23.

(x +1)3 4

(x − 2)3

−

5 (x −3)2

x +1 4(x − 2) 5(x −3)

x4 +

6x2 +1 x(x2 +1)

3x(1 − x4 )

(x2 −1)2 .

2.24.

x sin x

1 − e

x + ctgx − 2 1 − ex

. 2.25.

2.26. 1) 2;

2) − 2 cos 2x;

3) 9ex ;

4) 2 cos x − x sin x .

2.27. 1) −

2 ctgϕ;

2) − a ctgϕ;

3) 1+tgϕ .

1−tgϕ

2.28. 1) (x +1)2 sin x − 40(x +1) cos x −190sin x

2) e2x (32x3 + 240x 2 + 480x + 240)

3) e

+ k

∑Cn

sin x

k=0

2.29. (−∞;−3) −возрастает,

−3;

− убывает,

;+∞

−возрастает .

2.30. (−∞;−1) − возрастает,

(−1;1) − убывает,

(+1;+∞) − возрастает .

2.31. (−∞;0) −возрастает,

(0;+∞) − убывает. 2.32. монотонно возрастает.

n ax

(−1)n an n!

2.56. 1). 4t

, 2). -

, 3). -

, 2.57. 1). a e

; 2).

;

1 −t 2

a (1 − cosϕ)2

(ax + b)n+1

3). (−1)

. 2.59. 1).

4 ln x − 4 − ln3 x

;

(x +1)n+1

(x −1)n+1

x2 (ln2 x − 4)3

2). 4 −x2 2 ln 4 (2x2 ln 4 −1)dx2 .

2.60. Нет, так как внутри сегмента имеется точка x=0, в которой производная не существует.

2.61. 1). c =

a2 + ab + b

; 2). c =

−1 ; 3). c =

; 4). с =

1 −

; 5).

с =

;

ln 2

2.62. 1). c =

; 2). c =

225

. 2.63. eb+ea=2ec , где a<c<b.

2.64. 1)

; 2) ln a; 3). 1; 4) 1,5; 5)

; 6) 2; 7)

; 8) -

; 9) 0; 10) 0,5; 11) 0.

n 2n−1

2.65. 10+10 (x-1)+5 (x-1)2+(x-1)3. 2.66. (x+2)4-8 (x+2)3+20 (x+2)2-16 (x+2).

2.67. x +

+L+

xn+1

(θ x + n +1)eθx , где 0<θ <1.

(n −1)!

(n +1)!

283

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

2.68. x −	x3	+	x5	−	x6	sinθ x , где 0<θ <1.
	3!		5!		6!

284

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Примеры

3.1. Найти частные производные первого порядка от функций: 1). z=x3+2xy2-y4

2). u=cos2 (x+y)-sin2 x+cos2y 3). z= x sin xy

4). z=cos (ax+by), где а=const, b=const
5). z= arc sin	y
5). z= arc sin	x
	x
6). z=x ln y+arcsin y
7). z=xy
8). z=(sin x)cos y
3.2. Найти полные дифференциалы функций:
1). z=2x-4y ;		2). z=xy ;	3). u=xyz ;	4). u=ln (x2-y2) .

3.3.Найти частные производные третьего порядка от функции z=x3+x2y+y3 .

3.4.Найти производные второго порядка от функции z= arc tg xy .

3.5.Найти d2 z и d3 z от функции z=y ln x .

3.6.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности: 1). z=x2+2y2 в точке (1; 1; 3) .

2). x2+y2 = z2 в точке (3; 4; 5)

3.7.Найти углы между нормалью к поверхности

x2+y2-xz-yz=0 в точке М (0; 2; 2) и осями координат.

3.8. Исследовать на экстремум следующие функции:

1). z = x2 + y 2 ;

2). z = (x −1)2 + y 2 ;

3). z = x y

;

4). z =

y 2

;

6). z = e−(x2 +y2 )

5). z = x2 − x y + y 2 + 9x − 6 y + 20 ;

;

7). z = y x − y 2 − x + 6 y ;

8). z = e

(x + y 2 ) ;

9). z = x y

при x2

+ y 2

= 2a2

(a>0);

10). z =

при x + y = 2 ;

11). z =

при

(a>0);

y 2

12). u = y 2 + 4z 2 − 4 yz − 2xz − 2xy

при 2x2

+ 3y 2 + 6z 2 =1 .

285

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

3.9. Найти производные

∂ z

от функции z = x2

ln y , если x =

, y = 3u − 2ν .

∂u

∂ν

3.10. Найти производные

∂ z

от функции

z = x cos y , если x = uν

y = 3u −ν .

∂u

∂ν

3.11. Найти производную

d u

от функции u = z 2 + y 2

+ z y , если y = et

z = sin t .

d t

3.12. Дано u = x e y + y ex . Показать, что функция

u(x,y) удовлетворяет соотношению

∂3 u

= x

∂3 u

+ y

∂3 u

∂ x3

∂ y3

∂ x ∂ y 2

∂ x2 ∂ y

3.13. Найти grad z от следующих функций:

1). z = x2 + y 2

в точке (3; 2);

2). z =

4 + x2

+ y 2 в точке (2; 1);

3). z = arc tg

в точке (1; 1).

3.14.Найти производную функции z=ln(x+y) в точке (1; 2), принадлежащей параболе y2=4 x , по направлению этой параболы.

3.15.Найти производную функции z=x3-3x2y+3xy2+1 в точке (3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; 5).

Ответы

3.1.1).

2).

3).

4).

5).

6).

8).

∂ z

= 3x2 + 2 y 2 ;

∂ z

= 4 (xy − y3 );

∂ x

∂ y

∂u

= −[sin 2 (x + y)+ sin 2x];

∂u

= −[sin 2 (x + y)+ sin 2 y] ;

∂ x

∂ y

∂ z

sin

cos

;

x cos

∂ x

∂ y

−

;

∂ z

= −a sin (ax + by) ;

∂ z

= −b sin (ax + by) ;

∂ x

∂ y

∂ z

= −

y x

;

∂ z

;

x2 − y 2

x x2 − y 2

∂ x

∂ y

∂ z

= ln y ;

∂ z

; 7).

∂ z

= y x y−1 ;

∂ z

= x y ln

;

∂ x

∂ y

1 − y 2

∂ x

∂ y

∂ z

= cos y cos x(sin x)cos y −1

;

= (sin x)cos y

∂z

= −sin y ln

sin x

sin xcos y .

∂ y

∂ x

∂y

286

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

3.2. 1). d z =2dx − 4dy ; 2). d z = y x y−1 dx + x y ln

dy ; 3). d u = yzdx + xzdy + xydz

;

4). d u =

(xdx − ydy) .

x2 − y 2

3.3.

∂3

= 6;

∂3 z

= 2;

∂3 z

= 0;

∂3 z

= 6.

∂ x3

∂y∂x2

∂x∂y 2

∂ y3

3.4.

∂2 z

2xy

∂2 z

y 2 − x2

∂2 z

2xy

∂ x2

;

= −

(x2

+ y 2 )2

∂x∂y

(x2 + y 2 )2

∂ y 2

(x2

+ y 2 )2

3.5.

2 z =−

dx2

dxdy;

2 y

d 3 z =

dx3 −

dx2 dy.

x −1

y −1

z − 3

3.6. 1).

2x + 4 y − z = 3;

;

−1

2). 3x + 4 y − 5z = 0;

x −3

y − 4

z − 5

кроме точки M (0; 0; 0).

− 5

3.7. cosα = −cos β = cosγ

= 1 .

3.8.

1). zmin= 0

в точке

(0; 0) ;

2.) zmin= 0

в точке

(1; 0) ;

3). экстремумов нет ;

4). zmin= 0

в точке

(0; 0) ;

5). zmin= 1

в точке

(-4; 1) ;

6). zmax= 1

в точке

(0; 0) ;

7). zmax= 12

в точке

(4; 4) ;

8). zmin= − 2

в точке

(-2; 0) ;

9). zmax= a2

в точках

(a; a) ; (-a; -a) ;

zmin= -a2

в точках

(-a; 0) ; (a; -a) ;

10). zmin= 2

в точке

(1; 1) ;

2 );

11). zmin

= −

в точке

(− a

2 ; − a

2 );

zmax =

в точке

2 ; a

12). umax

=1 ;

umin

= −

3.9.

∂ z

ln (3u − 2ν )+

3u 2

;

∂ z

= −

2u 2

ln (3u − 2ν )−

2u 2

∂u

ν 2

(3u − 2ν )

∂ν

ν 2 (3u −

2ν )

ν 2

ν 3

3.10.

∂ z

=ν cos (3u −ν )−3uν sin

(3u −ν );

∂ z

= u cos (3u −ν )+ uν sin (3u −ν ).

∂u

∂ν

→

→ →

3.11. sin 2t + 2e2t + et

(sin t + cost). 3.13. 1). 6 i + 4 j ; 2).

2 i +

j ; 3). − i + j .

3.14.

. 3.15. 0.

287

2x −5

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел IV. Неопределенный интеграл

Примеры

Вычислить следующие неопределенные интегралы:

4.1. ∫3 x2 dx ;	4.2. ∫	x	2d x	;
		x		x

4.3. ∫	x3	+ x2 − 3x − 3
				dx ;
		3x	2	dx ;
		3x

4.5.∫ x3 + 2x2 + 5x +13 dx ;

x2 + 5

4.7. ∫		dx		;
	x	2	− 4

4.9. ∫(e x − e−x )2 dx ;
4.11. ∫			cos x dx		;
			1+ 2sin x

4.13. ∫ln x dx ;
4.15. ∫arcsin x dx ;
4.17. ∫	ln x			dx ;
	2
	x
4.19. ∫e			x dx ;
4.21. ∫			x −1		dx ;
	x	2	+ x − 6

4.23.∫ x5 + x4 −8 dx

x3 − 4x

4.25. ∫		dx		;
	1	+ x	4

4.4. ∫3xx++21 dx ;

4.6. ∫	dx	2 ;
	25 − x
4.8. ∫	dx2	;
	x −5

4.10. ∫ex4 x3 dx ; 4.12. ∫tg x dx ;

4.14. ∫arctg x dx ; 4.16. ∫e x cos x dx ; 4.18. ∫x arctg x dx ; 4.20. ∫sin (ln x)dx ; 4.22. ∫ x3 − 3x2 + 4 dx ;

4.24.∫ x3 + x2 −5 dx ;

x3 −8

4.26. ∫sin 2 x dx ;

4.27. ∫sin

x dx ;

4.28. ∫

cos3 x dx

;

sin

4.29. ∫

sin3 x dx

;

4.30. ∫tg

;

cos

4.31. ∫ctg 3 x

;

4.32. ∫cos m x cos nx dx ;

4.33. ∫sin m x sin nx dx ;

4.34. ∫

;

+tg x

4.35. ∫

;

4.36. ∫

;

−3cos x

4sin x +

4.37. ∫

dx3

;

4.38. ∫

12x dx

;

x +

2x +1 +1

288

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4.39. ∫			dx				;
	x	2x	2
				+ 2x +1
4.41. ∫		4 − x2			dx		;
4.43. ∫		x2 dx			5		;
		(4 + x2 )
4.45. ∫	x	3 3 dx				3	;
		2 − x
4.47. ∫		(x +1)3					;
		(x −1)2 dx

4.40. ∫	(x		+1)	dx			;
4.40. ∫				x	2		;
				x		+ 2x + 2
4.42. ∫		3 + 2x − x2					dx ; ;
4.44. ∫	x	4	dx	3		;
	x		1 + x
4.46. ∫			dx				;
4.46. ∫	x2					3	;
	x2		(1 + x2 )

Ответы

− ln

+ c . 4.4.

3x −5ln

x + 2

+ c .

4.1. x +c. 4.2. −

x +c . 4.3.

6 x

+ 3 x

4.5.

+ 2x + 3

arctg

+ c . 4.6. arcsin

+ c . 4.7.

x − 2

+ c . 4.8. ln x +

x2 −5 + c .

x + 2

4.9. − 2x +

(e2 x

− e−2 x )+ c . 4.10.

e x4

+ c . 4.11.

1+ 2sin x + c . 4.12. – ln cos x +c.

4.13. x ln x – x+c. 4.14. x arctg x −

ln (1 + x2 )+ c . 4.15. x arcsin x +

1− x2 + c .

4.16.

e x (sin x + cos x)+ c . 4.17.

−

(ln x +1)+ c . 4.18.

arctg x −

+ c .

x (

x −1)+ c . 4.20.

4.19. 2e

[sin (ln x)− cos (ln x)]+ c . 4.21. ln c 5

(x − 2)(x + 3)4 .

x − 2

x2 (x − 2)5

4.22.

+ c . 4.23.

+ 4x + ln

+ c .

3(x − 2)

x +1

(x + 2)3

4.24. x +

x − 2

ln (x2

2x + 4)−

arctg

x +1 + c .

x2 +

4.25.

2 x +1

2 x

+ c . 4.26.

sin 2x

arctg

− x2

x −

+ c .

4 2

x2 −

2 x +1

4.27. −cos x +

cos

−

cos

+ c . 4.28. −

sin x

+ c . 4.29. cos x +

+ c .

cos x

sin x

4.30.

tg 2 x

+ ln

cos x

+ c . 4.31. −

ctg 2 x

− ln

sin x

+c .

sin (m + n)x

4.32.

sin (m − n)x

при m

≠ n

m + n

m − n

sin 2mx + c

при

m = n

289

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб106мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб14Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб76Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб22материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб269Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx