Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

	2			dx
2)	∫0				.
		(x − 2)2
3)	∞∫3			dx3	.
	2		x −1
	1	dx
4)	∫0			.
		x4

Тема 8: Функции нескольких переменных. Двойные интегралы.

Цель изучения данной темы - формирование у студентов понятия функции нескольких переменных, отражающего многофакторные зависимости многих, в том числе экономических, явлений.

Данная тема включает в себя:

1.Понятие функции нескольких переменных функции нескольких переменных.

2.Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

3.Частные производные функции нескольких переменных.

4.Дифференциал и понятие дифференцируемости функции нескольких перемен-

ных.

5.Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных, уравнение касательной плоскости.

6.Производная по направлению, градиент.

7.Экстремум функции нескольких переменных, частные производные высших порядков, необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.

8.Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных.

9.Условный экстремум.

10.Прикладные методы исследования функции нескольких переменных.

11.Понятие двойного интеграла и его вычисление.

Изучив данную тему, студент должен: знать

•Понятие функции нескольких переменных.

•Определения предела, непрерывности, дифференцируемости.

•Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

•Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных.

•Понятия частных производных, производных по направлению, градиента, линии уровня.

•Необходимое и достаточное условие экстремума.

•Понятие условного экстремума.

•Понятие двойного и повторного интеграла, геометрический смысл двойного интеграла, вычисление двойного интеграла.

Уметь:

•Привести примеры функции нескольких переменных, применяемых в экономике.

•Переносить свойства пределов и непрерывных функций в двумерном пространстве на многомерный случай.

•Находить частные производные функции нескольких переменных.

•Составлять уравнение касательной плоскости.

270

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

•Строить градиент и линии уровня функции двух переменных.

•Исследовать функцию двух переменных на экстремум, наибольшее и наименьшее значения.

•Находить точки условного экстремума.

•Вычислять простейшие двойные интегралы на элементарных множествах. Применять методы множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума и наименьших квадратов для получения эмпирических формул.

При изучении данной темы студенту необходимо читать раздел III части I и раздел II настоящего учебника.

Задания и вопросы для самооценки.

1.Следует акцентировать внимание на взаимосвязях свойств непрерывности, дифференцируемости, существования и непрерывности частных производных, существования касательной плоскости. Построить схему этих взаимосвязей и придумать примеры, в которых выполняются одни их указанных свойств и не выполняются другие.

2.Что характеризует градиент? Как он связан с линиями уровня? Чему равен градиент в точке экстремума?

3.Какова разница между стационарной точкой, точкой экстремума, седловой точкой, точкой условного экстремума?

4.Исследовать на экстремум функцию z = х2 - 2ху + 4у3.

5.Вычислить интеграл ∫∫(x + y2 )dxdy по области G, ограниченной кривыми у=х и у=х2.

Тема 9. Тройные интегралы.

Цель изучения этой темы – ознакомление с понятием тройного интеграла и вычисление тройного интеграла.

Данная тема включает в себя:

1)Определение тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла по параллелепипеду и по более сложным объемам.

2)Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.

3)Применение тройного интеграла для вычисления объемов пространственных тел.

Изучив данную тему, студент должен: знать:

•Определение тройного интеграла.

•Цилиндрические и сферические координаты.

•Якобианы для цилиндрической и сферической систем координат.

уметь:

•Вычислить тройной интеграл по объему параллелепипеда и по более сложным объемам.

•Вычислить тройнойинтеграл с переходом к цилиндрической и сферической координатам.

•Вычислить объем пространственных тел с помощью тройного интеграла.

При изучении данной темы студенту необходимо читать раздел III части II настоящего учебника.

271

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Для самооценки темы надо ответить на вопросы.

1)При решении какой задачи приходим к понятию тройного интеграла?

2)Как вычисляется тройной интеграл?

	Решить задачи:
1.	Вычислить ∫∫∫(x + y + z)dxdydz ,где область V определяется неравенствами 0 ≤ x ≤1,
	(V )
	0 ≤ y ≤1, 0 ≤ z ≤1.
2.	Вычислить ∫∫∫zdxdydz , где область V определяется неравенствами 0 ≤ x ≤	1	,
2.		2	,
	(V )	2

x ≤ y ≤ 2x , 0 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y2 .

3. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить

dxdydz

∫∫∫ , где область V определяется неравенствами x 2 + y2 ≤1,

(V ) x 2 + y2 + (z − 2)2

−1 ≤ z ≤1.

4.С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного пароболоидом

z = x 2 + y2 и −1 ≤ z ≤1.

Тема 10. Криволинейные интегралы.

Цель изучения этой темы – ознакомление с понятиями криволинейных интегралов первого и второго родов и их вычисление.

Данная тема включает в себя:

1).Определение криволинейных интегралов первого и второго родов.

2).Вычисление криволинейных интегралов первого и второго родов при различных способах задания уравнения кривой интегрирования.

Изучив данную тему студент должен: знать:

•Составление интегральных сумм при определении криволинейных интегралов первого и второго родов.

•Способы вычисления криволинейных интегралов первого и второго родов.

уметь:

• Вычислить криволинейные интегралы первого и второго родов, когда уравнение кривой интегрирования задано в декартовой системе координат.

• Вычислить криволинейные интегралы первого и второго родов, когда уравнение кри-

вой интегрирования задано в параметрическом виде.

• Вычислить криволинейные интегралы первого и второго родов, когда уравнение кривой интегрирования задано в полярной системе координат.

При изучении данной темы студенту необходимо читать раздел IV части II настоящего учебника.

272

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Для самооценки темы надо ответить на вопросы.

1).При решении каких задач приходим к понятиям криволинейных интегралов первого и второго родов?

2).Как вычисляются криволинейные интегралы первого и второго родов?

Решить задачи.

1.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫xydl , где L – эллипс		x 2	+	y2	=1,
1.				+		=1,
		(L)	4	9
	0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3.	∫(x 2 + y2 )2 dl , где L – дуга логариф-
2.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода	∫(x 2 + y2 )2 dl , где L – дуга логариф-
		(L )
	мической спирали ρ = 2e3ϕ от точки А(0;2) до точки (-∞;0).
3.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода	∫xdy + ydx , где L – дуга параболы
		(L )

y = x 2 от точки О(0;0) до точки А(1;1).

Тема 11. Ряды.

Цель изучения этой темы – ознакомление с понятиями числовых и функциональных рядов и их применением.

Данная тема включает в себя:

1)Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость и расходимость числовых рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда

2)Достаточные признаки сходимости рядов с положительными числами: сравнения, Даламбера, Коши, интегральным Коши-Маклорена.

3)Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

4)Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбица.

5)Понятие функционального ряда. Область сходимости. Сумму функционального ряда.

6)Понятие равномерной сходимости функционального ряда на множестве. Критерий Коши, свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

7)Степенные ряды. Радиус и область сходимости. Формулы Даламбера и Коши для нахождения радиуса сходимости.

8)Разложение функции в степенные ряды. Теорему единственности. Необходимое и достаточное условие разложимости функций в степенной ряд. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

9)Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье вычислением коэффициентов методом Фурье. Разложение по косинусам и синусам. Свойства рядов Фурье.

Изучив данную тему студент должен: знать:

•Понятие числового ряда, его частичных сумм, сходимости.

•Необходимый признак сходимости числового ряда.

•Достаточныепризнаки: сравнения, Даламбера, Коши, интегральныйКоши-Маклорена.

273

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

•Знакопеременные ряды, абсолютную и условную сходимость.

•Признак Лейбница.

•Понятие функционального ряда, области его сходимости.

•Степенные ряды, формулы для нахождения радиуса сходимости.

•Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

•Ряды Фурье, разложение функций в ряд Фурье.

уметь:

•Исследовать числовой ряд на сходимость применяя различные признаки сходимости.

•Исследовать на сходимость знакопеременные ряды.

•Применять признак Лейбница.

•Находить область сходимости функционального ряда.

•Разложить в ряд Тейлора элементарную функцию.

•Разложить в ряд Фурье и указать область сходимости.

При изучении данной темы студенту необходимо читать разделы VI и II части II настоящего учебника.

Для самооценки темы нужно ответить на вопросы

1)Что называется числовым рядом? Общим числом ряда?

2)Что называется суммой ряда? Дать определение сходящегося и расходящегося рядов. Привести примеры.

3)В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? Привести пример, показывающий, что он не является достаточным.

4)Сформулировать достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

5)Какой ряд называется знакочередующимся? В чем состоит признак Лейбница для такого ряда? Доказать этот признак.

6)Определить радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

7)В чем заключается задача разложения функции f(x) в степенной ряд?

8)Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?

9)Дать определение ряда Фурье.

10)Как определяются коэффициенты ряда Фурье?

Решить задачи:

Исследовать на сходимость ряды:

∞

∑

2n −

; ∑

; ∑2n;

∑

n .

n=1

2n5

Найти область сходимости рядов:

∞

∑10

; ∑(x −21)

; ∑ xn n!.

n=1

Разложить по степеням функции:

x m

1 + x

;

; ln

1 − x

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=y2 при − π ≤ x ≤ π с периодом 2π.

274

Сборник задач по курсу «Математический анализ»

275

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной

Примеры

1.1. Доказать, что последовательность xn

+ 4

является бесконечно большой.

1.2. Доказать, что последовательность x

n + 4

является бесконечно малой.

3n2

1.3. Доказать, что предел последовательности

+ 2

равен 1.

1.4. Доказать, что lim x 2 = 9 .

x→3

1.5. Доказать, что lim(2x −1) = 3 . По данному числу ε > 0 найти наибольшее число δ > 0

x→2

такое, чтобы при любом х из δ – окрестности числа 3 значение функции (2х-1) оказалось в ε – окрестности числа 3.

Найти пределы:

1.6. lim

−1

+ 2

n→∞ n

1.8. lim

n +8n .

n→∞

4n + 4

1.10. lim

2 + 2

3n −1

n→∞

1.12. lim

3 n

n→∞

2 n+3

1.14. lim

−

n→∞

n − 2

1.16. lim

n→∞

1.18. lim

− 2

n→∞

1.20. lim

(n + 2)4 −(n − 2)4

(n +1)

+ (n −1)

n→∞

1.22. lim

3 + 2n

2 −1

n +3

n→∞

1.24. lim

n3 +1 + n)2 .

n→∞

n6 + n +1

(n +1)!+(n + 2)! 1.26. lim + − + .

n→∞ (n 1)! (n 2)!

1.7. lim

+ 4

n→∞

1.9. lim

n→∞

1−5n

1.11. lim1+ 2 +K+ n .

n→∞

4n 2 + 2

1 n

1.13. lim

n→∞

n +1 n

1.15. lim

2n +

n→∞

1.17. lim n[ln(n + 2) − ln n] .

n→∞

2n −

1.19. lim

2n +

n→∞

1.21. lim

1000n3 +100n 2 +10

0,001n

−0,01n

n→∞

1.23. lim

n2 + n +1

n +

n→∞

1.25. lim

(n +1)!+(n + 2)!

n→∞

(n +3)!

+L+

1.27. lim

n→∞ 1+

+L+

276

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

1.28. lim(

n + 2 −

n +1) .

n→∞

1.30. lim

(1 + 2 + 3 +L+ (n −1)).

n→∞ n

+L+

1.32. lim

n(n +1)

n→∞

1.34. lim

−1

n→∞

1.36. lim

−

+ x −1

x→0

1.38. lim

2 −

+ x −

x→∞

1.40. lim

x3 + 3x 2

+ 2x

− x

− 6

x→−2

x m −1

1.42. lim x n −1 ,

x→1

m, n − целые числа.

x n + x n−1 +K+ x 2 + x − n 1.44. lim x −1 .

x→1

x 4 + 2x

2 − 5 x3 + 4x

1.46. lim

3 x7

− x5 +1

x→∞

1.48. lim(

x + 4 −

x ).

x→∞

( x3 +1 −

x3 −1).

1.50. lim x

x→∞

1.52. lim

sin x

x→∞

1 + x

1−x

в) lim

1−x

x→+∞

2 + x

1.53. lim

tgnx

x→0

1.55. lim

3x − arctgx

x→0 2x + arcsin 2x

1.57.lim sin 3x . x→π sin 2x

1.59. lim tg2x			π
		tg x −	4	.
x→	π
	4

lim

1+ b + b2 +L+ bn

1+ a + a

+L+ a

1.29. n→∞

(

<1;

<1)

1.31. lim

(1 − 2 + 3 −L+ (−1)n−1 n)

n→∞ n

1.33. lim(

3 4

3 8

3 K 2n

3).

n→∞

−1

1.35. lim

n→∞

1.37. lim

x 2 −

+ x −

x→

1.39. lim

(1+ x)5 − (1+ 5x)

+ x

x→0

1.41. lim

−

−1

x −1

x→1

(1 + mn)n − (1 + nx)m

lim

1.43. x→0

m, n − натур. числа.

1.45. lim

x7 + 5 + 4 2x3 + x +1

+ x7 +1 − x +8

x→+∞

n x −1 1.47. lim m .

x→1 x −1

1.49.lim ( x 2 + 2 − x).

x→±∞

1.51. lim sin 2x .
x→0	x

1−x

1+ x 2 1−x 2

б) lim 2 ;

x→1 2 + x

1.54. lim		3arcsin x				.

x→0			2x
1.56. lim		1− cos x			.
		x		2
x→0				π
					tgx .
1.58. lim x −				2
x→	π
	2
1.60. lim		(x 2	−1)tg				πx .
x→1							2

277

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

1.61. lim

sin(2x + a) − 2sin(x + a) + sin a

1.62. lim

3 cos x −

cos x

sin

x→0

1.63. lim (sin

x ).

1+ x

1−x

x +1 −sin

1−x 2

1.64. а) lim

;

2 + x

x→+∞

x→0

x +2

1.65. lim

1.66. lim

x→∞

x +1

x→∞

x +3 x2

x +1 2x+1

1.67. lim

1.68. lim

2x +

x→∞

− 2

+ 2x +1

1−x

1.69. lim

1.70. lim

−5x + 4

−3x + 7

x→∞

1.71. lim(1+ sin x)cos ecx .

1.72. lim ln(1+ mx) .

x→0

1.73. lim x(ln(x +1) −ln x) .

1.74. lim(1+ x 2 )ctg2x .

x→+∞

x→0

a x

1+ tgx

tgx

−1

1.75. lim

1.76. lim

1+sin x

x→0

1.77. lim

ex −e

1.78. lim

x x

−aa

;

a > 0 .

x −1

x −a

x→1

x→a

1.79. lim

n!+(n +1)!

1.80. lim

n!+(n +1)!

n→∞

(n + 2)!

n→∞

(n +1)!−n!

1.81. Определить порядки бесконечно малых:

1) 1−cos2x ;

2) tgx −sin x ;

3) 3sin3 x − x4 ;

sin2 2x + x6 ;

5) 1 − x

−1;

4 + x

− 2 ;

7) 2sin x −sin 2x ;

8) 1−

2 cos x

относительно бесконечно малой х.

1.82. Доказать, что при х→ 0 :

3) arctg mx ≈ mx ;

4) tg mx ≈ mx ;

1) sin mx ≈ mx ;

2) arcsin mx ≈ mx ;

5) 3 1+ x −1 ≈

1 x ;

1+ x −1 ≈ 1 x ;

7) 1 − cos3 x ≈1,5sin2 x ,

где ≈ – означает знак эквивалентности.

1.83. Указать точку разрыва функции у =

. Найти

lim y,

lim y .

х−3

x→3−0

x→3+0

x→±∞

1.84. Найти точки разрыва и определить их характер:

1) y = 1

;

2) y = tg 2x ;

3) y =

;

4) y

=1 −

;

x2 −

278

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

y =1 −3x

; 6) y = x

− x ;

7) y = x

− 4 .

x3 − 4x

1.85. Найти асимптоты кривых:

y =

+ 2

;

y =

+ 4

;

−1

y =

−1

;

y =

2x2

+ 3x − 4

;

x2 − y2 = a2 ;

x3 + y3

= 3axy ;

10) y =

x 2

+1 + x 2 −1 ;

11) y =

x2 +1 − x2 −1 ;

3)	y =	x2	;
		x2 +1

6)	y =	ax +b	;
		mx + n

9) y = x − 2arctgx ;

12) y = x − 1x .

Ответы

1.6. 0. 1.7. ∞. 1.8. 2. 1.9. –0,6. 1.10.

3 . 1.11. 0,25. 1.12. е3 . 1.13.

е . 1.14. е−2 . 1.15. 0.

1.16. е−

. 1.17. 2. 1.18. 0. 1.19. е−3 . 1.20. 0. 1.21. 0. 1.22. 2. 1.23. 0. 1.24. 4. 1.25. 0.

1.26. –1. 1.27. 0,75. 1.28. 0. 1.29.

1 − a

. 1.30. 0,5. 1.31. 0,5. 1.32. 1. 1.33. 3. 1.34. 1. 1.35. 0.

1 − b

1.36. 1 . 1.37.

1 . 1.38. 0,5. 1.39. 10. 1.40. –0,4. 1.41. –1. 1.42.

. 1.43.

1 тп(п − т) .

. 1.48. 0. 149. 0. при х → +∞

1.44. 1. 1.45. ∞. 1.46. 0. 1.47.

. 1.50. 1. 1.51. 2. 1.52. 0.

∞, при х → −∞

1.53. п. 1.54. 1,5. 1.55. 0,5. 1.56. 0,5. 1.57. –1,5. 1.58. –1. 1.59. –0,5. 1.60. −						4	. 1.61. −sin a .
						π	. 1.61. −sin a .
						π
1.62.		1	. 1.63. 0. 1.64. а) 0,5; б)	2	; в) 1. 1.65. е−1. 1.66. 1. 1.67. 0. 1.68. е6 . 1.69. 0.
1.62.	12		. 1.63. 0. 1.64. а) 0,5; б)	3	; в) 1. 1.65. е−1. 1.66. 1. 1.67. 0. 1.68. е6 . 1.69. 0.
	12			3

1.70. е2 . 1.71. е. 1.72. т. 1.73. 1. 1.74. е. 1.75. 1. 1.76. ln a. 1.77. e. 1.78. aa ln ea . 1.79. 0.

1.80. 1. 1.81. 1) 2-го; 2) 3-го; 3) 1-ого; 4) 1-ого; 5) 3-го; 6) 2-го; 7) 3-го; 8) 2-го. 1.83. х = 3.

1.84. 1)x = 0,

II род; 2)

+ πn ,

II род; 3) x = ±2,

II род;

x = 0,

род;

5) x = 0,

род;

6) x = 0,

I род;

x = 0,

род,

x = ±2,

род.

1.85.1) х = 0 − вертик., у =

− накл;

2)х =1, у = х+1;

3) у =1;

4) х = 0, у = −1; 5) х = 0, у = 2х+ 3; 6) х = −

, у =

;

7) у = ±х;

8) х + у = −а;

9) у = х± π; 10) у = ±2х;

11) у = 0; 12) х = 0, у = х.

279

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб14Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб76Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб21материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб265Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx