Математический анализ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

7.21. С переходом к новым переменным по формулам x + y = u, x − y = v вычислить двойной интеграл ∫∫(x + y)3 (x − y)2 dxdy , где область D есть квадрат, ограниченный прямыми

( D)

7.24.С помощью двойного интеграла и с переходом к полярным координатам вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (x2 + y2 )2 = 2xy .

7.25.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями

ρ = 2(1+ cosϕ) u ρ = 2cosϕ .

7.26.С помощью двойного интеграла и с переходом к полярным координатам вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (x2 + y2 )2 = 4x3 .

7.27.С помощью двойного интеграла и с переходом к новым переменным по формулам x − 2 y = u, 3x + 4 y = v вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

(x − 2y + 3)2 + (3x + 4y −1)2 =100 .

7.28. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми x2 + y2 = 8, x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4 .

7.29.С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного параболоидами z = x2 + y2 u z = 2x2 + 2y2 , цилиндром y = x2 и плоскостью y = x .

7.30.С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного цилиндром

x2 + y2 = 2x , параболоидом z = x2 + y2 и плоскостью z = 0 .

7.31. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом z = 2x2 + y2 +1 и плоскостями x + y =1, x = 0, y = 0, z = 0 .

7.32. С помощью двойного интеграла и с переходом к цилиндрическим координатам вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y 2 u z = x + y .

300

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

7.33.С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью z = 0 , цилиндром x2 + y2 = 2x и конусом x2 + y2 = z2 .

7.34.С помощью двойного интеграла и с переходом к новым переменным по формулам

z = x + y, xy =1, xy = 2, y = x, y = 2x, z = 0, (x > 0, y > 0) .

7.35. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми z = 4 − x2 , 2x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0 .

Ответы

301

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел VIII. Тройные интегралы

Примеры

8.1. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫dxdydz , где V есть прямоугольный параллелепипед

(V )

0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 .

8.2. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫xyz dxdydz , где область V есть прямоугольный па-

(V )

раллелепипед 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 4 .

8.3. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫(x2 + y2 + z2 )dxdydz , где V есть прямоугольный па-

(V )

раллелепипед 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ z ≤ 6 .

8.4. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫z dxdydz , где область V определяется неравенствами

8.5. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫x3 y2 z dxdydz , где область V определяется неравенст-

(V )

вами 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy .

8.6. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫y cos(z + x)dxdydz , где V есть область, ограниченная

8.9. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл

∫∫∫z x2 + y2 dxdydz , где область V определяется неравенствами

(V )

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x − x2 , 0 ≤ z ≤ 4 .

302

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

8.10. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл

∫∫∫dxdydz , где область V определяется неравенствами

(V )

0 ≤ x ≤ 2, − 2x − x2 ≤ y ≤ 2x − x2 , 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y2 .

8.11. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫x2 dxdydz , где область V есть эллипсоид

8.12. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл

8.13. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл

8.16. С помощью перехода к сферическим координатам вычислить тройной интеграл

∫∫∫ 1+ (x2 + y2 + z2 )32 dxdydz , где область V есть шар x2 + y2 + z2 ≤1

(V )

8.17.С помощью тройного интеграла и с переходом к сферическим координатам вычислить объем шара x2 + y2 + z2 = 4 .

8.18.С помощью тройного интеграла и с переходом к цилиндрическим координатам вы-

числить объем тела, ограниченного поверхностями 4z = x2 + y2 , z = 4 .

8.19. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 , z = x2 + y2 .

8.20. С помощью тройного интеграла и с переходом к цилиндрическим координатам вычислить объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 4 и параболоидом x2 + y2 = 3z .

303

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

8.21.С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = x2 + y2 и конусом z 2 = xy .

8.22.С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхно-

стями y2 =16 −6x, y2 = 2x , и z = ±4 .

8.23.С помощью тройного интеграла и с переходом к сферическим координатам вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (x2 + y2 + z2 )2 = xyz .

8.24.С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми x2 + y2 − z2 = 0 , и z = 6 − x2 − y2 .

8.25. С помощью тройного интеграла и с переходом к сферическим координатам вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (x2 + y2 + z2 )2 = z(x2 + y2 ) .

Ответы

304

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел IX. Криволинейные интегралы

Примеры

зок прямой от точки А(1;1) до точки В(3;4).

305

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

9.10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫2xdy −3ydx , где L – контур тре-

( L)

угольника с вершинами А(1;2), В(3;1), С(2;5), пробегаемый в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

окружности x = cos t, y = sin t , пробегаемая в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

вдоль окружности L: x2 + y2 = 4 против хода часовой стрелки.

9.13. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫2(x2 + y2 )dx + (x + y)2 dy , где L – пробегаемый в положительном направлении контур

( L)

треугольника с вершинами в точках А(1;1), В(2;2) и С(1;3). Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.

9.14. Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫xdy + ydx , где L – дуга парабо-

9.17.Пользуясь криволинейным интегралом второго рода, найти функцию U (x, y) , если dU = (shx + chy)dx + (xshy +1)dy ,

9.18.Пользуясь криволинейным интегралом второго рода, найти функцию U (x, y) , если dU = [y + ln(x +1)]dx + (x +1 − e y )dy

9.19. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫− x2 ydx + xy2 dy , где L – окружность x2 + y2 = 9 , пробегаемая в положительном направ-

( L)

лении.

306

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

9.21. Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫cos ydx − sin xdy , где L – отрезок

( L)

АВ биссектрисы второго координатного угла и абсцисса точки А равна 2 и ордината точки В равна 2.0

9.25. Пользуясь криволинейным интегралом второго рода, найти функцию U (x, y) , если dU = x2dx + y2dy .

9.26. Пользуясь криволинейным интегралом второго рода, найти функцию U (x, y) , если

мой от точки О(0;0) до точки А(2;1).

307

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

9.30. Вычислить криволинейный интеграл второго рода ∫xydx , где L – часть кривой Га-

Ответы

308

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел Х. Элементы теории поля

Примеры

10.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода ∫∫(x + y + z)dS , где поверхность S

10.3. Вычислить поверхностный интеграл первого рода ∫∫ xyz dS , где поверхность S есть

(S )

часть параболоиды z = x2 + y2 , отсекаемая плоскостью z = 1.

10.4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода ∫∫(xy + yz + xz)dS , где поверх-

(S )

ность S определяется соотношениями z = x2 + y2 , x2 + y2 = 2x .

10.5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода ∫∫(x2 + y2 )dS , где S есть часть ко-

∫∫( y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dydx , где поверхность S есть внешняя сторона конуса

(S )

x2 + y2 = z2 , 0 ≤ z ≤ 4 .

10.8. Вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫zdxdy , где поверхность S есть

(S )

нижняя сторона части конической поверхности z2 = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤ 2 .

10.9. Вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫z2dxdy , где поверхность S есть

(S )

внешняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = R2 , R > 0, y ≥ 0 .

309