Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4.33.

sin

(m − n)x

sin (m + n)x

−

при

m ≠ n

m − n

m + n

−

sin 2mx

+ c

при

m = n

[x +ln

]+c . 4.35.

5tg

4.34.

+c . 4.36.

arctg

+c .

sin x +cos x

arctg 2tg

4.37. 6

x −

3 x

x −ln 1 +6 x + c . 4.38. (2x +1)(2

2x +1 − 3)+ c .

4.39. ln

. 4.40. ln

c (x +1)

. 4.41.

x 4 − x2 +4 arcsin

+c .

x +1 + 2x2 + 2x +1

1+ x2 + 2x + 2

4.42. 2 arcsin

x −1

(x −1)

3 + 2x − x2

+c . 4.43.

−

(4 + x2 )3

+ c .

4.44.

1 ln

4 1 + x3

−1 +

2 arctg 4 1 + x3

+ c . 4.45. −

(2 − x3 )2 +c . 4.46. −

1+ 2x2

+c .

4 1 + x3 +1

4x2

x 1 + x2

4.47.

2 (x + 7)

x +1 +2

x +1 −

2 + c .

x +1 +

290

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел V. Определенный интеграл и его применение

		Примеры
Вычислить следующие определенные интегралы.
5.1. ∫8	( 2x +3 x )dx .	5.2. ∫1	x +1 dx .
0		0

5.3. ∫3	2x		dx .
0
e2
5.5. ∫ln x dx .
e
5.7. π∫sin				x	cos	3x		dx .
5.7. π∫sin				2	cos			dx .
0				2			2
3−1					dx
5.9.	∫				dx			2 .
5.9.	∫			3 − 2x − x				2 .
	0			3 − 2x − x
	e	3	1+ ln x				dx .
5.11. ∫					x		dx .
	1				x
	π
5.13. ∫4 tg 3 x dx .
	0
5.15. ∫2		x ln (x2 +1)dx .
	0
5.17. ∫5					dx			.
5.17. ∫5		x	2	+ 2x −			3	.
	2	x		+ 2x −			3
	4,5				3dx
5.19.	∫				3dx			.
	1	1		+	2x −1

5.4. ∫2 e2 x dx .

5.6. ∫2 cos2 x sin x dx .

5.8. ∫4 tg 4 x dx .

0
π
5.10. ∫4				dx				.
5.10. ∫4						2	x	.
0 1+ sin							x
2
5.12. ∫		2 − x2					dx .
1
5.14. ∫3					dx				.
5.14. ∫3			2						.
2 2x				+ 3x + 2
5.16. π∫x2			cos x dx .
0
2a		x2			− a2			dx .
5.18. ∫				x	4			dx .
a				x
π
3						dx
5.20. ∫						dx			5 x .
5.20. ∫	4	sin			3	x	cos		5 x .
Π	4	sin				x	cos
4

5.21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 1). осями координат, прямой x = 3 и параболой y=x2+1 ;

2). осью ординат, прямыми y = - 2 , y = 3 и параболой 2x = y2 ;

2		y =	x2
3). параболами y = x	+ 1,			и прямой y = 5 ;
			2

4). параболами y = x2 и x = y2 .

5.22.Найти площади двух фигур, ограниченных параболой y2 = 2x и окружностью y2 = 4x – x2 .

5.23.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y2 = x (x – 1)2 .

291

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

5.24.Вычислить площадь фигуры, ограниченных параболой y = - x2 + 6x – 5 и осями координат.

5.25.Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 1). окружностью x2 + y2 = R2 ;

2). одной полуволной синусоиды y = sin x и осью Оx ; 3). гиперболой y·x = 7 и прямыми x = 2 , x = 7 , y = 0 ;

4). кривой y = ln x и прямыми x = e , y = 0 ; 5). параболой y = 4 – x2 и осью абсцисс ;

6). полукубической параболой y2 = x3 , осью ординат и прямой y = 2 ;

		a		x		−	x
		a				−
7). линией	y =		e a		+ e		a	и прямыми x = - a , x = a (a>0);
7). линией	y =		e a		+ e		a	и прямыми x = - a , x = a (a>0);
		2
		2

8). кубической параболой y = x3 , прямой y = 2 и осью Оy ;

9). кривыми y = ex , y = e-x						и прямой y = 4 ;
10). эллипсом	x2	+	y 2	=1		(a>0, b>0);
	a2		b2
						2
		2	и y =				.
11). Линиями y = x
					1 + x2

5.26. Вычислить площадь фигуры между смежными наибольшим и наименьшим радиуса- ми-векторами каждой кривой:

1). r = 3 − cos 2ϕ ; 2). r = 2 + sin 3ϕ ; 3). r = 3 + sin 2ϕ ; 4). r = 2 − cos 3ϕ .

5.27. Вычислить длину окружности x2 + y2 = R2 (R>0).

2 2 2

5.28.Найти длину астроиды x 3 + y 3 = a 3 (a>0).

5.29.Вычислить длину дуги параболы y2 = 4x от вершины до точки M (1; 2).

Вычислить длину дуги кривой:

		a		x		−	x
		a				−
5.30.	y =		e a		+e		a	между прямыми x = ±a (a>0).
5.30.	y =		e a		+e		a	между прямыми x = ±a (a>0).
		2
		2

5.31.y = ln x от x = 0,75 до x = 2,4 .

5.32.y = ln (2 cos x) между смежными точками пересечения о осями координат Оy и Оx .

5.33.Кардиоиды r = a (1− cosϕ) (a>0).

5.34.Первого завитка спирали Архимеда r = a ϕ (a>0).

5.35.Всей кривой r = a sin 3 43 .

5.36.y2 = 2px , отсеченной прямой x = Ρ2 (p>0).

292

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

5.37. Эллипс	x2	+	y 2	=1	a > b вращается: 1). вокруг большой оси; 2). вокруг малой
	a2		b2

оси. Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения.

5.38. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1).

y 2

= 2 px

x = h

вокруг оси Оx ;

2).

xy = 4

y =1,

y = 2

осью Оy вокруг оси ОY ;

3).

y 2

= (x + 4)3

и x = 0

вокруг оси Оx и оси Оy ;

4).

= sin 2

(0 ≤ x ≤ π )

и y = 0 вокруг оси Оx ;

5).

x +

y =

x = 0

y = 0

вокруг оси Оy (a>0);

6). x2 + y 2 =R2

вокруг

прямой

x = b > R (b>0, R>0);

7). x

+ y

= a

вокруг оси Оx (a>0).

5.39. Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой:

1). x2 + y 2 =R2

вокруг

оси

Оx (R>0);

2). y = 0,5 x2 , отсеченной прямой y = 1,5 , вокруг оси Оy;

3).

y 2

вокруг

оси

Оy ;

4). Одной полуволновой кривой y = sin x вокруг оси Оx;

x=a (t −sin t )

5). Одной арки циклоиды

вокруг оси Оx (a>0);

y=a (1−cost )

6). x2 + y 2 =R2

вокруг

прямой

x = b > R (b>0, R>0);

7). x = et sin t ,

y = et cos t

от

t = 0

до

= π

вокруг оси Оx ;

8). Всей кривой x = a cos3 t ,

y = a sin3 t (a>0);

9).

y 2

=1,

вокруг

оси

Оx

оси

ОY (a>0, b>0).

Ответы

5.1. 33 13 . 5.2. 23 ( 8 −1). 5.3. 72 . 5.4. 0,5 (e4 − e2 ). 5.5. e2.. 5.6. 0,25. 5.7. – 1. 5.8. π4 − 23 .

5.9. π . 5.10.		2		arctg		2 . 5.11.			3 (2 3 2 −1). 5.12. π − 2 . 5.13.							1 − ln 2		.
5.9. π . 5.10.		2		arctg		2 . 5.11.			3 (2 3 2 −1). 5.12. π − 2 . 5.13.									.
6		2							4	4					2
5.14. 0,2 ln (			4	). 5.15. 2,5 ln 5 − 2						. 5.16. − 2π . 5.17.		1		ln 2,5	. 5.18.		3 .
		3										4					8a2
5.19. 1,5 (0,5 + ln 1,5). 5.20. 4 (8								3 −1). 5.21. 1) 12; 2)			35		; 3) 34 (5 10 − 3); 4) 13 .
5.19. 1,5 (0,5 + ln 1,5). 5.20. 4 (8								3 −1). 5.21. 1) 12; 2)			6		; 3) 34 (5 10 − 3); 4) 13 .
	8					8			8
5.22. 2 π −		;		2 π	+		. 5.23.			. 5.24. 13.
5.22. 2 π −	3	;		2 π	+	3	. 5.23.		15	. 5.24. 13.
	3					3			15

293

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

5.25. 1) π R2; 2) 2; 3) 7 ln 2,5; 4) 1; 5) 10

; 6) 1,2 3 4 ; 7)

(e2

−1); 8).

2 2 ;

9) 2 (8 ln 2 −3); 10) Пab; 11)

3π − 2

. 5.26. 1).

19π

; 2).

3π

; 3).

19π

; 4).

3π

5.27. 2 π R. 5.28. 6a. 5.29.

2 + ln (1 +

2 ). 5.30. 2a sh1. 5.31.

1,35 + ln 2.

5.32. ln (2 +

3). 5.33. 8a. 5.34. π a

1 + 4π 2

+ a ln (2π +

1 + 4π

2 ). 5.35.

3πa

Ρ [

2 + ln (1 +

2 )]. 5.37. 1).

5.36.

πab2 ; 2).

πa 2b .

π 2

πa3

; 6) 2π

2 2

32π

5.38. 1) π ph ; 2) 8π

; 3) 64π

; 58,5π ; 4)

; 5)

b; 7)

105

4π

[

2 + ln (1 +

2 )]; 5).

5.39. 1). 4π R2 ; 2).

; 3). 2π 1

; 4). 2π

πa2 ;

6). 4π

2 bR ; 7).

2π

2 (eπ

− 2); 8). 2,4 π a2;

9). 2πb

2πab

arcsin Σ

2πa

πb2

1+ε

1−ε

где

ε − эксцентриситетэллипса.

294

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел VI. Несобственные интегралы.

Примеры

6.1. Вычислить несобственный интеграл первого рода −∫1 dx .

−∞ x2

6.2. Вычислить несобственный интеграл первого рода ∞∫ dx 2 .

−∞1+ x

6.3.Вычислить несобственный интеграл первого рода ∫ 2dx .

1 x

6.4.Вычислить несобственный интеграл первого рода ∞∫xe−x2 dx .∞

0
∞	arctg x
6.5. Вычислить несобственный интеграл первого рода ∫0	arctg x				dx .
6.5. Вычислить несобственный интеграл первого рода ∫0	1+ x2				dx .
0				dx
6.6. Вычислить несобственный интеграл первого рода −∞∫				dx	.
6.6. Вычислить несобственный интеграл первого рода −∞∫				4 + x2	.
∞				dx
6.7. Вычислить несобственный интеграл первого рода −∞∫				dx
							.
			(x2 +1)(x2 + 4)				.
∞				dx
6.8. Вычислить несобственный интеграл первого рода ∫2				dx
						.
		x2 + x − 2				.

6.9. Вычислить несобственный интеграл первого рода ∞∫e−2 x cos 3x dx .

6.10. Вычислить несобственный интеграл первого рода в смысле главного значения

	∞
V .p.	−∞∫ 11++xx2 dx .

∫1 dx

6.11. Вычислить несобственный интеграл второго рода −1 x2 .

6.12.Вычислить несобственный интеграл второго рода

6.13.Вычислить несобственный интеграл второго рода

6.14.Вычислить несобственный интеграл второго рода

6.15.Вычислить несобственный интеграл второго рода

6.16.Вычислить несобственный интеграл второго рода

∫1 x ln2 xdx .

2	dx		.
	dx
∫1 (2 − x)		1
∫1 (2 − x)		2
∫1	dx	2 .
−1	1 − x
1	dx
	dx
∫0 (2 − x)			1 − x .
∫2	x5dx 2 .
0	4 − x

295

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

6.17. Вычислить несобственный интеграл второго рода ∫e	1	dx .
1	x ln x
6.18. Вычислить несобственный интеграл второго рода ∫1	5x +31 dx .
−1	x

π 2

6.19. Вычислить несобственный интеграл второго рода ∫ x ctg xdx .

6.20. Вычислить несобственный интеграл второго рода в смысле главного значения

V .p. ∫2		dx	.
V .p. ∫2		x ln x	.
1	2	x ln x
	2
			∞	1 + x2			dx .
6.21. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода ∫					x	3	dx .
			1		x
			∞		−x2
6.22. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода ∫1				ex2 dx .
6.23. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода ∞∫					3	dx2	.
			1	x		x	+1

6.24. Вычислить несобственный интеграл первого рода ∞∫e−ax2 dx (a > 0) , пользуясь инте-

гралом Пуассона ∞∫e−x2 dx =

π .

6.25. Вычислить несобственный интеграл первого рода

∞∫

sin 2x

dx , пользуясь интегралом

Дирихле ∞∫

sin x

dx =

π .

6.26. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода ∫1

3x3 2 +2

2dx .

−1

x2 dx

5 .

6.27. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода ∫

3 (1 − x

)

6.28. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода ∫0

ex −cos x

π 2 1 − cos x

dx .

6.29. При каких значениях т несобственный интеграл второго рода ∫

сходится, при каких – расходится.

6.30. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода

1	1dx− x4 .
∫0

296

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Ответы

6.1. 1. 6.2.			π	. 6.3. ∞. 6.4.	1	. 6.5.	π 2	. 6.6.		π	. 6.7.	π	. 6.8.				2	ln 2 . 6.9.			2	. 6.10. π. 6.11.	∞.
6.1. 1. 6.2.			2	. 6.3. ∞. 6.4.	2	. 6.5.	8	. 6.6.		4	. 6.7.	6	. 6.8.			3		ln 2 . 6.9.		13		. 6.10. π. 6.11.	∞.
	1		2		2		8			4		6		10		3				13
6.12.	1	. 6.13. 2. 6.14. π. 6.15.				π . 6.16.			256	. 6.17. 2. 6.18.				10		. 6.19. π ln 2 . 6.20. 0.
6.12.		. 6.13. 2. 6.14. π. 6.15.				π . 6.16.			15	. 6.17. 2. 6.18.					7	. 6.19. π ln 2 . 6.20. 0.
4						2			15						7				2
6.21. Расходится. 6.22. Сходится. 6.23. Сходится. 6.24.														1				π	. 6.25.		π	. 6.26. Сходится.
														2				a		2
6.27. Расходится. 6.28. Расходится. 6.29. При m<3 сходится,																			при т ≥ 3расходится. 6.30.
Сходится.

297

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Раздел VII. Двойные интегралы

Примеры

7.1. Вычислить двойной интеграл ∫∫x ln ydxdy , где область D есть прямоугольник

( D)

0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e .

7.2. Вычислить двойной интеграл ∫∫(cos2 x + sin 2 y)dxdy , где область D есть квадрат

			( D)
0 ≤ x ≤	π	, 0 ≤ y ≤	π .
	4		4
7.3. Вычислить двойной интеграл ∫∫				dxdy			, где область D есть прямоугольник
7.3. Вычислить двойной интеграл ∫∫				(x + y +	1)	2	, где область D есть прямоугольник
			( D)	(x + y +	1)

0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1.

7.4. Вычислить двойной интеграл ∫∫x2 yexy dxdy , где область D есть прямоугольник

		( D)
0 ≤ x ≤	π	, 0 ≤ y ≤ 2 .
	2

7.5. Вычислить двойной интеграл ∫∫(x + y)dxdy , где область D есть квадрат

( D)

0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1.

1	1−x2
7.6. Изменить порядок интегрирования в интеграле ∫dx	∫	f (x, y)dy .
−1	− 1−x2
e	ln x

7.7.Изменить порядок интегрирования в интеграле ∫dx ∫ f (x, y)dy .

7.8.Изменить порядок интегрирования в интеграле π∫dx sin∫xf (x, y)dy .

3	6 x−x2
7.9. Изменить порядок интегрирования в интеграле ∫dx	∫	f (x, y)dy .
3 2	0

7.10. Изменить порядок интегрирования в интеграле ∫1 dx 3∫x f (x, y)dy .

0 2 x

298

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

7.11. Вычислить двойной интеграл ∫∫(x2 + y 2 )dxdy , где D есть область, ограниченная ли-

( D)

ниями y = x2 u x = y2 .

7.12. Вычислить двойной интеграл ∫∫xydxdy , где D есть часть области в первом квадран-

				( D)
те, ограниченная эллипсом	x2	+	y2	=1.
те, ограниченная эллипсом	4	+	9	=1.
	4		9
7.13. Вычислить двойной интеграл				∫∫x2 y 2 1 − x3 − y3 dxdy , где D есть область, ограни-
				( D)
ченная линией x3 + y3 =1 и осями координат.
7.14. Вычислить двойной интеграл				∫∫(cos 2x + sin y)dxdy , где D есть область, ограничен-
				( D)

ная линиями x = 0, y = 0, 4x + 4 y −π = 0 .

7.15. Вычислить двойной интеграл ∫∫(x − y)dxdy , де D есть область, ограниченная линия-

( D)

ми y = x u y = x3 .

7.16. Вычислить двойной интеграл ∫∫xy2 dxdy , где D есть область, ограниченная парабо-

( D)

лой y2 = 4x и прямой х = 1.

7.17. Вычислить двойной интеграл ∫∫y2 dxdy , где D есть область, ограниченная осью абс-

( D)

цисс и первой аркой циклоиды x = 2(t − sin t),

y = 2(1 − cos t),

(0 ≤ t ≤ 2π) .

7.18.

переходом

полярным

координатам,

вычислить

двойной

интеграл

∫∫

+ y2 dxdy , где D есть область x2 + y2

≤ 9 .

( D)

7.19.

переходом

полярным

координатам,

вычислить

двойной

интеграл

∫∫(x2 + y 2 )dxdy , где D есть область, ограниченная окружностью

+ y2 = 4х.

( D)

7.20. С переходом к обобщенным полярным координатам ρ иϕ по формулам

∫∫

1− x

− y

x = aρ cosϕ, y = aρsinϕ

вычислить двойной интеграл

2 dxdy , где D есть об-

( D)

ласть, ограниченная эллипсом

=1.

299

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб106мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб14Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб76Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб22материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб269Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx