Математика_Семестр2_РГР_Ряды

3

В. И. МАТЯШ

РЯДЫ

КУРС ЛЕКЦИЙ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Учебное пособие

Издание третье, исправленное и дополненное

4

МОСКВА 2007

Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ»

Автор и составитель — Матяш В.И.

В школе нас научили находить сумму двух, трех, четырех чисел — вообще говоря, сумму любого конечного числа слагаемых. Складывать бесконечное число слагаемых в школе нас вроде бы и не учили, хотя можно вспомнить, что сумму бесконечной убывающей последовательности мы, тем не менее, вычисляли. Так что же следует понимать под суммой бесконечного множества чисел (а в более сложных ситуациях — уже не чисел, а скажем, функций)? Задача суммирования бесконечного множества какихто однотипных объектов (чисел, функций, векторов, матриц и т. п.) постоянно встречается в математике. Эта задача и решается в теории рядов, составляющей одну из важных глав курса математического анализа.

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом по естественнонаучным дисциплинам МГТУ «МАМИ»

Для направлений и специальностей: Автомобиле-и тракторостроение

5

Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования Наземные транспортные системы Электрооборудование автомобилей и тракторов Электротехника, электромеханика в электротехнологии Двигатели внутреннего сгорания Машины и технология обработки металлов давлением

Машины и технология литейного производства

6

7

8

РЯДЫ

1.Числовые ряды.

1.1.Положительные ряды.

Сходящие и расходящиеся ряды. Сумма ряда.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

n 1

Сточки зрения «обычной» арифметики эта запись лишена смысла, т.к.

получить сумму чисел, последовательно прибавляя одно число за дру-

гим, в данном случае нельзя, ибо таких чисел бесконечное множество.

Поэтому выражение (1.1) представляет собой всего лишь символ2, ис-

пользуемый для обозначения новой операции – операции сложения бесконечного числа слагаемых, определение которой будет дано ниже.

Выражение (1.1) называют числовым рядом или просто рядом, а

числа a1,a2 ,...,an , называются членами ряда. Ряд считается задан-

ным, если задан закон, по которому можно найти любой член этого ря-

да.

1Здесь правая часть равенства есть краткая форма записи его левой части.

2Так же как и, например, употребляемое в теории пределов выражение 00 .

9

Что же может означать сумма бесконечного числа слагаемых?

Пожалуй, простейший способ наглядно представить такую сумму дает следующий пример.

Разделим отрезок длины 2 на два равных отрезка. Длина каждо-

го из них будет равна 1. Не трогая левого отрезка, правый разделим на два равных отрезка длины 12. Правый из них опять разделим на два равных отрезка (каждый длины 14). Продолжая этот процесс до бес-

конечности, приходим к разбиению отрезка длины 2 на отрезки длины

частей, то на первый взгляд «очевидно», что

1 1 1 1 1 2. 2 4 8 16

Это рассуждение было известно еще древним грекам, и уже то-

гда философ Зенон оспаривал его законность3. Разумеется, с формаль-

ных позиций последнее равенство невыполнимо (нельзя объять необъ-

ятное), однако очень уж такое рассуждение правдоподобно.. По край-

ней мере, так кажется. Что же позволяет верить в его справедливость?

Попробуем разобраться. Каждое следующее слагаемое левой части вы-

3 ЗЕНОН (около 490 г. до н. э.) известен своими парадоксами. Один из его парадоксов утверждает, что бегущий человек никогда не сможет достичь своей цели, поскольку он должен сначала пробежать половину дистанции, затем половину оставшейся части дистанции, затем снова половину оставшейся части и т. д.; таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно. Если этим парадоксом Зенон хотел показать, что сложение бесконечного множества чисел нельзя трактовать как процесс, аналогичный сложению конечного их числа, то он был, разумеется, прав.

10

писанного равенства получается умножением предыдущего слагаемого на один и тот же множитель равный 12 и, следовательно, сумма любо-

го конечного числа слагаемых может быть подсчитана как сумма гео-

метрической прогрессии. Имеем

Обратите внимание, разность между суммой n первых членов левой части рассматриваемого равенства и числом 2 есть число, ко-

торое становится сколь угодно малым при достаточно большом зна-

чении n и в таком смысле это равенство справедливо4.

Приведенный пример подсказывает, что найти сумму бесконеч-

ного числа слагаемых можно лишь, отказавшись от безнадежного про-

цесса бесконечного суммирования, заменив его совсем другим дейст-

вием – предельным переходом. Разумеется, начинать следует, как и в случае конечных сумм, с последовательного прибавления, не имея в виду продолжать этот процесс неограниченно.

Вычисление суммы бесконечного числа слагаемых есть резуль-

тат двух известных операций – вычисления сумм конечного числа сла-

гаемых и вычисления предела числовой последовательности:

4 В инженерной практике два числа считаются равными, если они различаются на величину меньшую допустимой погрешности.

11

1)Сначала находим последовательно суммы первых двух слагае-

мых; первых трех слагаемых и т.д. Результат, полученный от сложения первых n слагаемых (членов ряда), называется n ой

частичной суммой ряда:

n

Sn a1 a2 ... an ak .

k 1

В итоге получаем числовую последовательность частичных сумм ряда5

S1,S2,...,Sn,... (1.2)

2) Числовая последовательность (1.2) частичных сумм ряда либо имеет конечный предел, либо имеет предел равный или

, либо вообще предела не имеет. В первом случае, как это следует из теории пределов6, для любого сколь угодно малого

0 существует номер K такой, что все частичные суммы

Sn , номер которых больше K , могут отличаться друг от друга на величину не большую чем , т. е. для любых n1 и n2 боль-

ших K справедливо неравенство Sn1 Sn2 7.

Таким образом, все частичные суммы ряда с номерами большими

K , это SK 1 , SK 2 и т.д., ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ОТЛИЧАЮТСЯ от частичной

5Здесь S1 a1.

6Речь идет о критерии Коши существования предела у последовательности.

7Таким образом, для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для

любого 0 при всех достаточно больших n и любом натуральном k выполнялось неравенство | an 1 an 2 an k | (критерий Коши).

12

суммы SK . Поэтому естественно за приближенное (с точностью )

значение суммы S бесконечного числа слагаемых принять конечную сумму SK , а точным значением S считать предел числовой последова-

тельности частичных сумм ряда: S lim Sn .

n

Определение. Ряд an называется сходящимся, если существует ко-

n 1

нечный предел последовательности его частичных сумм (2), а сам этот

Если же этот предел равен бесконечности или не существует, то ряд на-

зывается расходящимся.

Таким образом, для нахождения суммы ряда необходимо по-

следовательное выполнение двух действий: первое – надо найти общий член последовательности частичных сумм Sn ряда; второе – нужно вычислить его предел при n . Это все мало похоже на «суммиро-

вание до тех пор, пока есть что прибавлять». Забывать о существенном различии правил сложения конечного числа слагаемых и правил сло-

жения бесконечного числа слагаемых нельзя. Аналогии здесь, вообще говоря, неуместны.

Из определения следует, что сумму имеют только сходящиеся ряды. Приближенное значение суммы сходящегося ряда с любой точ-

ностью можно найти с помощью конечной суммы достаточно большо-

го числа первых его членов – естественно, чем выше требуемая точ-