Математика_Семестр1_РГР_Матан_7

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

___________________________________________________________

Кафедра «Высшая математика»

М.А. Бодунов, С.И. Бородина, В.В. Показеев, Б.Э. Теуш. О.И. Ткаченко,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Методические указания и варианты расчетно-графических работ

Москва 2011

1. Область определения, линии и поверхности уровня

Определение понятия функции двух и большего числа переменных является аналогом соот-

ветствующего понятия для случая функции одной переменной, а именно:

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре действительных чисел x; y из некоторого множе-

ства D ставится в соответствие по некоторому закону f единственное действительное значение пе-

ременной z из множества Z , то z называется функцией независимых переменных (аргументов) x и y , что записывается так: z f x; y . Множество D называется областью определения, а Z – мно-

жеством значений функции z .

Так как существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел x; y и точками на плоскости, для которых эти числа являются декартовыми прямоугольными координатами, то

множество D представляет собой некоторую область на плоскости (открытую или замкнутую).

Пример 1. Найти и построить область определения функции z ln y x2 1 49 y2 .

Решение. Используя известные из курса функции одной переменной области определения логарифма

Графическое решение этой системы неравенств показано на рис. 1. Штриховой линией обозначен тот факт, что точки, лежащие на параболе, не входят в область определения функции.

y

3

Графиком функции двух переменных является множество точек в пространстве с координа-

тами x; y; f x; y . Это, вообще говоря, некоторая поверхность, а z f x; y – уравнение этой по-

верхности. В большинстве случаев задача построения такой поверхности является весьма сложной, и

для иллюстрации вида этой поверхности служат линии уровня функции.

Определение 2. Множество точек на плоскости XOY , в каждой из которых функция z f x; y

принимает одинаковое значение, называется линией уровня функции.

Уравнение линий уровня, таким образом, имеет вид: f x; y c , c const . Изобразив линии уровня, можно в некоторых случаях представить вид поверхности z f x; y .

Пример 2. Найти и построить линии уровня функции z 4x2 y2 .

2

Нарисовав несколько линий уровня, нетрудно представить, что поверхность z 4x2 y2 име-

2. Частные производные и дифференциал первого порядка

Одними из важнейших в курсе функций нескольких переменных являются понятия частных производных и дифференциала, которые, в свою очередь, основаны на понятии предела: пусть функ-

Определение 3. Частной производной функции нескольких переменных по одному из ее аргументов называется предел отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргу-

мента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

3

правлению координатных осей OX и OY соответственно.

Определение 4. Функция z f x; y называется дифференцируемой в точке M x; y , если ее полное

ращения аргументов, часть полного приращения функции – A x; y x B x; y y – называется

дифференциалом функции в данной точке и обозначается dz .

Формула, по которой находится дифференциал функции, основана на теореме:

Теорема 1. Если частные производные fx и f y непрерывны (как функции x и y ) в точке M x; y ,

то функция z f x; y дифференцируема в этой точке и ее дифференциал находится по формуле:

dx x , dy y .

Аналогичные определения и теорема имеют место для функции любого конечного числа ар-

гументов. Например, для u f x; y; z , du x; y; z f x x; y; z dx f y x; y; z dy fz x; y; z dz .

Пример 3. Найти частные производные первого порядка от функции z sin2 xy x2 1 exy .

Решение. Считая y постоянным, находим:

4

3. Производная сложной функции

Понятие сложной функции нескольких переменных аналогично соответствующему понятию для функции одной переменной. Не нарушая общности рассуждений, дадим его для функции двух переменных.

Определение 5. Пусть функция z f x; y определена в некоторой области D , причем каждая из переменных x и y в свою очередь является функцией переменной t в некотором промежутке T : x t , y t . Пусть, кроме того, значения функций t и t не выходят за пределы области

D . Тогда z f t ; t t называется сложной функцией аргумента t на этом промежутке

T .

Чтобы сложная функция имела производную, достаточно выполнение условий, сформулиро-

Аналогичная теорема и формулы для производных имеют место для сложной функции не-

скольких переменных. Например: пусть z f x; y , где в свою очередь x x u;v , y y u;v , при-

чем каждая из этих функций является дифференцируемой в соответствующей точке. Тогда

5

Рассмотрим теперь, как правила дифференцирования сложной функции нескольких перемен-

ных дают еще один, кроме известных из курса функций одной переменной, метод нахождения произ-

водной степенно-показательной функции y u x v x .

Пример 6. Найти производную y функции y sin x tgx .

Решение. Запишем заданную функцию в виде сложной функции двух переменных: y uv , где

2)функция F x; y в этой точке обращается в нуль: F x0 ; y0 0 ;

3)производная Fy в этой точке отлична от нуля: Fy x0 ; y0 0 .

функция f x непрерывна и имеет непрерывную производную в некоторой окрестности точки x0 , и

эта производная находится по формуле:

6

z f x; y , которая будет иметь частные производные, если выполнены условия сформулированные в следующей теореме.

Теорема 4. Предположим, что:

1)функция F x; y; z и ее частные производные Fx , Fy , Fz существуют в некоторой окрестности точки x0 ; y0 ; z0 ;

2)F x0 ; y0 ; z0 0 ; 3) Fz x0 ; y0 ; z0 0 .

Тогда: а) в некоторой окрестности точки x0 ; y0 ; z0 уравнение F x; y; z 0 определяет z как одно-

значную функцию от x и y : z f x; y ;

б) при x x0 и y y0 эта функция принимает значение z0 : f x0 ; y0 z0 ;

в) функция z f x; y непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой окрест-

ности точки x0 ; y0 , которые находятся по формулам:

Пример 8. Найти частные производные zx и zy функции z f x; y , заданной неявно уравнением

z3 4xz y2 4 0 .

Решение. Находим частные производные функции F x; y; z z3 4xz y2 4 :

5. Производная по направлению и градиент скалярного поля

Пусть в некоторой области D пространства задана функция u f x; y; z . В этом случае го-

ворят, что задано скалярное поле, а функцию u f x; y; z называют функцией этого поля.

7

Как уже было отмечено выше, частные производные функции u f x; y; z выражают “ско-

рость изменения” функции по направлению осей координат. Между тем во многих физических зада-

чах представляет интерес “скорость изменения” функции (или скалярного поля) по другим направле-

ниям.