Математические и логические основы ЭВТ

1.Основные понятия формальной логики. Понятие о логической функции, способы ее представления. Основные лог операции, понятия о тождествах и законах алгебры логики

Формальная логика – наука, занимающаяся анализом суждений и доказательств, используемых человеком для обоснования нового знания, произведенного из установленных фактов.

Логическая функция – функция, зависящая от логической переменной.

Логическая переменная – дискретная переменная, кт принимает только 0 и 1. Представление лог. функции: аналитический способ (в виде выражения), графический(УГО) и табличный.

Логические операции:

1 . Конъюнкция (И,˄,&,*) – умножение (1^1=1) Свойства: 1*a=a; a*a=a; 0*a=0; a*ā=0;

2. Дизъюнкция (ИЛИ,˅,+) – сложение (0˅0=0) 1+a=1; 0+a=a; a+a=a; a+ā=1.

3. Инверсия (ā)

4. Импликация (a→b) – 1 всегда, кроме случая a=1, b=0.

5. Эквивалентность (a≡b) –(0≡0=1, 1≡1=1) свойства: a≡b=ab+āb; a≡а=1; a≡ā=0; a≡0=ā; a≡1=a.

6. Сложение по Модулю 2 (строгая дизъюнкция a b, a b) – (0 0=0, 1 1=0)свойства: a b=¬(a≡b); a a=0; a ā=1; a 0=a; a 1= ā.

Тождество – то, что не требует доказательств (A+1=1 и т.д).

Законы алгебры логики:

2.Уго элементного базиса и представление функциональных схем

3.Понятие о сднф

ДНФ – логическая сумма элементарных конъюнкций: ā₁a₂+a₁ā₂+a₁ā₂a₃.

СДНФ – это ДНФ, в каждом слагаемом которой присутствуют все переменные или их отрицания: ā₁a₂a₃+a₁ā₂a₃+a₁ā₂ā₃.

1. Для перехода от ДНФ к СДНФ необходимо в каждое слагаемое, в котором не представлены все аргументы, ввести выражение вида a_i+ā_i (=1, не меняет значение функции).

2 . Если функция дана в табличной форме:

1.выделить те строки в ТИ, где y=1,

2.для каждого выделенного набора строится конъюнкцию всех переменных, от кт зависит функция, причем, если в наборе переменная = 0, то записывается она с отрицанием,

3.полученные лог. произведения лог. складываем.Y=ā₁a₂+a₁ā₂+a₁a₂= a₂(ā₁­+a₁)+a₁(ā₂+a₂)=a₂+a₁

4 .Арифметические операции над двоичными числами в формате с фиксированной запятой. Диапазон представления чисел в формате с фиксированной запятой, точность вычислений

Все исходные числа представляются как целые. Для приведения их к общему виду производится умножение на общий масштабный коэффициент М, но эта операция создает дополнительные трудности. При любом формате слова нулевой разряд отводится под код знака (+(0), - (1)). Перед заполнением сетки данными во всех ее разрядах находятся нули.

Размещение исходного числа всегда производится от запятой, по ходу определения веса разряда. Если разрядность заносимого числа меньше формата разрядности сетки, то в свободных разрядах остаются нули. Абсолютное значение располагаемого в разрядной сетке числа называется модулем.

Сложение положительных чисел (прямой, дополнительный и обратный коды совпадают)

С ложение двух чисел А₁ и А₂ в формате восьмиразрядной сетки:

Переполнение разрядной сетки - результат сложения превышает максимально возможное число и не вписывается в разрядную сетку, а возникающая единица переноса заносится в знаковый разряд. Для выявления переполнения разрядной сетки производится сложение чисел в модифицированных кодах, когда под знак отводится не один, а два разряда.

В дальнейшем без соответствующей коррекции этот результат не может быть использован в вычислениях. Введение нового масштабного коэффициента производится только над прямыми кодами чисел.

С ложение отрицательных чисел или чисел с разными знаками

Операции выполняются в модифицированном обратном или дополнительном кодах. Чаще используют ДК, так как это позволяет все арифметические операции свести либо просто к сложению, либо к серии сложений и сдвигов.

Модифицированный ДК. Сложение осуществляется по правилу двоичной арифметики. Единица переноса, возникающая в третьем знаковом разряде суммы, отбрасывается.

М одифицированный ОК. Сложение осуществляется по правилу двоичной арифметики. Единица переноса, возникающая в третьем знаковом разряде суммы, прибавляется к младшему разряду модуля, образуя циклический перенос.

Умножение чисел

Процесс умножения сводится к отысканию частичных произведений (ЧП) с последующим их сложением.

Произведем умножение двух чисел А и В:

Деление чисел

Сначала проверяется, можно ли вычесть значение делителя из старших разрядов делимого. Если возможно, то в разряде частного записывается единица и определяется частная разница. В противном случае в частное записывается нуль и разряды делителя сдвигаются вправо на один разряд по отношению к разрядам делимого. К полученной предыдущей разнице сносится очередная цифра делимого, и данный процесс повторяется, пока не будет получена необходимая точность. По сути операция деления приводится к операциям сложения и сдвигам вправо разрядов делителя относительно разрядов делимого. Отметим, что делимое перед операцией деления должно быть приведено к 2n-разрядной сетке. Только в этом случае при делении на n-разрядный делитель получается n-разрядное частное.

Знак частного формируется также путем сложения знаковых разрядов делимого и делителя, как это делалось при умножении.

Диапазон: 0-127 (восьмиразрядная сетка), 0-255 (шестнадцатиразрядная сетка).

Недостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и потерей точности вычислений на другом.

Например: если нужна точность в 3 значащих цифры, 4-байтовая фиксированная запятая даёт диапазон в 6 порядков (то есть, разница приблизительно 10⁶ между самым большим и самым маленьким числом), 4-байтовое число одинарной точности (с плавающей запятой) - в 70 порядков.