Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр2_РГР_Матан_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

322.21 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

_____________________________________________________________________________________

Кафедра «Высшая математика»

Бодунов М.А., Бородина С.И., Теуш Б.Л., Ткаченко О.И.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Часть3. Определенный интеграл

Методические указания и варианты расчетно-графических работ

Москва 2011

Оглавление
1. Определенный интеграл	2
1.1. Определение	2
1.2. Свойства определенного интеграла	4
1.3. Формула Ньютона-Лейбница	5
1.4. Основные методы интегрирования	5
1.5. Несобственные интегралы	6
1.6. Геометрические приложения определенного интеграла	8
1.7. Физические приложения определенного интеграла	13
2. Приложения определенного интеграла (расчетно-графическая работа)	14

1.Определенный интеграл

1.1Определение

Пусть функция f (x) определена на отрезке [a;b] . Разобьем произвольным образом этот от-

резок на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b , выберем на каждом элементарном отрез-

ке [xi-1; xi ]		n
ке [xi-1; xi ]	произвольную точку xi и составим сумму å f (xi ) xi , где xi = xi - xi-1 , которую назовем
		i=1
интегральной суммой функции		f (x) на отрезке[a;b] . Обозначим через l = max{ xi } наибольшую
		1£i£n
из длин xi	отрезков [xi-1; xi ] .	Будем говорить, что диаметр разбиения отрезка [a;b] стремится к ну-

лю и записывать l ® 0 , если число точек разбиения неограниченно увеличивается (n ® ¥) и при

этом каждый отрезок [xi-1; xi ] стягивается в точку.
Определенным интегралом от функции							f (x) на отрезке [a;b]				называется предел интеграль-
ной суммы при l ® 0 :
	n				x =		b
lim	å	f	(	x	x =		ò	f	(	x dx ,	(1.1)
l®0	å		(		i )	i	ò		(	)
	i=1						a

если этот предел существует и не зависит:

1)от способа разбиения отрезка [a;b] на части точками xi (i =1,2,...,n) ;

2)от выбора точек ci на каждом из отрезков [xi-1; xi ] .

Функция f (x) , для которой существует предел (1.1) при выполнении условий 1) и 2) (т.е. суще-

ствует определенный интеграл), называется интегрируемой на отрезке [a;b] .

Число a называется нижним, а b – верхним пределами интегрирования. Из определения сле-

дует, что если функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b] , то она ограничена на этом отрезке – это

необходимое условие интегрируемости функции				f (x)			на [a;b] . Из определения также следует, что
b		(	)		a		(	)
ò		(	)	= -	ò		(	)
	f		x dx	= -		f		x dx .
a					b

Кроме этого, по определению полагают, что òa f (x)dx = 0 .

Отметим некоторые классы интегрируемых на [a;b] функций (достаточные условия интег-

рируемости).

1)Если функция f (x) непрерывна на [a;b] , то она интегрируема на [a;b] .

2)Если функция f (x) ограничена на [a;b] и имеет на [a;b] конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a;b] .

3)Монотонная и ограниченная на [a;b] функция f (x) интегрируема на [a;b] .

Пример 1.1. Вычислить ò1

xdx как предел интегральной суммы.

(

)

(

)

[

]

= x, a = 0, b

=1 . Функция f

= x

Решение. Здесь

непрерывна на

0;1

интеграл существует,

[ ]

следовательно, разбиение отрезка

0;1 точками

и выбор промежуточных точек c

можно осуще-

[

]

ствить произвольным (наиболее удобным) образом. Разделим отрезок

0;1 на n равных частей, то-

гда xi =

b - a

. Выберем

ci = xi Þ f (ci ) = xi .

Тогда

x0 = 0,

x1 =

,..., xn-1

n -1

=1 и, следовательно,

1 xdx = lim

(1+ 2 + 3 + ... + n) 1n

= lim

(1+ n)n

lim

n2 + n

n®¥

2n2

2 n

®¥

1.2.Свойства определенного интеграла

1)Аддитивность интеграла. При любом расположении точек a, b и c на числовой прямой справедливо равенство

òb

f (x)dx =òc

f (x)dx + òb

f (x)dx ,

при условии существования каждого из интегралов.

2) Линейность интеграла. Если функции f1 (x) и

f2 (x)

интегрируемы на отрезке [a;b] , то для лю-

бых чисел l1 и l2 функция l1 f1 (x) + l2 f2 (x) также интегрируема на [a;b] и

)

2 (

)û

1 (

)

2 (

)

òë 1 1 (

él f

+ l f

ù dx = l

dx +l

dx .

3) Интегрирование неравенств. Если функции f (x)

и g (x) интегрируемы на отрезке [a;b] , причем

a < b , и для всех x из [a;b] выполняется неравенство

f (x) ³ g (x) , то òb

f (x)dx ³ òb g (x)dx . В част-

ности, если на [a;b] f (x) ³ 0, то òb

f (x)dx ³ 0 .

4) Интегрируемость модуля функции. Если функция

f (x)

интегрируема на [a;b] , то ее модуль так-

же интегрируем на [a;b] и

òb

£ òb

f (x)dx

f (x)

dx .

5) Теорема о среднем значении. Пусть функция

f (x)

интегрируема на отрезке [a;b] и на [a;b]

m £ f (x) £ M . Тогда на отрезке [m;M ] найдется число m такое, что òb

f (x)dx =m (b - a) .

Следствие. Если функция f (x) является непрерывной на [a;b] ,

то

m = f (x ),

где x – некоторая

точка на [a;b] .

f (x ) =

òb

f (x)dx

Тогда ò f (x)dx = f (x )(b - a)

называется средним значением функции f (x) на

b - a

отрезке [a;b] .

1.3. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция

f (x) непрерывна на отрезке [a;b]

и для нее известна какая-либо первообраз-

ная F (x) на этом отрезке, т.е.

F¢(x) = f (x) ,

то определенный интеграл может быть вычислен по

формуле Ньютона-Лейбница:

òb

f (x)dx = F (x)

= F (b) - F (a) .

(1.2)

Пример 1.2. Вычислить интеграл pò/ 2 cos3 xdx .

p / 2

(1- cos2 x)d cos x =

Решение.

cos3 xdx =

(1- cos2 x)sin xdx = -

p / 2

3 p

ö æ

= ç

-cos x

cos

= ç -cos

cos

÷ -

-cos0 +

cos

0÷ =

ø è

-2

Пример 1.3. Вычислить интеграл ò

5 - 4x - x

-4

Решение.

-2

æ x + 2 ö

-2

2 ö

= arcsinç

= = arcsin 0 - arcsin

= arcsin

-4

5 - 4x

- x

-4

- x + 2

-4

3 ø

1.4. Основные методы интегрирования

Отметим два важных метода вычисления определенного интеграла.

Интегрирование по частям

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

v¢

u¢

(1.3)

x dx = u

b -

x dx

или короче

òb udv = uv

ba - òb vdu ,

где функции u (x)

v(x)

имеют непрерывные производные на

отрезке [a;b] .

Замена переменной

(

)

(

)û

(

)

dx =

f éj

ùj¢

dt ,

(1.4)

где

)

f (x)

– непрерывна на отрезке [a;b] ,

x = j (t) – функция, имеющая непрерывную производную

j¢

(

[

]

(

)

, b = j

(

)

причем, значения функции j

(

)

на отрезке

a;b

a = j a

не выходят за пределы

отрезка [a;b] .

Пример 1.4. Вычислить интеграл òe (1+ x)ln xdx .

Решение. Положим u = ln x ,

dv =

(

+ x

)

dx . Тогда du =

dx ,

v =

+ x . По формуле (1.3) имеем

(1+ x)ln xdx =

æ x2

ö 1

æ x2

+ 5

+ x÷ln x

- ò

+ x

dx = =

+ e - 0 -

+ x÷

+ e -

- e +

+1 =

ø x

Пример 1.5. Вычислить интеграл ò1 arctgxdx .

Решение. Положим u = arctgx , dv = dx . Тогда du =

dx ,

v = x . По формуле (1.3) имеем:

+ x2

xdx

ln(1

)

p - ln 4

òarctgxdx = xarctgx

0 -

= 4

+ x

0 =

ln 2 =

1+ x2

Пример 2.6. Вычислить интеграл ò0

1+ x

Решение. Переходим к новой переменной интегрирования,

полагая x = t2 ,

t > 0 ; при x = 0 получаем

t = 0 , а при x = 4 имеем t =

4 = 2 . Тогда по формуле (1.4) получим:

2tdt

2 æ

= 2òç1-

÷dt = 2(t - ln(1

+ t))

= 4 - 2ln3 .

1+ t

0 è

Пример 2.7. Вычислить интеграл ò1

4 - x2 dx .

Решение.

Положим x = 2sint . При этом изменению переменной x

от

x = 0

до

x =1соответствует

изменение переменной t

от t = 0 до t = p

и по формуле (1.4) получаем

p /6

æt +

sin 2t

p /6

= p +

4 - x2 dx =

4 - 4sin2 t 2costdt = 4

cos2 tdt = 2

1+ cos2t dt = 2

ò (

)

1.5. Несобственные интегралы Обобщением определенного интеграла является несобственный интеграл. Несобственными

интегралами называют: а) интегралы по бесконечному промежутку, б) интегралы от неограниченных функций на конечном промежутке. А именно:

а) если функция f (x) интегрируема на любом отрезке [a;b] ,

где -¥ < b < +¥ , то по определению:	+ò¥	f (x)dx = blim®+¥ òb	f (x)dx ;
	a	a

òb	f (x)dx = alim®-¥ òb	f (x)dx ,	+ò¥	f (x)dx = alim®-¥ òb	f (x)dx
-¥	a		-¥	b®+¥ a

Если пределы, стоящие в правой части равенств, существуют, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если же эти пределы не существуют или равны ± ¥ , то говорят, что интеграл расходится.

	+¥		dx
Пример 1.8. Вычислить несобственный интеграл с бесконечными границами	ò			или установить
		1+ x2		или установить
		1+ x2
	-¥

его расходимость.

Решение.	+¥		dx	= lim	b	dx	= lim arctgx	b
	ò				ò
		1+ x2				1+ x2
				a®-¥			a®-¥	a

	-¥			b®+¥	a		b®+¥

== lim arctgb - lim arctga =		p	æ	-	p ö		= p .
		2	- ç		2	÷
b®+¥	a®-¥		è			ø

б) Если в точке c отрезка [a;b] функция f (x) имеет разрыв II рода и f (x) непрерывна при

x Î[a;c) (c;b], то по определению:

(

)

e ®0

c-e1

(

)

(

)

(

1,2

)

®0 ò

> 0

dx = lim

+ lim

c+e2

(

)

x®c

(

)

Несобственный интеграл

dx , где

= ¥

и a

< c < b

называется сходящимся, если

lim f

существуют оба предела в правой части последнего равенства и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Пример 1.9. Вычислить интеграл ò1

или установить его расходимость.

= lim

= limln

= lim

(

ln1- lne

)

= ¥ , следовательно, несобственный интеграл рас-

Решение.

e ®0

ходится.

При исследовании сходимости несобственных интегралов удобно пользоваться признаками сравнения:


(1)	Если	f (x)	£ j (x) и интеграл +ò¥j (x)dx сходится, то сходится и интеграл				+ò¥ f (x)dx .
(1)	Если	f (x)					+ò¥ f (x)dx .
			a				a
(2)	Если	f (x) ³ 0 , g (x) > 0 на [a,+¥) и lim		f (x)	= A	( A ¹ 0, A ¹ ¥) , то несобственные интегралы
(2)	Если	f (x) ³ 0 , g (x) > 0 на [a,+¥) и lim			= A	( A ¹ 0, A ¹ ¥) , то несобственные интегралы
			x®+¥ g (x)
+ò¥ f (x)dx и +ò¥ g (x)dx либо оба сходятся, либо оба расходятся.
a		a

Аналогичные утверждения справедливы и для несобственных интегралов от функций, имею-

щих точки разрыва II рода на отрезке [a;b] .

Пример 1.10. Исследовать на сходимость интеграл +ò¥ e- x2 dx .

e- x2

[

+¥

)

Решение. Нетрудно убедиться, что

£ e- x , когда x Î

(покажите это).

+¥

- x

Но

= lim e

dx = lim

-e

= lim

ç -

, т.е. сходится, и, следовательно, сходится

b®+¥ (

1 )

b®+¥ ò

b®+¥ è

и +ò¥ e- x2 dx .

Пример 1.11. Исследовать на сходимость +ò¥

x p

Решение.

+¥

= lim

- p

dx = lim

1- p ö

1- p

, при

p ¹ 1.

lim b

è1- p

- p

b®+¥

b®+¥ ç

Если

p >1 Þ lim b1- p = 0 и интеграл сходится, если

же

p <1 Þ lim b1- p

= +¥ и интеграл расходит-

b®+¥

ся. При p =1 получим

+¥ dx

= lim

= lim ln

= +¥ .

+¥ dx

Таким образом, интеграл

ò x

ò x p

b®+¥

сходится,

если

p >1 и расходится, если

p £1 . Аналогично можно показать, что интеграл ò1

схо-

x p

дится, если

p <1 и расходится, если

p ³1 .

Пример 1.12. Исследовать на сходимость интеграл +ò¥

+ 3

Решение. При x ® +¥ f (x) =

= g (x) . Поскольку

x3 + 3

3 ö

x3/ 2

ç1+

lim

f (x)

= lim

=1и интеграл

+¥

сходится (см. пример 1.11), то заданный

ò1 x3/ 2

x®+¥ g (x)

x®+¥ x3 + 3

x®+¥ æ

3 ö

ç1

интеграл также сходится.

1.6.Геометрические приложения определенного интеграла

1.6.1.Вычисление площади плоской фигуры

Если плоская фигура ограничена двумя непрерывными кривыми y = f1 (x) и y = f2 (x), а

также отрезками прямых x = a , x = b , где f1 (x) £ f2 (x)							при x Î[a;b] , то ее площадь
	b	2	(		)	1	(		)û
S =	òë	2	(		)	1	(		)û
S =	é f			x		- f		x	ùdx .	(1.5)
	a
Формула (1.5) выражает геометрический смысл определенного интеграла.
Если кривая заданна параметрическими уравнениями x = x(t) , y = y (t),										то площадь фигуры, ог-

раниченной этой кривой, прямыми x = a и x = b и отрезком [a;b] оси OX , выражается формулой

S = ò y (t)x¢(t)dt ,

(1.6)

(

)

(

)

(

)

[

]

где a и b

b = x

³ 0

определяются из уравнений a = x

, причем y

при t Î a;b

, и функ-

(

)

, x¢

(

)

[

]

ции

непрерывны на

a;b

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах

уравнением r = r

(

)

(

)

[

]

, где функция r

непрерывна на

a;b

, и

j = a и

j = b

(

)

двумя полярными

радиусами

a < b

находится

по

формуле:

(j )dj .

S =

òr2

(1.7)

Пример 1.13. Вычислить площадь S , заключенную между кривыми

Рис. 1.1.

y = 2 - x2 и y = x (рис. 1.1).

Решение. Решая систему уравнений ìï y = 2 - x2 ,

ïî y = x

находим пределы интегрирования:

2 - x2					x2						1				2													2 - x2								[	]
2 - x2		= x Þ			x2			+ x - 2 = 0		Þ x			= -2; x =1.							Так					как			2 - x2					³ x на				-2; 1 ,	то
	1	(		2			)		1		x3	1		x2		1	(		)		1	(		)		1	(		)		3	(	2	)
	1															1
	ò
	ò								-2
S =	-2		2	- x - x				dx = 2x	ед -		3		-	2		= 2 1		+ 2		-	3	1	+ 8		- -	2	1	- 4		=	2				.
												-2		2		-2					3					2					2						x = a(t - sint) ,
												-2				-2
Пример				1.14. Найти площадь									фигуры,				ограниченной								первой аркой								циклоиды
	(				)
y = a 1- cost						и отрезком оси абсцисс (рис.1.2).
Решение. Точкам O и A соответствуют																	значения параметра t0											= 0 и tA = 2p , поэтому по формуле
(1.6) искомая площадь равна

S= 2òp a(1- cost)éa(t - sin t)ù¢ dt = 2òp a2 (1- cost)2 dt =

ëû

		0								0
	2	2p æ			1+ cos2t ö				2	æ 3		1		ö	2p	2	(	2	)
	2	2p æ			1+ cos2t ö				2	æ 3		1		ö	2p	2		2
		ç					÷			ç				÷
= a		ò0 è	1	- 2cost +	2	ø		dt = a		è 2	t - 2sint +	4	sin 2t	ø	= 3p aед					.
					2							4			0
y															0	p
																p
																4
																4
					2p a	А
0					2p a			x					0		a	r
				Рис. 1.2								Рис. 1.3

Пример 1.15. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2 cos2j (рис. 1.3).

1 p / 4

Решение. В силу симметрии кривой S = 4× 2 ò0 a2 cos2jdj =

	2 1			0		(		)
	2 1			p / 4	2		2
= 2a		2	sin 2j		= aед				.
		2

1.6.2. Вычисление длины плоской кривой

Если кривая y = f (x) , заданная на отрезке [a;b] , гладкая (т.е. f ¢(x) непрерывна, когда x Î[a;b] ), то длина дуги этой кривой между точками с абсциссами a и b находится по формуле:

				L = òb	1+ f ¢	x	2 dx				(1.8)
				a
		Если кривая заданна параметрическими уравнениями								x = x(t) и	y = y (t), где x(t) и y (t)
							[		]
непрерывны вместе со своими производными на отрезке a;b										, то длина дуги кривой равна:
				b		2 +			2 dt ,
				L = ò	x¢ t	2 +	y¢ t		2 dt ,		(1.9)
				a
где a и b				значения параметра t , соответствующие концам дуги.
	(	Если же гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением r = r (j ) , причем функ-
	(	j	)				[	]
ция r		j		имеет непрерывные производные на отрезке			a;b		, то длина дуги вычисляется по форму-
ле:
				b				2 dj ,
				L = ò	r2 j + r¢ j			2 dj ,			(1.10)

где a и b – значения полярного угла в начале и конце дуги.

Следует отметить,

òb dx , где , дает длину отрезка

[a;b] .

Пример 1.16. Вычислить длину полукубической параболы

y =

x3 от начала координат до точки

B(4;8) .

Решение. Находим

f ¢(x) =

и, подставляя в формулу (1.8), получаем:

(10

10 -1).

L = ò

xdx =

ò 1+

xd ç1

x÷

ç1

x÷

Пример 1.17. Найти длину дуги арки циклоиды (рис.1.2)

ìx = a

(t - sin t),

íï

(1- cost).

ï y = a

Решение. Воспользуемся формулой (1.9);

xt¢ = a(1- cost),

yt¢ = asint,

L =

2òp

1- cost

2 + a2 sin2 tdt = a

2òp

1- 2cost + cos2 t + sin2 tdt =

= a2p

2 1- cost

dt = a2p

4æsin

ö2 dt = 2a2p sin

dt = -4a cos

= = 8aед

( )

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015869.52 Кб39Математика РАСЧЕТНОГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА.pdf
#
05.06.2015652.4 Кб20Математика_Семестр1_РГР_Линал_1-3.pdf
#
05.06.2015445.14 Кб20Математика_Семестр1_РГР_Матан_1.pdf
#
05.06.2015740.8 Кб14Математика_Семестр1_РГР_Матан_4-6.pdf
#
05.06.2015441.83 Кб14Математика_Семестр1_РГР_Матан_7.pdf
#
05.06.2015322.21 Кб19Математика_Семестр2_РГР_Матан_2.pdf
#
05.06.20151.31 Mб25Математика_Семестр2_РГР_Ряды.pdf
#
05.06.20151.75 Mб154Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.20153.73 Mб489Математика_Семестр4_МетодПособие.pdf
#
27.03.2016264.31 Кб22материаловед.docx
#
08.11.2018217.6 Кб10Машины и оборудование.doc