Математика_Семестр2_РГР_Ряды

103

Поэтому в формулах Эйлера-Фурье промежуток интегрирования

[ ; ] может быть заменен любым другим, длина которого равна

2 , например, промежутком [0;2 ].

Определение. Тригонометрический ряд, коэффициенты которого яв-

ляются коэффициентами Фурье функции f (x), называется рядом Фу-

рье функции f (x).

С помощью формул Эйлера-Фурье можно найти все коэффици-

енты равномерно сходящегося тригонометрического ряда, если извест-

на его сумма f (x). Эти коэффициенты определяются однозначно, сле-

довательно, если функция f (x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то такой ряд может быть только рядом Фурье этой функции, т. е. любой тригонометрический ряд является рядом Фу-

рье своей суммы.

В то же время формулы Эйлера-Фурье позволяют записать ряд Фурье для любой интегрируемой периодической функции, например,

непрерывной. Естественно сразу же возникает вопрос, − сходится ли такой ряд, а если сходится, то совпадает его сумма с функцией, для ко-

торой он был построен?69 К сожалению, в общем случае это не так. По-

этому у нас есть право лишь формально написать ряд Фурье интегри-

руемой функции f (x). Мы ничего не можем о нем утверждать, кроме одного − этот ряд «порожден» функцией f (x). Такую связь ряда с функцией f (x) обычно отмечают, избегая знака равенства, так:

69 Вспомните, похожая ситуация имела место и для рядов Тейлора.

104

. Если обозначить через S(x) сумму сходящегося ряда Фурье функции

f(x), то в общем случае S(x) f (x).

Условия разложимости функции в ряд Фурье.

Рассмотрим периодическую функцию f x , имеющую период

2 . Мы уже знаем, что разложение в тригонометрический ряд воз-

можно только для тех функций, которые имеют сходящийся ряд Фурье.

Следующая теорема представляет дополнительные условия, при вы-

полнении которых сумма этого ряда совпадает с функцией, его поро-

дившей.

Теорема 26 (Дирихле). Пусть функция f x на отрезке [ ; ] удов-

летворяет следующим условиям:

1.f x кусочно-непрерывна, т. е. она непрерывна или имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода;

2.f x кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке,

либо этот отрезок можно разбить на конечное число частей так,

что она монотонна внутри каждой из них.

Тогда соответствующий функции f x ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1.S(x) f (x) во всех точках, где f x непрерывна;

2.В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна сред-

нему арифметическому пределов f x в точке x0 слева и справа, т.е.

105

3. На концах отрезка сумма ряда принимает равные значения и

S( ) S( ) f ( 0) f ( 0) . 2

Условия разложимости функции в ряд Фурье, сформулирован-

ные в теореме 26, называют условиями Дирихле.

Замечание 1. Условия Дирихле является только достаточным. Это оз-

начает, что могут существовать разложимые в ряд Фурье функции,

которые, тем не менее, условиям Дирихле не удовлетворяют.

Замечание 2. Ряд Фурье может быть построен для любой функции f x интегрируемой на отрезке [ ; ]. При этом совершенно не важно периодическая она или нет. Если, кроме того, наша функция удовлетворяет еще и условиям Дирихле, то сумма ее ряда Фурье на этом отрезке совпадет с самой функцией, исключая возможно гра-

ничные точки отрезка и точки разрыва. В этом смысле можно гово-

рить о разложении в ряд Фурье на отрезке [ ; ] непериодической функции f x .

Замечание 3. Предположение о том, что функция f x имеет период, 2 не существенно. Известные замены переменной легко сводят функции с периодом 2 к функциям с произвольным периодом 2l

и наоборот.

Замечание 4. Так как члены ряда Фурье являются периодическими функциями с общим периодом 2 , то при выполнении условий Ди-

106

рихле этот ряд сходится на всей числовой оси и его сумма совпадает с периодической функцией, для которой он был построен, во всех точках, где эта функция непрерывна.

Разложение функции в тригонометрические ряды (гармониче-

ский анализ) используется при решении многих чисто практических за-

дач машиноведения, электротехники и пр. Достаточно часто функции,

которые нужно подвергнуть гармоническому анализу (разложить в ряд Фурье), задаются таблицей своих значений или графиком, что исклю-

чает возможность использовать для вычисления коэффициентов Фурье формул Эйлера-Фурье. Более того, иногда к гармоническому анализу прибегают именно для того, чтобы получить хотя бы приближенное аналитическое выражение для исследуемой функции.

В таких случаях для вычисления коэффициентов Фурье следует использовать приближенные методы интегрального исчисления, на-

пример «формулу трапеций». Как правило, бывает достаточно найти лишь несколько первых членов разложения, так как обычно влияние далеких гармоник несущественно. Естественно, что при этом необхо-

димо оценивать допущенную погрешность.

Пример 41. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке

[ ; ], формулой

Решение. Эта функция непрерывна и монотонно возрастает (в широ-

ком смысле) в [ ; ]. Следовательно, по теореме Дирихле она разла-

107

гается в ряд Фурье. По формулам Эйлера-Фурье, интегрируя по частям,

найдем:

справедливо только на промежутке ( ; ). На концах этого проме-

жутка сумма ряда равна 2. Как периодическая функция сумма наше-

го ряда определена на всей числовой оси. Отметим, что в данном слу-

чае функция, которая на промежутке [ ; ] была задана двумя раз-

ными аналитическими выражениями, на промежутке ( ; ) представ-

лена только уже одним тригонометрическим рядом.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Для четных и нечетных функций формулы Эйлера-Фурье, по-

зволяющие определить коэффициенты Фурье этих функций, сущест-

венно упрощаются. Более простыми становятся и сами ряды Фурье.

Напомним, что

108

функция f x , определенная на симметричном промежутке, на-

зывается четной (нечетной), если f x f x ( f x f x );

произведение двух четных (двух нечетных) функций есть чет-

ная функция;

произведение четной функции на нечетную есть нечетная

и, следовательно

2

a0 f (x)dx,

0

110

Рассмотрим функцию f x , удовлетворяющую на промежутке

[0; ] условиям Дирихле. Введем вспомогательную функцию

где g x некая функция, про которую известно только то, что она

удовлетворяет условиям Дирихле. Очевидно, что f x раскладывает-

ся в ряд Фурье в промежутке [ ; ], вид которого существенно зави-

сит от выбора функции g x .

Произвол в определении функции f x в [ ;0) можно ис-

пользовать так, чтобы получить для нее разложение только по косину-

сам или только по синусам. Действительно, пусть g x f x . Тогда

f x является четной функцией в [ ; ] и ее ряд Фурье будет со-

держать только косинусы. Аналогично, полагая g x f x , полу-

чим нечетную функцию f x и, следовательно, ее ряд Фурье содер-

жит только синусы.

Здесь важно понять, что хотя при разных определениях вспомо-

гательной функции f x в промежутке [ ;0) будут получаться от-

личные друг от друга ряды Фурье этой функции, представляющие за-

данную функцию f x на промежутке [0; ], все эти тригонометриче-

ские ряды в любой точке x0 промежутка (0, ) сходятся к одному и тому же числу, равному f x0 , если f x непрерывна в точке x0 .

эту функцию в тригонометрический ряд только по синусам и только по косинусам.

Решение. Доопределяя нашу функцию на промежутке [ ;0) нечет-

ным образом, приходим к функции, рассмотренной в примере 42. По-

этому искомое разложение только по синусам имеет такой вид:

Чтобы получить разложение только по косинусам заданную функцию необходимо доопределить на промежутке [ ;0) четным образом. В результате получим непрерывную четную функцию f x | x|, которая удовлетворяет условиям Дирихле. Выпишем ее ко-

эффициенты Фурье:70

Таким образом, разложение заданной функции в ряд только по косину-

сам на всем промежутке [0; ] имеет вид:

70 Смотри пример 41.

112

можно смотреть как на одно из возможных разложений в [0; ] функ-

ции f x x в тригонометрический ряд. Выходит, что на промежутке

(0; ) суммы всех трех тригонометрических рядов, о которых идет речь в этом примере, равны между собой и равны x.

Приближение функций тригонометрическими многочленами.

Тригонометрическим многочленом порядка n называют сумму

вида

Коэффициенты многочлена k , k − какие-то числа.

При решении практических задач обычно мало кого интересуют

абсолютно точные значения изучаемых величин − вполне достаточно знать эти величины с какой-то заданной точностью. Поэтому, разложив функцию в ряд Фурье, далее этот ряд, как правило, заменяют его час-

тичной суммой, т.е. тригонометрическим многочленом. Погрешность,

возникающую при такой замене, удобно оценивать одним числом, на-

пример числом

f (x) и Tn (x). Приближения, для которых расстояние между функция-