Математика_Семестр2_РГР_Ряды

53

Шаг 1. Проверяем — стремиться ли общий член ряда к нулю

или нет. Если «нет», то ряд расходится; если «да», то переходим к ша-

гу 2.

Шаг 2. Проверяем — сходится ли ряд абсолютно или нет. В

этом случае используются достаточные признаки сходимости положи-

тельных рядов, рассмотренные выше. Если «да», то задача решена; ес-

ли «нет», то, вообще говоря, переходим к шагу 3. Исключением явля-

ются, как уже отмечалось, признаки Даламбера и Коши – они позволя-

ют судить и о расходимости знакопеременного ряда: при q 1 (теоре-

ма 11). В этом случае задача тоже решена, ряд расходится.

Шаг 3. Проверяем — сходится ли ряд условно или расходит-

ся. Проще всего выяснить это для так называемых знакочередующихся рядов, используя теорему Лейбница, речь о которой и пойдет дальше.

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.

Знакочередующимися рядами принято называть те знакопере-

менные ряды, у которых любые два рядом стоящих члена имеют раз-

ные знаки: cn cn 1 0 при любых n.

Рассмотрим для определенности знакочередующийся ряд

a1 a2 a3 a4 ( 1)n 1 an ,

где cn ( 1)n 1 an и cn an . Исследование знакочередующегося ряд, у

которого первый член отрицательный, сводится после умножения всех его членов на (–1) к исследованию данного ряда.

54

Теорема 12 (Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда моно-

тонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится. При этом сумма ряда S удовлетворяет неравенству

0 S a1.

► Обратимся вначале к последовательности частичных сумм знакоче-

редующегося ряда, имеющих только четные номера: S2, S4, , S2m, .

Для частичной суммы S2m справедливы следующие выражения:

S2m [(a1 a2) (a3 a4) (a2m 3 a2m 2)] (a2m 1 a2m) ,

S2m a1 [(a2 a3) (a4 a5) (a2m 2 a2m 1) a2m]

По условию теоремы члены ряда монотонно убывают по моду-

лю, поэтому ak ak 1 0 для всех натуральных k . Следовательно, все числа в скобках в выписанных выше двух выражениях положительные.

Первое выражение показывает, что S2m S2m 2 (S2m 2 равна сумме, за-

писанной в квадратных скобках), и поэтому последовательность

S2, S4, , S2m, монотонно возрастает. Из второго выражения следу-

ет, что эта последовательность еще и ограничена сверху39, так как

S2m a1 при любых m.

Таким образом, последовательность частичных сумм с четными номерами монотонно возрастает и ограничена сверху, а это означает,

что она имеет конечный предел S : lim S2m S , и 0 S a1.

m

39 В квадратных скобках записана сумма положительных слагаемых.

55

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда,

Получилось так, что «по отдельности» обе рассмотренные по-

следовательности имеют один и тот же предел. Поэтому lim Sn S как

n

при четном n, так и при нечетном n, следовательно, ряд сходится,

причем 0 S a1.◄

Знакочередующиеся ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, принято называть лейбницевскими (или рядами Лейбница).

В теореме Лейбница не уточняется, как сходится ряд – абсо-

лютно или условно. Возможно и то и другое.

Важное замечание. Из доказательства теоремы Лейбница вытекает,

что если приближенно за значение суммы сходящегося знакочере-

дующегося ряда взять значение какой-нибудь его частичной суммы,

то абсолютная величина допущенной при этом погрешности не пре-

вышает абсолютной величины первого отброшенного члена ряда, а

сама погрешность имеет одинаковый с ним знак. Исключительная простота этого правила делает знакочередующиеся ряды очень удобными для вычислительных целей.

Рассмотрим примеры. В примерах 26, 27, 28 требуется исследо-

вать ряд на сходимость.

56

Решение. Здесь cn 1 . Ряд с таким общим членом расходится, поэто- n

му абсолютной сходимости нет. Выполнение всех условий теоремы Лейбница очевидно, следовательно, данный ряд сходится, а так как аб-

солютной сходимости нет, то он условно.

Решение. Воспользуемся обобщенным признаком Коши. Имеем

дится и lim an 1, то по второму признаку сравнения абсолютной схо-

n bn

димости нет.

Покажем, что этот ряд сходится условно. Для этого осталось доказать, что cn монотонно убывает, а затем нужно сослаться на тео-

удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница и, следовательно,

сходится: раз не абсолютно, то условно. Конечное число членов ряда на характер его сходимости не влияет, т.е. вместе с ним сходится условно и исследуемый ряд.

но взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?

59

2.Функциональные ряды.

2.1Сходимость и равномерная сходимость

Сходимость функциональных рядов

Рассмотрим бесконечную последовательность функций

u1 x , u2 x , u3 x ,..., un x ,...,

с областью определения D.

Определение. Функциональным рядом называют выражение

u1 x u2 x u3 x ... un x ... un x , x D,

n 1

т.е. сумму бесконечной последовательности функций.

Для каждого значения x0 D функциональный ряд обращает-

ся в числовой ряд

u1 x0 u2 x0 u3 x0 ... un x0 ... un x0 ,

n 1

который либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то точка x0 называется точкой сходимости функционального ряда. Можно ска-

зать, что в каком то смысле функциональный ряд представляет собой бесконечное множество числовых рядов.

Множество всех точек сходимости называют областью сходи-

мости G функционального ряда, а соответствующие значения сумм числовых рядов задают сумму функционального ряда S x . Она опре-

60

делена в области сходимости ряда. Естественно, что проблема сходи-

мости функциональных рядов состоит в первую очередь в выявлении его области сходимости.

Примером функционального ряда может служить обобщенный

1

гармонический ряд n 1 nx . Здесь привычное обозначение степени p

заменено традиционным обозначением аргумента x. Область опреде-

ления этого ряда D R , а область сходимости, как известно,

G 1, .

Другим примером функционального ряда может служить гео-

метрическая прогрессия. Еще со школы известно40, что

циональный ряд. Его область определения D R , а область сходимо-

сти — G e;e .

Пусть Sn x есть сумма первых n членов функционального ряда (n-я частичная сумма): Sn x u1 x u2 x ... un x . Если ряд сходится в области G и его сумма равна S x , то

lim Sn x S x .

n

40 Сумма бесконечной убывающей прогрессии

61

Ряд

un 1 x un 2 x ... uk x rn x

k n 1

принято называть n ым остатком ряда; rn x — его символическое

обозначение. Впрочем, на области сходимости n ым остатком rn x

называют не только выписанный выше ряд, но и его сумму. В этом случае имеет место равенство.

S x Sn x rn x , x G .

Если члены ряда являются элементарными функциями41, то это еще не означает, что элементарной функцией будет и его сумма. Чаще всего сумма функционального ряда оказывается неэлементарной функ-

цией. Вместе с тем многие используемые на практике неэлементарные функции удается представить как суммы некоторых функциональных рядов, составленных из элементарных функций. Например, первооб-

разную F(x) функции42 e x2 нельзя представить в виде конечной сум-

мы элементарных функций и суперпозиций, но чуть позже будет пока-

зано43, что

41Функция называется элементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций.

42Интеграл от этой функции (в пределах от 0 до x), называемый интегралом Пуассона или интегралом ошибок, широко используется в теории вероятности, в теории теплопроводности и диффузии.

43См. пример 39.

62

Можно сказать, что интересующая нас первообразная получается из элементарных функции в определенном смысле с помощью бесконеч-

ного множества арифметических операций.

Для конечных сумм привычными являются утверждения, что сумма непрерывных функций – непрерывна, производная суммы равна сумме производных, а интеграл от суммы равен сумме интегралов. Бу-

дут ли высказанные утверждения, справедливые для конечных сумм,

выполняться и для рядов, т.е. тогда, когда число слагаемых бесконеч-

но? К сожалению, не всегда. Ниже будут названы условия, выполнение которых позволяет распространить эти утверждения и на функцио-

нальные ряды.

Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Пусть ряд un x сходится на промежутке G . Тогда при лю-

n 1

бом x G имеем, что lim Sn x S x . Зафиксируем любые два числа

n

x1 и x2 из области сходимости. Из определения предела следует, что

n N2 справедливо неравенство S x2 Sn x2 . В общем случае

N1 N2 .