1 / Salmon_sjatie_dannyh_izobrajeniy_i_zvuka[torrents.ru]

Глава 3. Сэюатие изображений

Ядра WHT изображены в графической форме на рис. 3.42 при iV = 4, где белый цвет означает +1, а черный —1 (для наглядности множитель 1/7V опущен). Строки и столбцы в блоках занумерованы значениями w и ^ от О до 3, соответственно. Число смен знаков в строке или в столбце матрицы называется частотностью строки или столбца. Строки и столбцы на этом рисунке упорядочены по возрастанию частотности. Некоторые авторы предпочитают изо­ бражать ядра неупорядоченно, так, как это было определено Уолшем и Адамаром ( см. [Gonzalez 92]).

Сжатие изображений с помощью WHT делается так же, как и для DCT с заменой уравнений (3.9) и (3.10) на (3.11) и (3.12)

Пример: На рис. 3.43 изображены 64 базисных изображения WHT и программа для их вычисления и построения на графике. Рассмотрен случай N = S. Каждое базисное изображение - это таб­ лица пикселов размера 8 x 8 .

3.5.7. Преобразование Хаара

Преобразование Хаара [Stollnitz 92] используется на практике для отоб­ ражения поддиапазона частот. Оно будет обсуждаться в главе 4. Однако, в силу простоты этого отображения, его также можно объ­ яснить в терминах базисных изображений. Поэтому мы включили его рассмотрение и в этот параграф. Преобразование Хаара осно­

Теперь можно построить N x iV-матрицу Ayv преобразования Хаара. Элемент с индексами z,j этой матрицы равен /ii(i), где i =

5.5. Преобразование изображений 171

{n,n}];

Show[GraphicsArray[Map[GraphicsImage[#, {-2,2}]&, HaarTensor,{2}]]] Рис. 3.44. Базисные изображения преобразования Хаара при N = S.

(напомним, чтор = О и g = 1 при г = 1). На рис. 3.44 дана программа для вычисления этой матрицы для любого iV, а также построены

Глава 3. Сжатие изобраэюений

базисные изображения при iV = 8 : Выпишем матрицы А4 и Ag.

Для блока пикселов Р размера N х N^ где N = 2^^ его преобра­ зование Хаара вычисляется по формуле АдгРА/у/^ (см. § 4.2.1).

Преобразование Кархунена-Лоэвэ (его еще называют преобразова­ нием Хотеллинга) имеет наилучшую эффективность в смысле кон­ центрации энергии изображения, но по указанным выше причинам, оно имеет скорее теоретическое, нежели практическое значение. Данное изображение следует разделить на к блоков по п пикселов в каждом, обычно, п ~ 64, но допускаются и другие значения, а чи­ сло к зависит от размера изображения. Рассматриваются векторы блоков, которые обозначаются Ъ^'^\ при г = 1,2,..., А;. Усредненный вектор равен

Ь = (ЕгЬ^'^)/А;. Вводится новое семейство векторов v^*) = b^^^ — b, для которого усредненный вектор (X]j v^*^) /к равен нулю. Матрицу преобразования (KLT) размера п х п^ которую мы будем строить, обозначим через А. Результатом преобразования вектора v^^^ будет весовой вектор w^*^ = Av^*\ Усреднение векто­

роа w^*) также равно нулю. Построим матрицу V, столбцами кото­ й буду служить векторы v^*^. Рассмотрим также матрицу W со

столбцами w^*^ :

V = ( v ( i ) , v ( 2 ) , . . . , v W ) , W = ( w ( ' ) , w ( 2 ) , . . . , w W ) .

3.5. Преобразование изобраэюений

Матрицы V и W имеют п строк и к столбцов. Из определения векторов w^*) заключаем, что W = А • V.

Все п векторов коэффициентов с^-^^ преобразования КархуненаЛоэвэ определяются равенствами

Таким образом, вектор с^-^^ состоит из j-ых элементов весовых век­ торов w^*) при г = 1,2,..., А:.

Рассмотрим матрицу-произведение W • W ^ . Элемент строки а и столбца b этой матрицы равен сумме произведений

(3.17) Тот факт, что среднее каждого вектора w^*^ равно нулю означает, что каждый диагональный элемент (W • W ^ ) .. матрицы-произве­ дения является дисперсией (с множителем А;) j - ro элемента (или j'-ой координаты) вектора w^*^. В самом деле, из уравнения (3.17) нахо­ дим, что

г = 1

Внедиагональные элементы матрицы (W • W ^ ) являются ковариациями векторов w^^\ то есть, элемент (W • W^)^^ равен ковариации координат а и b векторов w^*^. Из уравнения (3.17) также видно, что эти величины равны скалярным произведениям с^^^ • с^^^ век­ торов с^"^ и с^^^. Одной из основных задач преобразования изобра­ жения является приведение его к декоррелированной форме коор­ динат векторов. Теория вероятности говорит о том, что две коор­ динаты являются декоррелированными, если их ковариация равна нулю (другая цель - это концентрация энергии, но эти две задачи тесно связаны). Значит, необходимо найти матрицу А, такую, что произведение W • W ^ будет диагональной матрицей.

Из определения матрицы W находим, что

W W ^ = (AV) • (AV)'^ - А ( v • V'^) А'^

Глава 3. Сэюатие изобраэюений

Матрица V • V^ является симметрической, ее элементами служат ковариации координат векторов v^*^, то есть,

к

(V • V^)^^ = J2 ^i'^4'^ при а, b Е [1, п].

Раз матрица V • V"^ - симметрическая, то ее собственные векторы ортогональны. Нормализуем их (то есть, сделаем их ортонормальными) и выберем их в качестве строк матрицы А. Получим следу­ ющий результат:

ной, причем элементы диагонали являются собственными числа­ ми матрицы V • V^. Матрица А служит матрицей преобразования Кархунена-Лоэвэ; ее строки являются базисными векторами KLT, а энергией (дисперсией) преобразованных векторов служат собствен­ ные числа Ai, Л2,..., А„ матрицы V • V^.

Базисные векторы для KLT вычисляются с помощью пикселов исходного изображения, то есть, они зависят от исходных данных. В конкретном методе сжатия эти векторы следует записывать в сжатый файл для использования декодером. Кроме того не известен быстрый метод вычисления этих векторов. Все эти факты делают метод KLT сугубо теоретическим без реальных приложений.

Честность - вот лучший образ.

— Том Уилсон

3.6. Прогрессирующее сжатие изображений

Большинство современных методов сжатия изображений являются прогрессирующими (поступательными) или они легко делаются та­ кими. Это особенно важно, если сжатое изображение передается по каналам связи, а затем декодируется и наблюдается получателем в режиме реального времени (например, это делается браузерами

3.6. Прогрессирующее сжатие изобраоюений

всемирной паутины). Когда такое изображение принимается и раз­ жимается, декодер способен очень быстро показать всю картинку в формате с низким качеством, а затем постепенно улучшать каче­ ство по мере приема остальной части сжатого изображения и его декодирования. Пользователь, наблюдая на экране развитие образа, может распознать все особенности этого изображения после деко­ дирования всего 5-10% от его размера.

Это можно сравнить со сжатием растрово-сканированных изо­ бражений. Когда изображение сканируется и сжимается по строкам сверху вниз, а потом декодируется последовательно., пользователь обычно не может многое узнать о нем, наблюдая на дисплее лишь 5-10% от всего изображения. Поскольку картинки будут рассмат­ риваться людьми, прогрессирующее сжатие является более предпо­ чтительным, даже если оно, в целом, работает медленнее и имеет меньшую эффективность, чем непрогрессирующее сжатие.

Для того, чтобы лучше понять прогрессирующее сжатие, пред­ ставьте себе, что кодер сначала сжимает самую важную часть изо­ бражения и помещает ее в файл, затем сжимается менее важная информация и добавляется в сжатый файл и так далее. Это объ­ ясняет также, почему потерю информации при прогрессирующем сжатии можно контролировать естественным образом: достаточно остановить сжатие в некоторой точке. Пользователь может менять долю опущенной информации с помощью параметра, который сооб­ щает кодеру, как долго следует продолжать процесс сжатия. Чем раньше произойдет эта остановка, тем выше будет степень сжатия и тем больше будет размер утерянной информации.

Другое преимущество прогрессирующего сжатия становится не­ сомненным, когда сжатый файл должен разжиматься много раз и каждый раз с разным разрешением. Декодер может в каждом слу­ чае остановить процесс декодирования, когда изображение достиг­ ло разрешения, доступного данному устройству.

Образование - это прогрессирующее обнаружение нашего невежества.

— Уил Дюрант

Мы уже упоминали прогрессирующее сжатие изображений в свя­ зи с алгоритмом JPEG (стр. 185). Этот алгоритм использует DCT для разделения образа на пространственные частоты и начинает сжатие с низкочастотных компонентов. Поэтому декодер может бы­ стро показать соответствующую им грубую картинку. Высокочас­ тотные компоненты содержат детали изображения.

Глава 3. С-жатие изобраоюений

Кроме того, полезно представлять себе прогрессирующее деко­ дирование как процесс улучшения качества изображения во време­ ни. Это можно сделать тремя путями:

1. Закодировать пространственные частоты изображения прогрессируюш;им образом. Наблюдатель, следяпщй за декодированием, уви­ дит такое изображение изменяюш;имся от расплывшегося до резко­ го. Методы, которые работают подобным образом, имеют среднюю скорость кодирования и медленную скорость декодирования. Этот тип сжатия часто называется прогрессирующим по соотношению сигнал/шум^ или прогрессирующим по качеству изображения.

2. Начать с черно-белого полутонового изображения, а потом до­ бавить цвет и тени. При декодировании зритель с самого начала увидит изображение со всеми деталями, которые будут улучшаться по мере добавления цветов и красок. Метод векторного квантования применяет этот принцип компрессии. Такие алгоритмы отличаются медленным кодированием и быстрым декодированием.

Рис. 3.45. Последовательное декодирование.

3.Кодировать изображение по слоям, где ранние слои состоят из нескольких пикселов большого разрешения. Наблюдатель заметит постепенную детализацию картинки во времени при ее декодиро­ вании. Такой метод добавляет все новые детали по мере разжатия файла. Этот путь прогрессирующего сжатия называется пирами­ дальным или иерархическим кодированием. Большинство методов сжатия используют этот принцип, поэтому в этом параграфе обсуж­ даются общие идеи осуществления пирамидального кодирования. Рис. 3.46 иллюстрирует три принципа прогрессирующего сжатия, перечисленные выше. Они контрастируют с рис. 3.45, на котором изображены этапы последовательного декодирования.

3.6. Прогрессирующее сжатие изобралсений

Предположим, что изображение состоит из 2"^ х2" = 4^ пикселов. Простейший метод прогрессирующего сжатия, который приходит в голову, состоит в вычислении каждого пиксела слоя г — 1 в виде среднего группы 2 x 2 пикселов слоя г. Значит, слой п - это исходное изображение (4" пикселов размера 1), слой п — 1 состоит из 2"~^ х х2"~^ = 4"""^ пикселов размера 2 х 2, и так далее до слоя 4^~" = = 1 из одного большого пиксела размера 4"^, который представляет все изображение. Если изображение не слишком велико, то все слои можно сохранить в памяти компьютера. Затем слои записываются в файл в обратном порядке, начиная со слоя 1. Единственный пиксел слоя 1 является «родителем» четырех пикселов слоя 2, каждый из которых порождает по 4 пиксела слоя 3 и так далее. Этот процесс породит прогрессирующий файл образа, но без сжатия, поскольку общее число пикселов этой пирамиды равно

4» + 4^ + •.. + 4^-^ + 4^ = (4^+1 - 1) /3 ;^ 1.33 X 4^ ;:^ 1.33 х (2 х 2)^,

что на 33% больше размера исходного числа!

Простой метод приведения числа пикселов пирамиды к исход­ ному числу 4"' состоит в сохранении только трех пикселов слоя i из четырех и в вычислении четвертого с помощью трех его «бра­ тьев» и одного родительского пиксела этой группы из предыдущего слоя г — 1.

Пример: На рис. 3.47с дано изображение размера 4 x 4 , которое является третьим слоем прогрессирующего сжатия. Второй слой по­ казан на рис. 3.47Ь, где, например, пиксел 81.25 является средним значением четырех пикселов 90, 72,140 и 23 из третьего слоя. Един­ ственный пиксел первого слоя приведен на рис. 3.47а.

Сжатый файл будет содержать только числа

54.125,32.5,41.5,61.25,72,23,140,33,18,21,18,32,44,70,59,16

(конечно, правильно закодированные) из которых легко восстано­ вить недостающие пикселы. Например, отсутствующий пиксел 81.25 вычисляется из уравнения {х + 32.5 + 41.5 -h 61.25)/4 = 54.125.

Проблема заключается в том, что среднее значение целых чисел может быть нецелым числом. Если мы хотим, чтобы пикселы оста­ вались целыми, то придется или смириться с потерей точности, или сохранять все более и более длинные целые числа. Например, если исходные пикселы имеют 8 разрядов, то сложение четырех 8-ми би­ товых чисел дает 10-ти битовое число. Деление этого числа на 4 для вычисления среднего и округление до целого вновь приводит к

3.6. Прогрессирующее сэюатие изобраэи:ений 179)

8 разрядам, но с возможной потерей точности. Если потеря точно­ сти нежелательна, то можно представить наш пиксел второго слоя в виде 10-ти битовых чисел, а пиксел первого слоя - с помощью 12 раз­ рядов. На рис. 3.47d,e,f показан результат округления, при котором происходит некоторая потеря информации. Содержимым сжатого файла будет последовательность

54,33,42,61,72,23,140,33,18,21,18,32,44,70,59,16.

Первый отсутствующий пиксел 81 второго слоя можно вычислить из уравнения (а; + 33-|-42н-61)/4 = 54. Получится число 80 с небольшой ошибкой.

Рис. 3.47. Прогрессирующее сжатие образа.

Лучшее решение заключается в использовании родителя группы при вычислении его четырех потомков. Это можно делать, вычи­ сляя разность между родителем и его потомками и записывая эту разность (после подходящего кодирования) в слой i сжатого файла. Декодер восстанавливает разность и использует родителя из слоя г — 1 для вычисления значений четырех пикселов. Для кодирования разностей можно применять метод Хаффмана или арифметическое кодирование. Если все слои вычислены и находятся в памяти, то