1 / Salmon_sjatie_dannyh_izobrajeniy_i_zvuka[torrents.ru]

Глава 4- Вейвлетные методы

cleair; */, главная программа filename='lenal28'; dim=128; fid=f open (filename, ' r O ;

if fid==-l dispCfile not found')

else img=fread(fid,[dim,dim] ) ' ; fclose(fid); end

thresh=0.0; 7, процент отбрасываемых коэффициентов

figured), imagesc(img), colormap(gray), axis off, axis square w=harmatt (dim) ; */* вычисление матрицы Хаара

timg=w*img*w'; У, прямое преобразование Хаара tsort=sort(abs(timg(:))); tthresh=tsort(floor(max(thresh*dim*dim,1))); cim=timg.*(abs(timg) > tthresh);

[i,j,s] =find(cim); dimg=sparse(i,j,s,dim,dim);

*/. figure (2) показывает оставшиеся коэффициенты преобразования 7,figure(2), spy(dimg), colormap(gray), axis square

figure(2), image(dimg), colormap(gray), axis squaure cimg=full(w'*sp2Lrse(dimg)*w); density = nnz(dimg); disp([num2str(100*thresh) '*/, отброшенных коэффициентов.']) disp([num2str(density) ' оставленных коэффициентов ' ...

num2str(dim) 'x' num2str(dim) '.'])

figureO), imagesc(cimg), colormap(gray), axis off, axis squaore

Файл harmatt.m с двумя функциями

function X = harmatt(dim) num=log2(dim);

p = sparse(eye(dim)); q = p;

i=l;

while i<=dim/2;

q(l:2*i,l:2*i) = sparse(individ(2*i)); p=p*q; i=2*i;

end x=sparse(p);

function f=individ(n) x=[l, 1] /sqrt(2); y=[l,-l] /sqrt(2);

while min(size(x)) < n/2

x=[x, zeros(min(size(x)),max(size(x)));...

zeros(min(size(x)),max(size(x))), x]; end

while min(size(y)) < n/2

y=[y, zeros(min(size(y)),max(size(y)));...

zeros (min (size (y)) ,max (size (y))) , y] ; end

f=[x;y];

Рис. 4.12. Программа для вычисления преобразования Хаара (Matlab).

4.2. Преобразование Хаара

Легко видеть, что f(t) = ^ф{t) -^ ф{1). Мы скажем, что исход­ ные ступени (5,3) были преобразованы в представление, имеющее среднее (низкое разрешение) 4 единицы и детали (высокое разреше­ ние) 1 единица. Если воспользоваться матричным представлением, то это можно записать как (5,3)А2 = (4,1), где А2 - матрица пре­ образования Хаара порядка 2 (см. уравнение (3.16)).

Л .

_гг

(Ь)ф(2Н-к)

Рис. 4.14. Базисная шкала Хаара и вейвлетные функции.

В основе преобразования Хаара лежит вычисление средних и раз­ ностей. Оказывается, .что эти операции можно легко выразить с помощью умножений соответствующих матриц (см. [Mulcahy 96] и [Mulcahy 97]). Для примера рассмотрим верхнюю строку простого изображения размера 8 х 8 из рис. 4.8. Каждый, кто немного зна­ ком с операциями над матрицами, легко построит матрицу, кото­ рая при умножении на некоторый вектор дает другой вектор, со­ стоящий из четырех полусумм и четырех полуразностей элементов

Глава 4- Вейвлетные методы

этого вектора. Обозначим эту матрицу Ai. Ее произведение на век­ тор рассматриваемого примера (верхняя строка матрицы на рис. 4.8) равно (239.5,175.5,111.0,47.5,15.5,16.5,16.0,15.5). Это видно из уравнения (4.1). Аналогично, матрицы А2 и Аз производят, соот­ ветственно, второй и третий шаг преобразования. Его результат показан в формуле (4.2).

Вместо того, чтобы вьпислять средние и разности строк, можно постро­ ить матрицы Ai, А2 и Аз, перемножить их, получить матрицу

W= А1А2А3,

азатем применить ее к вектору I:

В этом заключается только половина работы. Для того, чтобы сделать полное преобразование, необходимо применить W к стро­ кам произведения W I , или, что то же самое, умножим W на (WI) . Результат для удобства тоже транспонируем. Полное преобразова­ ние (см. строку timg=w*img*w' рис. 4.12) равно

It^ = fw (Wlf^ = W I W ^ .

Для обратного преобразования справедлива формула

В этом месте становится важным нормализованное преобразование Хаара (упомянутое на стр. 216). Вместо вычисления средних (вы­ ражений {di + di^i) /2) и разностей (выражений {di — di^i) /2) луч­ ше вычислять величины (di + rfj+i) /V^ и {di — di^i) /л/2. Это приво­ дит к ортогональной матрицы W, а хорошо известно, что обраще­ ние такой матрицы сводится к ее транспонированию. Следователь­ но, обратное преобразование запишется в простом виде W^ItrW (см. строку cimg=full(w'*sparse(dimg)*w на рис. 4.12).

Между процедурами прямого и обратного преобразования не­ которые коэффициенты могут быть квантованы или отброшены. Кроме того, для лучшего сжатия, матрицу Itr можно кодировать по методу RLE и/или по методу Хаффмана.

Функция individ(n) на рис. 4.12 начинается с матрицы пре­ образования Хаара размера 2 x 2 (заметим, что вместо знаменателя 2 взято число \/2), затем использует эту матрицу для построения необходимого числа матриц А,;. Функция harmatt(dim) формирует окончательную матрицу Хаара для изображения, состоящего из dim строк и dim столбцов.

Пример: Программа Matlab на рис. 4.15 вычисляет W в виде произведения трех матриц Ai, А2 и Аз, после чего делает преобра­ зования изображения размера 8 х 8 из рис. 4.8. Результатом стано­ вится матрица 8 x 8 , состоящая из коэффициентов преобразования.

Глава 4- Вейвлетпые методы

в которой верхний левый коэффициент 131.375 равен среднему всех 64 пикселов исходного изображения.

Рис. 4.15. Программа и результат матричного вейвлетного преобразования WIW^ .

4.3. Подциапазонные преобразования

Все преобразования, которые обсуждались в § 3.5, являются орто­ гональными^ поскольку в их основе лежат ортогональные матрицы. Ортогональное преобразование можно также выразить с помощью скалярного произведения вектора данных (пикселов или звуковых фрагментов) и множества базисных функций. Результатом ортого­ нального преобразования служат преобразованные коэффициенты, которые можно сжимать с помощью RLE, кодирования Хаффмана

4-3. Поддиапазонные преобразования

или иного метода. Сжатие с потерей осуществляется путем кванто­ вания части преобразованных коэффициентов, которое делается до процедуры сжатия.

Дискретное скалярное произведение двух векторов fi и p« зада­ ется формулой

i

В начале § 3.5 рассматривалось преобразование вида ci = ^jdjWij, где dj - исходные данные, а Wij - некоторые весовые коэффициенты.

С другой стороны, вейвлетные преобразования являются поддиапазонными преобразованиями. Их можно вычислять с помощью операции свертки исходных данных (будь то пикселы или звуко­ вые фрагменты) и множества фильтров пропускания определенных частот. В результате поддиапазон охватывает некоторую часть по­ лосы частот исходных данных.

Слово «свертка» означает совместное сворачивание величин или функций. Дискретная свертка двух векторов fi и pj, которая также является вектором, обозначается / • ^. Компоненты свертки вычи­

(Операцию свертки можно также определить для функций, но для наших потребностей сжатия данных достаточно будет дискретной свертки). Заметим, что пределы суммирования в формуле (4.3) не указаны точно. Они зависят от размерности векторов fi и gi. При­ мерами могут служить формулы (4.9).

Далее в этом параграфе обсуждаются линейные системы. Здесь также объясняется, почему операция свертки задается таким стран­ ным способом. Этот математический материал можно пропустить при первом чтении.

Для начала рассмотрим интуитивное понятие системы. Система принимает на входе некоторый сигнал и в ответ генерирует некото­ рый сигнал на выходе. Входные и выходные сигналы могут быть од­ номерными (функциями времени), двумерными (пространственны­ ми функциями двух пространственных координат) или многомер­ ными. Нас будет интересовать связь между входными и выходны­

определяется следующим образом. Если входной сигнал xi{t) поро­ ждает выходной сигнал yi(t) (это будет обозначаться xi{t) —> yi{t)),

4.3. Поддиапазонные преобразования

нулю. Следовательно, J{t Л-Т^т -\-Т) = /(^,т) при всех Т. Значит, функция f{t^r) не изменится, если добавить любое число Т к ее аргументам, то есть она остается постоянной, если разность аргу­ ментов - константа, а сама функция / зависит только от разности своих аргументов. Тогда ее можно записать в виде /(t, т) = g{t — г), а уравнение (4.4) примет следующий простой вид:

Рис. 4.16. Свертка функций x(t) и g(t).

Это соотношение определяет интегральную свертку., важную операцию между x[t) и p(t), которое связывает x{t) и y{t). Эта операция обозначается у = д -к х. Принято говорить, что линейная трансляционно-инвариантная система задается с помощью свертки (или конволюции) входного сигнала х is. некоторой функции g(t). Функция g(t)^ которая является основной характеристикой систе-