1 / Salmon_sjatie_dannyh_izobrajeniy_i_zvuka[torrents.ru]

нуты. Сквозь них проходили только звуки очень высокой частоты.

— Поль Скот,т, «Клещи»

4.4. Банк фильтров

Матричное определение преобразования Хаара будет использовано в этом параграфе для введения понятия банка фильтров [Strang, Nguyen 96]. Будет показано, что преобразование Хаара можно ин­ терпретировать как банк, состоящий из двух фильтров: один про­ пускает низкие частоты, а другой - высокие. Будет дано объяснение термину «фильтр», а также показано, как простая идея банка филь­ тров ложится в основу концепции поддиапазонных преобразований [Simoncelli и др. 90]. Конечно, преобразование Хаара является про­ стейшим вейвлетным преобразованием, которое здесь употребляет­ ся для иллюстрации новых идей. Однако, его использование в ка­ честве банка фильтров не очень эффективно. В конкретных прило­ жениях используются более сложные множества фильтров, однако общая идея остается без изменений.

Фильтром называется линейный оператор, определяемый с по­ мощью коэффициентов фильтра /г(0), h(l), h{2)^.... Этот оператор применяется к входному вектору х, в результате чего получается выходной вектор у :

УМ = 2-1 ^(^)^(^ ~ ^) = h-kX.

Заметим, что пределы суммирования зависят от выбора последо­ вательностей X и h. Независимой переменной является время t, по­ этому удобно считать, что входная и выходная последовательности заданы при всех временах ^ = . . . , —2, — 1,0,1,2,.... Итак, использу­ ется обозначения

а; = (...,a,6,c,rf,e, ),

причем центральное значение «с» задает входной символ в нулевой момент времени [с = ^(0)], величины d и е определяют входные символы при i = 1 и ^ = 2, а, кроме того, b = х(—1) и а = х(—2). На практике входная последовательность всегда является конечной, поэтому считается, что бесконечный вектор х имеет лишь конечное число ненулевых компонентов.

4.4- Банк фильтров

Глубже вникнуть в работу фильтра можно с помощью простей­ шего входного сигнала х = (...,0,0,1,0,0,...). Эта последователь­ ность равна нулю всюду кроме момента ^ = 0. Она называется еди­ ничным импульсом. Несмотря на то, что в сумме, задающей свертку, не за­ даны пределы суммирования, легко видеть, что при любом п имеет­

Поскольку число коэффициентов фильтра h{i) конечно, то фильтр называется конечным импульсным откликом (FIR, finite impulse re­ sponse).

На рис 4.18 показана основная идея банка фильтров. Там изо­ бражен банк анализа, состоящий из двух фильтров: низкочастотно­ го Но и высокочастотного Hi. Низкочастотный фильтр использует свертку для удаления из сигнала высокочастотной составляющей. Он пропускает низкие частоты. А высокочастотный фильтр делает все наоборот. Он удаляет из сигнала высокие частоты. Вместе они разделяют входной сигнал на поддиапазоны частот.

4Hi[-)4.2[— или сохранять —|t2|-]FI TLT выход X

Рис. 4.18. Банк фильтров из двух каналов.

Входной сигнал х может быть одномерным (вектором из веще­ ственных компонентов, как это предполагается в этом параграфе) или двумерным, то есть, изображением. Элементы х{п) подаются на вход фильтров один за другим, и каждый фильтр вычисляет и выдает на выход один сигнальный отклик у{п). Число откликов в два раза больше числа входных сигналов (так как рассматривается два фильтра). Разочаровывающий результат, поскольку мы хотим получить сжатие. Для исправления этого обстоятельства после про­ хождения через фильтр делается прореживание, при котором вы­ брасываются отклики с нечетными номерами. Эту операцию также называют децимацией. На рисунке она обозначается в квадратике в виде «4, 2». После применения децимации число элементов на выходе равно числу элементов на входе.

Пример: Легко построить банк фильтров, в котором низкоча­ стотный фильтр вычисляет средние значения, а высокочастотный фильтр вычисляет полуразности, то есть, делается преобразование

244 Глава 4- Вейвлетные методы

Хаара входного сигнала. Коэффициенты низкочастотного фильтра равны /i(0) = /i(l) = 1/2, а коэффициенты высокочастотного филь­ тра равны h(0) — —1/2 и h(\) = 1/2. Применяем эти фильтры к одномерной входной последовательности

(х(0),..., а:(7)) = (255,224,192,159,127,95,63,32)

и получаем последовательность средних чисел а{г)

После децимации (прореживания) первая последовательность сокра­ щается до (239.5,175.5,111,47.5), а вторая приобретает следующий вид: (15.5,16.5,16,15.5). Затем эти две последовательности объеди­ няются в одну: (239.5,175.5,111,47.5,15.5,16.5,16,15.5), совпадаю­ щую с последовательностью, которая получается из уравнения (4.1).

Восстановление исходной последовательности делается с помо­ щью банка синтеза, который отличается от банка анализа. Фильтр синтеза низких частот использует два коэффициента фильтра 1 и 1

4.4- Банк фильтров

для вычисления четырех восстановленных значений у(0), у (2), у (А) и 2/(6), а фильтр синтеза высоких частот с помощью коэффициен­ тов — 1 и 1 восстанавливает значения ?/(!), 2/(3), у(5) и у(7). Затем эти восемь значений перемежаются для получения окончательной реконструкции исходной последовательности.

Банки фильтров позволяют взглянуть на преобразование Хаара с общих позиций. Они же дают возможность построить другие, более изощренные вейвлетные преобразования. Эта техника обсу­ ждается в § 4.5.

Использование банка фильтров имеет существенное преимуще­ ство по сравнению с одним фильтром, так как позволяет исполь­ зовать свойства, недоступные одному фильтру. Прежде всего, это возможность восстанавливать исходный сигнал х из выходных сиг­ налов HQX И Hix после их децимации (прореживания).

Децимация не является трансляционно инвариантной операцией. После ее применения выходная последовательность состоит из чет­ ных членов 2/(0), 2/(2), 2/(4),..., но если сделать задержку входа на один отсчет времени, то выходом будет служить последователь­ ность 2/(—1), 2/(1)? 2/(3), .. •, которая полностью отличается от под­ линного выхода. Эти две последовательности являются двумя фаза­ ми выходного сигнала у.

Выходы банка анализа называются коэффициентами поддиапа­ зона. Их можно квантовать (если допустима ^1астичная потеря ин­ формации), а затем сжимать с помощью RLE, методом Хаффмана, арифметическим кодированием или любым другим методом. В ко­ нечном счете, они подаются на вход банка синтеза, где к ним сна­ чала добавляются нули (на место отброшенных членов), после чего они пропускаются через обратные фильтры FQ и Fi, где из после­ довательностей формируется выходной вектор х. Выход каждого фильтра анализа (после децимации) имеет вид

а у) = {...,?/(-4),у(-2),у(0),у{2),3/(4),...) •

4-4' Банк фильтров

чен исходному входному сигналу, но отстает от него на три отсчета по времени.

Банк фильтров может быть биортогональным^ менее ограничи­ тельным типом фильтров. На рис. 4.20 показан пример такого филь­ тра, который полностью восстанавливает исходный сигнал. Обра­ тите внимание на схожесть фильтров Но и Fi, а также фильтров

Hi и FQ.

Рис. 4.20. Биортогональный банк фильтров с полным восстановлением.

Нам уже известно из § 4.2, что выходы фильтра низких ча­ стот Но обычно пропускают через фильтры анализа несколько раз, при этом образуются все более короткие выходные сигналы. Эту ре­ курсивную процедуру можно изобразить в виде дерева (рис. 4.21). Поскольку каждый узел этого дерева вдвое сокращает число вы­ ходных символов своего предшественника, то это дерево называ­ ется логарифмическим. На рис. 4.21 показано, как масштабирую­ щая функция ф{t) и вейвлетная функция ip{t) получаются в преде­ ле из логарифмического дерева. Здесь обнаруживается связь дис­ кретного вейвлетного преобразования (использующего банк филь­ тров) и континуального (непрерывного) вейвлетного преобразова­ ния (CWT, [Salomon 2000]).

Если «взбираться» вверх по логарифмическому дереву с уровня i на уровень гЧ-1, то одновременно вычисляется новое среднее с помо­ щью новой масштабирующей функции ф{2^1 — А;), имеющей большую частоту, а также новые детали с помощью новой вейвлетной функ­ ции ф{24 - к) :

Каждый уровень дерева соответствует удвоению частоты (или раз­ решения) по отношению к предыдущему уровню, поэтому логариф­ мическое дерево еще называют деревом с мулыпиразрешением.

Глава 4- Вейвлетные методы

западной традиции отдается предпочтение 8 из 12 тонов этого раз­ деления (диатоническая гамма, которая состоит из 7 нот, а 8 нота называется «октавой»). По этой причине основной частотный ин­ тервал, используемый в музыке, называется октавой. Следуя этой аналогии, можно сказать, что соседние уровни дерева мультиразрешения различаются на октаву частот.

Заключение. В этом параграфе рассматривались банки филь­ тров, которые будет полезно сравнить с преобразованием изобра­ жений из § 3.5. В обоих случаях обсуждаются преобразования, но это два разных типа преобразований. Каждое преобразование § 3.5 основано на некотором ортогональном базисе функций (или орто­ гональном базисе изображений), и они вычисляются с помощью взя­ тия скалярного произведения входного сигнала со всеми базисными функциями. Результатом является множество коэффициентов пре­ образования, которые в дальнейшем сжимаются или без потери ин­ формации (с помощью метода RLE или иного энтропийного кодиро­ вания), или методом, допускающим потерю данных (тогда кодиро­ ванию предшествует этап квантования преобразованных данных).

В этом параграфе рассматривались поддиапазонные преобразова­ ния - другой тип преобразований, вычисляемых с помощью свертки входного сигнала с частотными фильтрами из некоторого семейства с последующим прореживанием (децимацией) результатов. Каждая прореженная последовательность преобразованных коэффициентов является частью входного сигнала, частоты которого лежат в неко-