1 / Salmon_sjatie_dannyh_izobrajeniy_i_zvuka[torrents.ru]

S.l. JPEG

отображением 64-мерного векторного пространства изображения в пространство частот той же размерности. ШСТ является обратным отображением. Если были бы возможны вычисления с абсолютной точностью, то после применения DCT и ГОСТ (без квантования) результат совпал бы с исходным блоком. На практике, конечно, ис­ пользуется квантование, но если его делать аккуратно, то резуль­ татом этих преобразований будет блок, который очень близок ис­ ходному блоку изображения.

3.7.3.Практическое DCT

Уравнения (3.9) легко переводятся на любой язык программирова­ ния высокого уровня. Однако, имеется несколько возможностей для существенного ускорения вычисления этих величин. Эти формулы лежат в самом «сердце» метода JPEG, поэтому ускорение вычисле­ ний просто необходимо. Опишем несколько полезных приемов.

1. Независимо от размера изображения, используется только 32 зна­ чения функции косинус (см. следующий абзац). Их можно один раз вычислить и использовать много раз в операциях над единицами данных 8 x 8 . Тогда вычисление выражения

({2у + 1)зж\ ({2х + \)гж\

будет состоять всего из двух операций умножения. Двойная сумма (3.9) потребует 64 х 2 = 128 умножений и 63 сложений.

(Аргументы функции косинус, используемые в DCT, имеют вид {2х -\- 1)г7г/16, где х VL г - целые числа в интервале [0,7]. Их мож­ но записать в виде П7г/16, где п - целое из интервала [0,15 х 7]. Поскольку косинус-функция периодическая, для нее cos(327r/16) =

Я признателен В.Сараванану (V.Saravanan), который указал мне на эту особенность DCT.)

2. Анализ двойной суммы (3.9) позволяет переписать ее в виде про­ изведения матриц СРС"^, где Р - исходная 8 x 8 матрица пикселов, а матрица С определяется формулами

Глава 3. Союатие изобраэюений

В итоге, вычисление одного элемента матрицы С Р требует вось­ ми умножений и семи (ну пусть тоже восьми, для простоты) сло­

ное изображение состоит из п х п пикселов, причем п = 8^, где q - число единиц данных, то для вычисления DCT всех этих еди­ ниц понадобиться 2g^8^ умножений (и столько же сложений). Для сравнения, вычисление одного DCT всего изображения потребует 2п^ = 2q^S^ = (2^^8^) q операций. С помощью разделения изображе­ ния на единицы данных мы сократили общее число умножений (и сложений) в q раз. К сожалению, число q не может быть слишком большим, поскольку это уменьшает размер единицы данных.

Напомним, что цветное изображение состоит из трех компонент (обычно это RGB, которое преобразуется в YCbCr или в YPbPr). Каждая компонента преобразуется отдельно, что дает общее число операций равное 3 • 2q'^S^ = 3072q^. Для изображения с разрешени­ ем 512 X 512 пикселов потребуется сделать 3072 х 64^ = 12 582 912 умножений (и сложений).

3. Другой путь ускорения DCT состоит в выполнении арифметиче­ ских вычислений над числами, представленными в форме с фиксиро­ ванной точкой, а не в форме с плавающей точкой. Для многих ком­ пьютеров операции над числами с фиксированной точкой делаются существенно быстрее операций с плавающей точкой (некоторые вы­ соко производительные компьютеры, вроде CDC 6400, CDC 7600 и различные системы CRAY являются заметными исключениями).

Бесспорно, лучший алгоритмом для DCT описан в [Feig, Linzer 90]. Для него требуется всего 54 умножения и 468 сложений и сдвигов. На сегодняшний день имеются различные специализиро­ ванные микросхемы, которые выполняют эти процедуры очень эф­ фективно. Интересующийся читатель может познакомиться в [Loeffler et al. 89] с быстрым алгоритмом одномерного DCT, использу­ ющим всего 11 умножений и 29 сложений.

3.7.4- Квантование

После вычисления всех коэффициентов DCT их необходимо проквантовать. На этом шаге происходит отбрасывание части инфор­ мации (небольшие потери происходят и на предыдущем шаге из-за конечной точности вычислений на компьютере). Каждое число из матриц коэффициентов DCT делится на специальное число из «та-

ЗЛ, JPEG

блицы квантования», а результат округляется до ближайшего це­ лого. Как уже отмечалось, необходимо иметь три такие таблицы для каждой цветовой компоненты. Стандарт JPEG допускает ис­ пользование четырех таблиц, и пользователь может выбрать любую из этих таблиц д^ля квантования компонентов цвета. Все 64 числа из таблицы квантования являются параметрами JPEG. В принципе, пользователь может поменять любой коэффициент для достижения большей степени сжатия. На практике весьма сложно эксперименти­ ровать с таким большим числом параметров, поэтому программное обеспечение JPEG использует два подхода:

1. Таблица квантования, принятая по умолчанию. Две такие таб­ лицы, одна для компоненты светимости (и для градации серого цвета), а другая - для хроматических компонент, являются резуль­ татом продолжительного исследования со множеством эксперимен­ тов, проделанных комитетом JPEG. Они являются частью стандар­ та JPEG и воспроизведены в табл. 3.50. Видно, как коэффициенты QC таблиц растут при движении из левого верхнего угла в правый нижний угол. В этом отражается сокраш;ение коэффициентов DCT, соответствуюш;их высоким пространственным частотам.

2. Вычисляется простая таблица коэффициентов квантования, зави- сящая от параметра Я, который задается пользователем. Простые выражения типа Qij = 1 -\- {г -\- j) х R гарантируют убывание коэф­ фициентов из левого верхнего угла в правый нижний.

Табл. 3.50. Рекомендуемые таблицы квантования.

Если квантование сделано правильно, то в блоке коэффициентов DOT останется всего несколько ненулевых коэффициентов, которые будут сконцентрированы в левом верхнем углу матрицы. Эти числа являются выходом алгоритма JPEG, но их следует еще сжать пе­ ред записью в выходной файл. В литературе по JPEG это сжатие называется «энтропийным кодированием», детали которого будут

Глава 3. Сж.атие изображений

разбираться в § 3.7.5. Три технических приема используется при энтропийном кодировании для сжатия целочисленных матриц 8 x 8 . 1. 64 числа выстраиваются одно за другим как при сканировании зигзагом (см. рис. 3.5а). В начале стоят ненулевые числа, за которы­ ми обычно следует длинный хвост из одних нулей. В файл выводятся только ненулевые числа (после надлежащего кодирования) за кото­ рыми следует специальный код ЕОВ (end-of-block, конец блока). Нет необходимости записывать весь хвост нулей (можно также сказать, что ЕОВ кодирует длинную серию нулей).

Пример: В табл. 3.51 приведен список гипотетических коэффи­ циентов DCT, из которых только 4 не равны нулю. При зигзаго­ образном упорядочении этих чисел получается последовательность коэффициентов: 1118,2,0, - 2 , 0 , . . . , О, - 1 , 0 , . . . , О..

Табл. 3.51. Квантованные коэффициенты.

А как написать подпрограмму А^ЛЯ считывания .элементов ма­ трицы по зигзагу? Простейший способ состоит в ручном просле­ живании этого пути и в записи результата в массив структур zz, в котором каждая структура состоит из пары координат клеток, через которые проходит зигзагообразный путь (см. рис. 3.52).

Если компоненты структуры zz обозначить zz. г и zz. с, то путь по зигзагу можно совершить с помощью следующего цикла

for (i=0; i < 6 4 ; i++){

row:=zz[i].r; col:=zz [ i ] . с

. . .data.imit[row] [col]...}

2.Ненулевые коэффициенты преобразования сжимаются по методу Хаффмана (см. § 3.7.5).

3.Первое из этих чисел (коэффициент DC, см. стр. 145) обрабаты­ вается отдельно от других чисел (коэффициентов АС).

Рис. 3.52. Координаты зигзагообразного пути.

3.7.5.Кодирование

Прежде всего обсудим пункт 3 из конца предыдущего параграфа. Каждая матрица 8 x 8 квантованных коэффициентов DCT содержит коэффициент DC [в позиции (0,0) в левом верхнем углу], а также 63 коэффициента АС. Коэффициент DC равен среднему значению всех 64 пикселов исходной единицы. Наблюдения показывают, что при сжатии непрерывно-тоновых изображений, коэффициенты DC со­ седних единиц обычно являются коррелированными. Известно, что этот коэффициент равен сумме всех пикселов блока с некоторым общим множителем. Все это указывает на то, что коэффициенты DC близких блоков не должны сильно различаться. Поэтому JPEG записывает первый (закодированный) коэффициент DC, а затем ко­ дирует разности коэффициентов DC последовательных блоков.

Пример: Если первые три единицы данных размера 8 x 8 име­ ют квантованные коэффициенты DC равные 1118, 1114 и 1119, то JPEG записывает J\^K первого блока число 1118 (закодированное по Хаффману, см. далее), за которым следует 63 закодированных коэффициента АС. Для второго блока на выходе будет стоять чи­ сло 1114 — 1118 = —4 (также кодированное по Хаффману) впереди 63 (кодированных) коэффициента АС этого блока. Третьему бло­ ку будет соответствовать кодированная запись 1119 — 1114 = 5 и следующие 63 коэффициента АС. Этот путь также позволяет мень­ ше беспокоиться о проблемах, связанных с переполнением, так как разности обычно малы.

Кодирование разностей коэффициентов DC совершается с по­ мощью табл. 3.53. В этой таблице записаны так называемые унар­ ные кодьц которые определяются следующим образом. Унарный код неотрицательного целого числа п состоит из строки в п единиц, за которыми следует один О или, наоборот, п нулей и одна 1. Длина унарного кода целого числа п равна гг 4-1 бит.

Каждая строка табл. 3.53 начинается с ее номера (слева); в конце стоит унарный код строки, а между ними располагаются некоторые

Глава 3. Сэюатие изобраэюений

числа. В каждой следующей строке записано больше чисел, чем в предыдущей, но они отличаются от чисел всех предыдущих строк. В строке i находятся числа из интервала [—(2* — 1), +(2* — 1)], за вы­ четом чисел интервала [—(2*~^ — 1),+(2*~^—1)]. Длина строк растет очень быстро, поэтому такие данные не удобно представлять в виде простого двумерного массива. На самом деле^ для их хранения не нужна никакая структура данных, поскольку подходящая програм­ ма легко определит позицию числа х в таблице, анализируя биты этого числа.

Табл. 3.53. Кодирование разностей коэффициентов DC.

Первый коэффициент DC из нашего примера, который следует закодировать, равен 1118. Он находится в строке 11 и столбце 930 таблицы (столбцы занумерованы, начиная с нулевого). Тогда оно ко­ дируется последовательностью 1И111111110101110100010 (унарный код строки 11, за которым следует двоичное представление числа 930 из 11 бит). Вторая разность коэффициентов DC, число —4, рас­ положена в строке 3 и столбце 3; она кодируется в виде 1110|011 (унарный код строки 3 и число 3 в виде 3 бит). Третья разность 5 расположена в строке 3, столбец 5, поэтому ее кодом служит 1110|101.

Разберемся теперь с пунктом 2 предыдущего параграфа, когда надо кодировать 63 коэффициента АС. Это сжатие использует ко­ дирование RLE в сочетании с методом Хаффмана или с арифме­ тическим кодированием. Идея заключается в том, что в последова­ тельности коэффициентов АС, как правило, имеется всего несколь­ ко ненулевых элементов, между которыми стоят серии нулей. Для каждого ненулевого числа х (1) кодер определяет число Z пред­ шествующих ему нулей; (2) затем он находит число х в табл. 3.53

по строке и столбцу в табл. 3.54; (4) наконец, полученный из этой

S.l. JPEG

таблицы код Хаффмана присоединяется к С (где С записывается в виде R-битного числа); результатом этих действий служит код, выдаваемый на выход кодером JPEG для этого АС коэффициента X и всех предыдущих нулей. (Можно перевести дух.)

Табл. 3.54. Кодирование коэффициентов АС.

В табл. 3.54 приведен некоторый произвольный код Хаффмана, не тот, который предлагается комитетом JPEG. А стандарт JPEG рекомендует использовать для этих целей коды из табл. 3.55 и 3.56. При этом разрешается использовать до четырех таблиц Хаффмана, за исключением моды базелины, когда можно использовать только две таблицы. Читатель обнаружит код ЕОВ в позиции (0,0) и код ZRL в позиции (0,15). Код ЕОВ означает конец блока, а код ZRL за­ мещает 15 последовательных нулей, когда их число превышает 15. Эти коды рекомендованы для компонентов светимости (табл. 3.55).

Коды ЕОВ и ZRL, рекомендованные ^1^ля коэффициентов АС хрома­ тических компонентов из табл. 3.56 равны 00 и 1111111010, соответ­ ственно.

Пример: Еще раз рассмотрим последовательность

1 1 1 8 , 2 , 0 , - 2 , 0 , . . . , 0 , - 1 , 0 , . . . , 0 .

13 46

Первый АС коэффициент х = 2пе имеет перед собой нулей, то есть,

X = 2 будет 01|10. Следующий ненулевой коэффициент —2 имеет один предшествующий нуль, то есть, для него Z = I. Он стоит в табл. 3.53 в строке 2 и столбце 1, тогда Я == 2, С = 1. Код Хаффмана из табл. 3.54 в позиции (Л, Z) = (2,1) равен 11011. В итоге кодом

Глава 3. Сэюатие изобраэтеиий

числа —2 будет служить последовательность 11011|01. Последний ненулевой коэффициент АС равен —1, ему предшествует 13 нулей,

Табл. 3.55. Рекомендованные коды Хаффмана для коэффициентов АС светимости.

Наконец, хвост из последних нулей кодируется как 1010 (ЕОВ, конец блока). Значит, выходом для всех коэффициентов АС будет последовательность 01101101110111010101010. Мы ранее установи­ ли, что кодом коэффициентом DC станет двоичная последователь­ ность 111111111110| 1110100010. Итак, окончательным кодом всего 64-пиксельного блока данных будет 46-битовое число

111111111110111010001001101101101111010101010.

ЗЛ, JPEG

Эти 46 бит кодируют одну цветную компоненту единицы данных. Предположим, что две остальные компоненты будут также закоди­ рованы 46-битовыми числами. Если каждый пиксел исходно состоял из 24 бит, то получим фактор сжатия равный 64x24/(46x3) = 11.13; очень неплохой результат!

р, 111111111000011 111111111010110 1111111111110111 1111111111111000 1111111111111001

^1111111111111010 1111111111111011 1111111111111100 1111111111111101 1111111111111110

Табл. 3.56. Рекомендованные коды Хаффмана для коэффициентов АС хроматических компонент.

Те же таблицы (3.53 и 3.54) должны быть использованы декоде­ ром для восстановления блока данных. Они задаются по умолчанию кодеком JPEG, или могут быть специально построены для данного конкретного изображения на предварительном проходе. Однако сам JPEG не предусматривает алгоритма для построения таких таблиц. Конкретный кодек может самостоятельно сделать это.

Некоторые варианты JPEG предусматривают использование вер­ сии с арифметическим кодированием, которая называется кодиро­ ванием QM. Это кодирование также устанавливается стандартом JPEG. Этот метод является адаптивным и для его работы не тре-