обработка результатов измерений

Министерство образования и науки Российской Федерации Югорский государственный университет

Кафедра физики и общетехнических дисциплин

А.В. Орлов

Лабораторный практикум по механике

Учебное пособие

Ханты-Мансийск, 2007

УДК 539

Орлов А.В. Лабораторный практикум по механике: учебное пособие /А.В. Орлов, П.Ю.Гуляев, В.И. Зеленский, С.А. Орлов, под ред. В.И. Зеленского; Югорский государственный университет. – Ханты-Мансийск: Изд-во ЮГУ, 2007.– 76 с.

Рекомендовано к использованию в качестве методического обеспечения лабораторного практикума для студентов технических специальностей вузов при изучении раздела "Основы классической механики" дисциплины "Физика".

Изложены основы математической обработки результатов лабораторного физического практикума на основе современных методов оценки измеряемых физических величин и их погрешностей.

Приведены методические указания к 13 лабораторным работам по механике.

Рецензенты:

д.п.н., профессор каф. Физики и общетехнических дисциплин ЮГУ Яворук О.А. д.ф.-м.н., профессор каф. Общей физики АлтГТУ Демьянов Б.Ф.

© Югорский государственный университет, 2007

1

Физика – наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, законы ее движения.

Прежде всего, физика – наука экспериментальная. Это значит, что все ее законы найдены в результате многократных измерений, опытов. Инструментом или языком физики является математика. Измеренные значения физических величин физики выражают в виде чисел, показывающих во сколько раз одна физическая величина больше другой однородной, принятой за единицу измерения. Физические величины, характеризующие данное природное явление, могут зависеть от других физических величин. Физики выражают такие зависимости в виде формул, которые в ряде случаев могут стать законами.

Основой любого эксперимента является измерение. Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь анализировать. Это значит, что в физическом практикуме необходимо научиться не только измерять величины, но и находить связь между ними, сопоставлять результаты эксперимента с выводами теории.

В физической лаборатории студент должен решить ряд экспериментальных задач. С одной стороны, студент должен научиться самостоятельно воспроизводить и анализировать основные физические явления. С другой стороны, он должен получить при этом некоторые элементарные навыки работы в лаборатории.

I. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Виды измерений

Измерение – это сравнение физической величины с другой, однородной, принятой за единицу измерения (эталон).

Все измерения подразделяют на два вида по способу получения значений физических величин: прямые и косвенные, и на два вида по желаемой точности: технические и лабораторные.

При прямых измерениях определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. Т.е. при прямом измерении значение измеряемой величины считывают непосредственно со шкалы или табло измерительного прибора. Так, например, измеряется время какого-либо процесса секундомером, длина какого-либо предмета – линейкой, скорость автомобиля – спидометром и т.д.

При косвенных измерениях искомая величина измеряется (вычисляется) по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Т. е. при косвенном измерении измеряемая величина находится в результате вычисления по некоторой формуле, в которую входят результаты прямых измерений. Так, например, можно измерить плотность тела, зная массу и объем тела, среднюю скорость движения тела, зная путь, пройденный телом и время, за которое этот путь пройден и т. д.

Технические измерения – это измерения, проводимые техническими приборами с невысокой точностью. Проводят их, как правило, однократно в производственных условиях. Лабораторные измерения – это измерения, проводимые лабораторными приборами с высокой точностью. Проводят их, как правило, многократно в исследовательских лабораториях.

2. Погрешности и их виды

Если измерять одну и ту же физическую величину X достаточно точным прибором n раз, то получаемые значения X1, X2,…, Xi,…, Xn-1, Xn различаются, но группируются около некоторого значения X. Какое же значение будет истинным – Xист? С чем связан разброс экспериментальных данных? Для удобства восприятия значения физической величины можно отображать на числовой оси (рисунок 1).

2

В случае, когда одно и тоже измерение проводится несколько раз, в качестве погрешности принимается некоторая усредненная, по всем i-м измерениям, оценка абсолютной погрешности.

Все погрешности подразделяют на промахи, систематические и случайные погрешности.

2.1.Промах – грубый просчет экспериментатора. Это чрезмерно большие ошибки, допущенные человеком, в процессе измерений. Такие ошибки могут возникнуть, например, в случае, если экспериментатор неправильно произвел отсчет значения физической величины со шкалы прибора, ошибся при записи результата измерения в таблицу экспериментальных данных. Сюда же относятся ошибки, допускаемые при вычислениях. Результаты измерений, содержащих промахи, следует отбрасывать и проводить повторные измерения.

2.2.Систематические погрешности – это ошибки, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности можно разбить на два вида – приборные (инструментальные)

иметодические. Методические погрешности связаны с недостатками метода измерения, с неправильной постановкой эксперимента. Например, если при вычислении дальности полета снаряда, выпущенного из пушки, не учитывать сопротивление воздуха или влияние ветра, то будет допущена методическая ошибка. Если при измерении диаметра сферического тела пользоваться линейкой, то будет допущена методическая ошибка. Измерение в данном случае необходимо проводить штангенциркулем или другим прибором, позволяющим правильно охватить диаметр сферы. Для избавления от таких погрешностей необходимо усовершенствовать методику измерения. Необходимо учесть влияние на процесс измерения факторов, которые вносят значительные погрешности, путем ввода поправок в расчетные формулы.

К методическим погрешностям можно отнести вычислительные погрешности, связанные с округлением чисел при подстановке их в формулы и при последовательных вычислениях. К примеру, если при вычислении физической величины по формуле, в которую входит

некоторое иррациональное число (π, e или др.), мы подставим ее округленное значение, то результат вычисления получим с ошибкой. Если расчет физической величины совершается по основной формуле, в которую входят величины, найденные по другим формулам, то при округлении последних величин и подстановке их в основную формулу результат измерения получим с ошибкой. Для того чтобы учесть такие ошибки, результат промежуточного расчета округляют, по крайней мере, на один порядок точнее, чем точность исходных данных (см. п. 4). В качестве абсолютной погрешности иррациональных величин, входящих в формулу, у которых погрешность неизвестна, принимается половина известного младшего разряда.

Пример. Число π имеет значение π=3,141592654…. Если в формулу подставляется π=3,14, то допускается погрешность σ(π)=0,005, равная половине одной сотой. Также и с постоянными, погрешности которых неизвестны.

Приборные погрешности – ошибки, вызванные несовершенством изготовления измерительных приборов. Любой измерительный прибор невозможно изготовить абсолютно точно. Рассмотрим рычажные весы (рисунок 3). Если правый рычаг весов больше, чем левый, то в результате измерения значение массы будет получаться всегда меньше, чем в действительности. Такие погрешности присущи всем приборам. Кроме того, все приборы имеют цену деления, ограничивающую точность измерения.

Для характеристики измерительных приборов используется понятие приведенной погрешности γ (класса точности). Класс точности – это отношение абсолютной погрешности σ(X) к предельному значению (диапазону) Xд измеряемой величины (т.е. к наибольшему значению, которое может быть измерено по шкале прибора). Приведенная погрешность является по существу относительной погрешностью, выраженной в процентах от диапазона

4

По приведенной погрешности приборы подразделяются на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5 – лабораторные приборы; 1,0; 1,5; 2,5; 4 – технические приборы.

Рисунок 3 – Приборная погрешность рычажных весов

Завод, выпускающий прибор, гарантирует относительную погрешность измерения данным прибором, равную классу точности.

Зная класс точности прибора, можно определить абсолютную приборную погрешность

Класс точности указывается на шкале прибора числом, либо в техническом паспорте к прибору. Часто на шкале прибора вместо класса точности указывается абсолютная погрешность с указанием единицы измерения. Если ни на шкале прибора, ни в техническом паспорте нет данных о его погрешности, то за абсолютную приборную погрешность принимается половина цены деления шкалы. Для цифровых приборов, в качестве приборной погрешности принимается шаг дискретного изменения величины.

2.3. Случайные погрешности – погрешности, которые изменяются случайным образом от опыта к опыту при повторных измерениях одной и той же величины при одинаковых условиях. Эти погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно.

В качестве примера возникновения таких погрешностей можно привести разброс данных при измерении диаметра проволоки штангенциркулем. При изготовлении проволоки невозможно добиться того, чтобы ее диаметр по всей длине был один и тот же. Значения диаметра при повторных измерениях в различных сечениях проволоки будут иметь случайный характер и группироваться около некоторого среднего значения.

Оценку случайных погрешностей проводят методами теории вероятности и математической статистики. Дисциплина, изучающая случайные погрешности, называется теорией погрешностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное значение которой – Xист. Используя какой-нибудь прибор, мы n раз пытаемся определить эту величину, но из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, вместо Xист получаем набор значений X1, X2,…, Xi,…, Xn-1, Xn. С помощью закона распределения нельзя указать точно, чему равно Xист, но можно оценить вероятность P того, что Xист окажется в интервале значений Xср–σ(X)≤Xист≤Xср+σ(X) или [Xср–σ(X), Xср+σ(X)] (см. рисунок 2). Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность P – доверительной вероятностью. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

5

Здесь X – набор значений, которые мы получаем в результате измерений, Xср – определяется по формуле (3), σ(X) – среднеквадратичное отклонение

где Xi – i-е измерение, n – количество измерений.

Как видно из рисунка 4, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины Xср и шириной 2 σ(X) – расстояние между точками перегиба. Значение Xср обычно и принимается за ту величину, которую надо было измерить, а σ(X) характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ(X), тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение.

Рисунок 4 – Функция распределения Гаусса

Обработка результатов измерений сводится к возможно более точному нахождению параметров гауссовой кривой Xср и σ(X). Площадь под кривой Гаусса (рисунок 4) характеризует вероятность того, что при бесконечно большом количестве измерений (при одинаковых условиях) одной и той же физической величины ее истинное значение находится в доверительном интервале (5). Если в качестве доверительного взять интервал [Xср–σ(X), Xср+σ(X)], то вероятность нахождения истинного значения в этом интервале равна P=0,683. При больших интервалах будет больше площадь под кривой и больше величина P.

При экспериментальных исследованиях невозможно произвести бесконечно большое количество измерений, поэтому возникает вопрос: как изменяется доверительный интервал в зависимости от числа измерений?

В этом случае в качестве оценки среднеквадратичного отклонения принимается величина, называемая среднеквадратичной погрешностью

∑n (Xi − Xср )2

S = i=1 ( ) . (11) n n −1

Существуют специальные таблицы (коэффициентов Стьюдента), по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал [±S], чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую доверительную вероятность P.

6

Для нахождения случайной погрешности используется выражение

σслуч(X)=tP,n S, (12)

где tP,n – коэффициент Стьюдента. Этот коэффициент зависит от доверительной вероятности P и от количества измерений n и находится по таблице 1.

Таблица 1 – Таблица коэффициентов Стьюдента.

При проведении лабораторных работ, следует задавать доверительную вероятность P=0,95 и в зависимости от количества измерений выбирать коэффициент Стьюдента.

Может показаться, что с увеличением количества измерений коэффициент Стьюдента уменьшается (таблица 1), а, следовательно, погрешность опыта можно сколь угодно уменьшить. Но это не так. С увеличением количества измерений в опыте коэффициент Стьюдента меняется очень мало, особенно при больших значениях n. Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно. Надо четко понимать, что увеличением числа измерений можно уменьшить только случайную составляющую погрешности. В то же время систематическая погрешность не уменьшается при увеличении n. Поэтому если систематическая погрешность преобладает, то увеличение числа измерений мало что дает. Если случайная погрешность превышает систематическую, то имеет смысл увеличить количество измерений и предпринять меры по снижению влияния случайных факторов на процесс измерения (если это возможно).

3. Правила обработки результатов измерений

3.1. Обработка результатов прямых однократных измерений.

а) Измерение проводится однократно. В качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимается измеренное значение Xизм.

б) В качестве оценки точности измерения принимается систематическая погрешность прибора.

в) Результат измерений округляют по правилам округления (см. п. 4).

г) При записи результата измерений указывается доверительный интервал с указанием единицы измерения

д) Вычисляется относительная погрешность

ε(X)= σсист (X). Xизм

3.2.Обработка результатов прямых многократных измерений.

a)В результате n опытов получается набор значений физической величины X1, X2, …, Xi,

…, Xn.

б) В качестве оценки истинного значения принимается среднее арифметическое (3).

в) Абсолютная погрешность измерения оценивается по систематической и случайной погрешности

7

Случайная погрешность определяется формулами (11-12). В качестве систематической погрешности студентом принимается приборная погрешность.

г) Результат измерений округляют по правилам округления (см. п. 4).

д) Результат измерения записывают в стандартном виде, указывая доверительный интервал, единицу измерения и доверительную вероятность

X = [Xср ± σ(X)] ед. изм., P= … . (15)

е) Вычисляется относительная погрешность

ε(X)= σ(X).

Xср

б) Для того чтобы определить погрешность σ(Y) косвенного измерения необходимо

г) Результат измерений округляют по правилам округления (см. п. 4) и записывается в стандартном виде с указанием единицы измерения

Y = [Yср ± σ(Y)] ед. изм. (21)

д) Вычисляется относительная погрешность

ε(Y)= σ(Y).

Yср

Пример. Допустим, измеряется электрическое сопротивление некоторого проводника. При этом используется закон Ома

Напряжение измеряется вольтметром, сила тока – амперметром. Величина R, полученная путем подстановки значений напряжения и силы тока в закон Ома, будет косвенно измеренной величиной.

В качестве результата измерения принимается величина Rср= Uср/Iср.

и подставим в (23)

8

Вычисление частной производной от некоторой функции по некоторой переменной отличается от вычисления обыкновенной производной тем, что все остальные переменные функции считаются постоянными.

Если использовать выражение (20), то необходимо выражение (22) прологарифмировать

Получится результат аналогичный (25). Тогда запись результата измерения

R=(Rср±σ(R)) Ом, εR=… .

4. Правила округления результатов измерения

4.1. При записи результата промежуточного расчета его округляют, по крайней мере, на один порядок точнее, чем точность исходных данных.

Пример. Пусть требуется записать результат расчета X=Y Z, где Y=0,00785, Z=5492250. В результате расчета получается: X=43114,1625. Исходное число Y записано с точностью до трех значащих цифр, а Z – с точностью до шести значащих цифр. Наибольшая точность в исходных данных – шесть значащих цифры. Результат вычисления должен быть записан на один порядок точнее. Следовательно, результат расчета необходимо округлить таким образом, чтобы в нем присутствовало не менее семи значащих цифр. Ответ: X=43114,16, либо точнее. Все дальнейшие расчеты необходимо проводить с не меньшей точностью.

4.2. При записи результата измерения в первую очередь округляется погрешность. Погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая из них единица или двойка. Погрешность округляется до одной значащей цифры во всех остальных случаях.

Значащими называются цифры 1, 2,…, 9, а также 0, если цифра 0 стоит в середине числа или на его конце.

Пример 1. Погрешность σ(X)=0,05789. Первая значащая цифра – 5. Следовательно, округляем до одной значащей цифры. Ответ: σ(X)=0,06.

Пример 2. Погрешность σ(X)=1789. Первая значащая цифра – 1. Следовательно, округляем до двух значащих цифр. Ответ: σ(X)=1800.

4.3. После округления погрешности округляется оценка измеренной величины. Она округляется до того же разряда, что и погрешность.

Пример 1. X=34,798±0,05789. После округления: X=34,80±0,06. Погрешность округлена до сотых, следовательно, оценка измеренной величины, также должна быть округлена до сотых (до того же порядка). В данном примере ноль в выражении для оценки измерения после округления указывается обязательно.

Пример 2. X=34798±1789. После округления: X=34800±1800. Погрешность округлена до сотен, следовательно, оценка измеренной величины, также должна быть округлена до сотен (до того же порядка). Либо X=(34,8±1,8) 103.

5. Правила построения графиков

Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной емкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента.

9