обработка результатов измерений
.pdf10.3. Обработка результатов измерений
10.3.1. Оценить время tср. По формуле (148) определить момент инерции Jэ маятника. 10.3.2. По формуле (149) определить момент инерции Jт маятника. Заполнить таблицы 25, 26.
10.3.3. Рассчитать рабочую погрешность по формуле (150).
10.3.4. Сформулировать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе. 10.4. Контрольные вопросы
10.4.1.Дать определение понятиям: консервативные силы, работа силы, потенциальные поля, механическая энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия.
10.4.2.Закон изменения механической энергии.
10.4.3.Какова цель данной работы? и в чем заключается закон сохранения механической энергии?
10.4.4.В чем заключается метод измерения момента инерции маятника Максвелла?
10.4.5.Вывести формулу (148).
10.4.6.Из каких соображений записана формула (149)?
10.4.7.Момент инерции, его физический смысл. От чего он зависит? Как рассчитывается?
60
11. Лабораторная работа 11. Исследование столкновений шаров
Введение
Целью лабораторной работы является изучение закона сохранения механической энергии и закона сохранения импульса. На основе этих законов требуется определить среднюю силу соударения двух упругих шаров.
Закон сохранения механической энергии выполняется в механических системах, на которые не действуют внешние и диссипативные силы. Закон сохранения импульса выполняется в механических системах, на которые не действуют внешние силы. В обоих случаях: механическая энергия (импульс) системы сохраняется (остается неизменным при любых движениях тел).
11.1.Краткая теория
Вслучае абсолютно упругого удара (когда деформациями тел можно пренебречь), тела разлетаются после соударения со скоростями (рисунок 34), величина и направление которых определяются двумя условиями: сохранением механической энергии и импульса системы тел. Ограничимся рассмотрением центрального удара двух однородных не вращающихся шаров.
Рисунок 34 – Абсолютно упругий удар: 1) скорости тел до соударения; 2) скорости тел после соударения
Законы сохранения энергии и импульса могут быть представлены следующими уравнениями:
|
m |
1 |
vr2 |
|
|
|
|
m |
2 |
vr2 |
|
|
m |
1 |
ur2 |
m |
2 |
ur2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
= |
|
1 |
+ |
|
2 |
|
, |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m1 vr |
1 |
|
|
+ m2 vr2 = m1 ur1 + m2 ur2 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
– скорости шара m1, до и после соударения, |
||||||||||||||
где m1, и m2 – массы шаров, v1 |
и u1 |
|||||||||||||||||||||||
скорости шара m2 до и после соударения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решая совместно уравнения (151) и (152), получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ur1 = |
|
2 m2 vr2 + (m1 − m2 ) vr1 |
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ur2 = |
|
|
2 m1 vr1 + (m2 − m1 ) vr2 |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
(151)
(152)
vr2 и ur2 –
(153)
(154)
В соответствии со вторым законом Ньютона, сила, действующая на тело, равна
производной от импульса тела по времени |
|
|
|
|
|
r |
= |
dp |
|
|
|
F |
|
, |
(155) |
||
dt |
|||||
|
|
|
|
где p = m v – импульс тела. Считая, что в течении времени соударения на первый шар со стороны второго действует некоторая постоянная “средняя” сила Fср , получим
|
r |
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
= |
p |
= |
m u1 − m v1 |
, |
|
(156) |
||
|
F |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
ср |
|
t |
|
t − t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где vr |
1 и t0 – значения скорости шара и времени в начале процесса удара. ur |
1 и t |
– значения |
||||||
скорости и времени в момент завершения процесса удара. В случае центрального удара
61
шаров векторы vr1 и ur1 направлены вдоль одной прямой, поэтому соотношение (156) можно переписать в скалярной форме
F |
= |
m u1 − m v1 |
= |
m |
v1 |
, |
(157) |
|
|
|
|||||
ср |
t − t0 |
|
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
|||
где v1 – изменение скорости шара за время равное продолжительности |
t удара. |
||||||
Продолжительностью удара называют время, проходящее между моментами начала и окончания соприкосновения шаров. Оно зависит от многих факторов: упругости шаров, относительной скорости в момент начала удара, их радиуса и т. д.
11.2. Описание экспериментальной установки и методики измерений
Для изучения удара шаров используется установка FPM-08, представленная на рисунке 35. К стойке 6 на нитях подвешено два шара 1 и 2. Шар 1 удерживается в задаваемом положении электромагнитом 3. Угол отклонения от равновесного положения шара 1 считывается по шкале 4. Время соударения шаров определяется микросекундомером 5.
Рисунок 35 – Схема установки. |
|
|
|||
|
Скорость шара 1 (рисунок 36) перед |
||||
|
соударением |
можно |
найти, |
||
|
воспользовавшись |
законом |
сохранения |
||
|
энергии. Кинетическая энергия, которую |
||||
|
имеет шар 1 к началу столкновения, равна |
||||
|
потенциальной энергии поднятого шара в |
||||
|
момент начала его движения, |
|
|||
|
|
m1 v12 |
= m1 g h , |
(158) |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
Рисунок 36 – Математический маятник. |
отсюда v1 = 2gh . Высоту подъема шара h, |
||||
выразим через длину подвеса l. |
|
||||
Из рисунка 36 следует l–h = l·cos(α), откуда |
|
|
|
|
|
h = l (1 − cos(α)) = l 2 sin 2 (α/ 2) . |
|
(159) |
|||
Окончательное выражение для начальной скорости имеет вид |
|
|
|||
v1 = 2 sin(α/ 2) l g . |
|
(160) |
|||
Скорость шара u1 после соударения определим из соотношения (153). Второй шар находится в покое и его скорость v2 в начале удара равна нулю. Учтем так же, что в установке применяются шары одинаковой массы, т. е. m1=m2 . В результате получаем u1=0. Этого и следовало ожидать, так как шары одинаковой массы при соударении обмениваются скоростями. Это видно из формулы (154), u2=v1. Изменение скорости v1 шара 1 в результате столкновения равно
v1=u1–v1= –v1. |
(161) |
62
Решая совместно (160), (161) и (157) получаем окончательную формулу для модуля средней силы соударения
F = 2 m sin(α/ 2) l g . |
(162) |
ср t
11.3. Порядок выполнения работы
11.3.1.Получить принадлежности у преподавателя. Приборы и принадлежности: установка для изучения столкновения твердых тел FPM-08, металлическая линейка.
11.3.2.Посредством болтов, крепящих электромагнит, установить угол отклонения нитей
α1. Снять значение угла отклонения нитей по шкале 4 (рисунок 35). Занести значение α1 в таблицу 27.
Таблица 27 – Экспериментальные данные.
α1, град |
α2, град |
α3, град |
α4, град |
α5, град |
t1
t2
...
Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.
11.3.3. Клавишу “пуск” отжать. Включить установку в сеть, при этом электромагнит 3 подключается к источнику питания. Шар 1 подвести к электромагниту (рисунок 35).
11.3.4. Нажать клавишу “сброс”. Нажать клавишу “пуск” и считать время соударения t1. При свечении индикатора “переполнение” выключить установку и сообщить об этом преподавателю. Записать время t1 в таблицу 27.
11.3.5. Выполнить десять измерений времени соударения t, повторив п. 11.3.4. Если время столкновения сильно отличается от среднего, то такой результат следует отбросить и провести измерения заново. Выключить установку.
11.3.6.Выполнить пять опытов, повторив п.п. 11.3.2-11.3.5 для различных углов отклонения
αшара 1.
11.3.7.Выключить установку. Измерить линейкой длину подвеса шаров l (кратчайшее расстояние между стержнем верхнего кронштейна и центром шара).
11.3.8.Определить систематические погрешности микросекундомера, линейки и угловой шкалы. Выбрать коэффициент Стьюдента. Сдать принадлежности преподавателю.
11.4. Обработка результатов измерений
11.4.1. Определить среднее значение времени соударения tср в каждом из пяти опытов. 11.4.2. По формулам (160) и (161) рассчитать изменение скорости v шара 1 в результате соударения для каждого опыта.
11.4.3.По формуле (162) вычислить среднюю силу соударения Fср для каждого опыта. Масса одного шара m=100,0±1,0 г.
11.4.4.Оценить погрешность измерения времени σ( tср) и силы σ(Fср) в каждом опыте
11.4.5.Заполнить таблицу 28. Записать окончательные значения средней силы удара в стандартной форме.
Таблица 28 – Обработка результатов измерений.
№ |
α, |
tср, |
σ( tср), |
v, |
Fср, |
σ(Fср), |
Дополн. |
п/п |
град |
с |
с |
м/с |
Н |
Н |
данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
m = 100 г |
... |
|
|
|
|
|
|
l = ... м |
|
|
|
|
|
|
|
g=9,8 м/с2 |
63
11.4.6.Построить график зависимости Fср=f( v)
11.4.7.Сформулировать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе.
11.5. Контрольные вопросы
11.5.1.Цель работы и сущность метода определения средней силы соударения шаров.
11.5.2.Что такое сила, импульс, масса, скорость?
11.5.3.Объяснить явления, происходящие в процессах абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
11.5.3.Законы сохранения, используемые при расчете скоростей тел после удара.
11.5.4.Вывести формулы для скорости тел при абсолютно упругом и абсолютно неупругом
ударах.
11.5.5.Вывести формулу (162).
11.5.6.Вывести формулы (153), (154).
64
12. Лабораторная работа 12. Определение скорости полета пули баллистическим методом
Введение
Целью работы является изучение закона сохранения момента импульса, закона сохранения механической энергии и закона колебательного движения, а также применение этих законов к расчету скорости полета пули.
Закон сохранения механической энергии выполняется в механических системах, на которые не действуют внешние и диссипативные силы. Закон сохранения момента импульса выполняется в механических системах, на которые не действуют внешние моменты сил. В обоих случаях: механическая энергия (момент импульса) системы сохраняется (остается неизменным при любых движениях тел).
12.1. Описание экспериментальной установки и методика измерения
Крутильный маятник (рисунок 37) представляет собой стержень 2, подвешенный на упругой струне 1. Вдоль стержня по обе стороны от струны на расстоянии R расположены грузы 3 массой m. Расстояние между грузами можно изменять. На концах стержня укреплены две мишени 4.
Рисунок 37 – Схема крутильного маятника: а) вид сбоку; б) вид сверху.
Если отклонить стержень на небольшой угол α0 от положения равновесия и отпустить, то система будет совершать свободные гармонические крутильные колебания. В таком случае, механическая энергия в начальный момент движения равна потенциальной энергии упруго деформированной струны
|
|
k α2 |
|
|
W |
= |
0 |
, |
(163) |
|
||||
пот |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругих свойств струны и ее геометрических размеров. Когда маятник проходит положение равновесия, в момент поворота стержня на угол α=0, потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую. Кинетическая энергия колебаний достигает максимума
|
|
J ω2 |
|
|
W |
= |
0 |
, |
(164) |
|
||||
кин |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где ω0 – угловая скорость вращения в момент прохождения положение равновесия, J – момент инерции баллистического маятника (вращающаяся часть установки) с грузами относительно оси вращения.
В произвольный момент времени полная механическая энергия
65
|
J ω2 |
k α2 |
|
|
|
W = |
|
+ |
|
, |
(165) |
2 |
2 |
||||
где α и ω – соответственно, угол поворота и угловая скорость в произвольный момент времени.
Учитывая закон сохранения энергии, можно записать |
|
|||||
|
J ω2 |
|
k α2 |
|
||
|
0 |
= |
0 |
. |
(166) |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
||||
В струне в результате деформации кручения возникает момент упругих сил относительно
оси вращения, равный |
|
M = −k α. |
(167) |
Знак в формуле (167) означает, что упругий момент сил вращения направлен противоположно направлению угла поворота.
Согласно основному закону динамики вращательного движения |
|
||||
M = J ε, |
(168) |
||||
где ε – угловое ускорение. По определению |
|
|
|
|
|
ε = |
d2 |
α |
. |
(169) |
|
dt |
2 |
||||
|
|
|
|||
Если крутильные колебания – гармонические ( α = α0 sin(Ω0 t + ϕ0 ) , |
Ω0 – циклическая |
||||
частота колебаний), то угловая скорость ω и угловое ускорение ε при повороте маятника также изменяются по гармоническому закону. Легко убедиться что, подставляя выражения для углового ускорения и момента сил в формулу (168) и решая его, получается
Ω02 = |
k |
. |
(170) |
|
|||
|
J |
|
|
Тогда, период крутильных колебаний маятника будет равен |
|
||
T = 2π |
J . |
(171) |
|
|
k |
|
|
Если в мишень попадает пуля 7, выпущенная из стреляющего устройства 8 (рисунок 37,б), то маятник начнет колебаться после попадания пули в мишень. Момент импульса пули
передается маятнику, т.е. переходит в момент импульса маятника |
|
mп v r = J ω0 , |
(172) |
где mп – масса пули, v – скорость пули, r – расстояние от точки попадания пули до оси вращения.
Из выражения (172) определим скорость полета пули
v = |
J ω0 |
. |
(172) |
|
|||
|
mп r |
|
|
Для вычисления скорости полета пули необходимо измерить массу пули mп, расстояние r от точки попадания пули до оси вращения, момент инерции маятника J и угловую скорость ω0.
Угловая скорость ω = |
dα |
= Ω0 α0 cos(Ω0 t + ϕ0 ) . Если |
cos(Ω0 t + ϕ0 ) =1, то угловая |
|||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
скорость будет максимальной |
|
|
2π |
|
|
|||
|
|
ω0 |
= Ω0 α0 |
= |
α0 . |
(173) |
||
|
|
T |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Момент инерции маятника определяется суммой моментов инерции стержня (с осью и
мишенями) Jст и грузов Jгр, т.е. |
|
J=Jст+Jгр. |
(174) |
Для нахождения момента инерции стержня, расположим грузы массой m на расстоянии R1
от оси колебаний. Момент инерции маятника J1 определится формулой |
|
J1 = Jст + 2 m R12 , |
(175) |
66
а период колебаний формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
= 2π |
J |
ст |
+ 2 |
m R 2 |
|
(176) |
|||
|
|
|
|
1 . |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если грузы передвинуть вдоль стержня на расстояние R2 от оси колебаний, то момент |
|||||||||||
инерции маятника J2 станет равным: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а период колебаний |
|
|
|
J2 = Jст + 2 m R22 , |
|
|
(177) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
= 2π |
J |
ст |
+ 2 |
m R 2 |
|
(178) |
|||
|
|
|
|
2 . |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем Jст из возведенного в квадрат отношения выражений (176) и (178) |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 m (R |
2 T2 |
− R 2 |
T2 ) |
|
|
||
J |
ст |
= |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
. |
(179) |
|
|
(T2 |
−T2 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Учитывая найденное значение момента инерции стержня (179) и выражения (172), (173), получим расчетную формулу скорости полета пули
|
4π m α |
0 |
T (R 2 |
− R 2 ) |
|
|
||||
v = |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
. |
(180) |
||
m |
п |
r (T2 |
−T2 ) |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
12.2. Порядок выполнения работы
12.2.1.Получить принадлежности у преподавателя. Приборы и принадлежности: крутильный маятник FРМ-09, пуля.
12.2.2.Установить грузы 3 (рисунок 37) на расстоянии R1 от оси вращения. Записать результат измерения R1 в таблицу 29. Расстояние между рисками на стержне 1 см.
Таблица 29 – Результаты измерений.
№ |
α0,° |
t1, |
T1, |
t2, |
T2, |
v, |
Дополн. |
п/п |
|
с |
с |
с |
с |
м/с |
данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R1=…см |
… |
|
|
|
|
|
|
R2=…см |
5 |
|
|
|
|
|
|
mп= 3,5г |
|
|
|
|
|
|
|
m = 200 г |
|
|
|
|
|
|
|
r = ... см |
12.2.3.Установить маятник в исходное состояние так, чтобы черта мишени 4′ (рисунок 37,б) показывала угол α=0 на угломерной шкале. Для этого необходимо использовать контргайку в верхнем подвесе струны. Поворачиваю струну и закрепляя ее контргайкой, можно добиться установки нулевой отметки.
Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.
12.2.4.Включить установку клавишей “сеть”.
12.2.5.Обнулить счетчик времени кнопкой “сброс”. Выстрелить из стреляющего устройства
изамерить максимальный угол отклонения α0 маятника по круговой шкале.
12.2.6.Замерить время t1 десяти колебаний (n – число периодов высвечивается на лицевой стороне секундомера), причем клавишу “стоп” нажать на цифре 9. Результаты измерений записать в таблицу 29. Добиться успокоения колебаний маятника.
12.2.7.Повторить п.п. 12.2.5-12.2.6 пять раз.
12.2.8.Выключить установку.
12.2.9.Передвинуть грузы 3 (рисунок 37) на расстояние R2 от оси вращения. Записать результат измерения R2 в таблицу 29.
12.2.10.Повторить п.п. 12.2.3-12.2.4. Нажать клавишу “сброс”.
67
12.2.11.Повернуть маятник рукой на угол не более 15°. Замерить время t2 десяти колебаний.
12.2.12.Повторить пункт 12.2.11 пять раз и данные занести в таблицу 29.
12.2.13.Выключить установку. Измерить расстояние r от оси вращения до центра мишени (рисунок 37,а).
12.2.14.Определить систематические погрешности микросекундомера, линейки на стержне
иугловой шкалы. Выбрать коэффициент Стьюдента. Сдать принадлежности преподавателю.
12.3. Обработка результатов измерений
12.3.1.Определить среднее время десяти колебаний t1ср и t2ср. По найденным значениям определить периоды колебаний T1 и T2.
12.3.2.Определить среднее значение угла α0.
12.3.3.Вычислить по формуле (180) скорость пули.
12.3.4.Полученные значения скорости полета пули обработать по методу обработки результатов косвенных измерений.
12.3.5.Сформулировать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе.
12.4. Контрольные вопросы
12.4.1.Цель работы и сущность метода определения скорости полета пули в данной работе.
12.4.2.Какие законы используются для нахождения скорости полета пули?
12.4.3.Каким уравнением описывается колебательное движение маятника?
12.4.4.Как определяется в работе угловая скорость, угловое ускорение?
12.4.5.Что характеризует момент инерции твердого тела, момент импульса?
12.4.6.Как определяется момент инерции маятника в работе?
12.4.7.Получить расчетную формулу (180).
12.4.8.Вывести формулы (163) и (164).
68
13. Лабораторная работа 13. Изучение движения гироскопа
Введение
Гироскоп – быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого (ось симметрии) может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп обладает рядом интересных свойств, наблюдаемых у вращающихся небесных тел, артиллерийских снарядов, детского волчка, роторов турбин, установленных на судах и др. На свойствах гироскопа основаны разнообразные устройства или приборы, широко применяемые в современной технике.
Целью работы является изучение свойств гироскопа и определение момента инерции гироскопа.
13.1. Краткая теория
Гироскоп представляет собой быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого может изменять своё положение в пространстве. Гироскоп обладает цилиндрической симметрией (см. рисунок 38,а).
а) |
б) |
Рисунок 38 – Гироскопический эффект.
Одна из главных осей инерции гироскопа направлена по оси симметрии (ось ОО), две другие – перпендикулярны ей и друг другу (оси АА и ВВ). Все они пересекаются в центре инерции. Главные моменты инерции относительно осей, перпендикулярных оси симметрии, равны между собой, но отличаются от главного момента инерции относительно оси симметрии J1>J2=J3. Гироскоп можно определить как волчок, обладающий большим моментом инерции J1 и вращающийся с достаточно большой скоростью относительно оси цилиндрической симметрии. В простейшем варианте он выполняется в виде массивного диска, насаженного на вал. К гироскопам можно отнести вращающиеся небесные тела, артиллерийские снаряды, роторные турбины, детские волчки и т.д.
В общем случае, если волчок вращается произвольным образом в пространстве, то его момент импульса не совпадает с направлением угловой скорости. В случае же гироскопа угловая скорость ω, с которой он вращается относительно своей оси симметрии (в дальнейшем, оси гироскопа), обычно намного превышает угловою скорость вращения ω′ относительно любой другой оси ω >> ω′, так что практически момент импульса гироскопа
будет равен L = J1ωr и направлен вдоль оси гироскопа.
Поведение гироскопа при воздействии на него внешних сил весьма необычно, хотя, разумеется, полностью объяснимо с точки зрения механики. Рассмотрим особенность в поведении гироскопа, которая называется гироскопическим эффектом. Обратимся к рисунку
38,а.
69