Mec-lab-2006

УДК 531 (076.5)+539.19 (076.5)+536 (076.5)

Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: Учебное пособие по вы- полнению лабораторных работ / С.Ю. Гуревич, Ю.В. Волегов, Е.Л. Шахин, В.Л. Ушаков; Под ред. С.Ю. Гуревича.— Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. — 97 с.

Учебное пособие к лабораторным занятиям по физике предназначено для студентов I курса АК, АС, А, АТ, МТ, МВ, ТВ, С, З, Ком. факультетов. В пособии рассмотрены вопросы теории, приведены описания лабораторных установок, ин- струкции по выполнению лабораторных работ, обработке результатов измерений.

Ил. 45, табл. 35.

Одобрено объединенным научно-методическим советом по физике.

Рецензенты: В.В. Викторов, В.Н. Барановский.

2

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

1.К лабораторным занятиям допускаются студенты, прошедшие инструктаж

по безопасным методам проведения работ и расписавшиеся в журнале по технике безопасности.

2.Перед лабораторным занятием студенты обязаны изучить описание пред- стоящей работы.

3.При проведении работ в лаборатории студенты обязаны соблюдать сле- дующие меры безопасности:

а) не допускать применение неисправных электрических вилок, розеток, ого- ленных проводов для подключения электроприборов;

б) работать на исправных приборах с заземлением; в) приборы и инструменты использовать по назначению; г) подвижные грузы закреплять надежно;

д) не располагать голову в плоскости вращения подвижных частей установки; е) не загромождать проходы портфелями, сумками, стульями.

4.По окончании работы отключить приборы и привести в порядок рабочее

место.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

До занятия

1.Изучить теоретический материал и методические указания к работе по учебнику, конспекту лекций.

2.Приготовить формуляр лабораторного отчета, содержащего:

—оформленную титульную страницу (название работы, фамилию и группу, дату занятия);

—цель работы, используемое оборудование;

—краткое описание метода измерений с расчетными формулами, схе- мой установки;

—таблицы для внесения результатов измерений.

Во время занятия

3.Ответить на вопросы программированного контроля, получить допуск к вы- полнению работы.

4.Провести эксперимент. Результаты измерений записать в таблицы лабора- торного отчета.

5.Проверить и подписать результаты измерений у преподавателя.

6.Провести расчеты, проанализировать результаты и сделать выводы. Офор- мить и сдать отчет.

3

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель занятия: изучить методы оценки погрешностей измерений и получить навыки обработки результатов измерений.

Виды погрешностей измерений

Измерением какой-либо физической величины называют процесс сравнения измеряемой величины с аналогичной, принятой за эталон (единицу измерения).

Произвести абсолютно точные измерения величины в принципе невозможно, всякое измерение содержит погрешность. Абсолютной погрешностью называют

разность между измеренным значением и истинным: D = хизм – хист. Для оценки качества измерений служит относительная погрешность, определяемая отношени- ем абсолютной погрешности к истинному значению:

γ = (хизм–хист) /хист. На практике вместо хист берут среднее арифметическое зна-

чение измеренной величины, т.е. γ = (хизм – áхñ) / áхñ.

Погрешности измерений могут быть обусловлены влиянием различных фак- торов. Часть суммарной погрешности, вызванная действием большого количества факторов, которые непредсказуемо влияют на результат измерения так, что при повторных измерениях результаты изменяются случайным образом, называют случайной погрешностью измерения. Например, при измерении длины полиро-

ванного бруска микрометром результаты повторных измерений могут отличаться из-за разного усилия прижима, теплового расширения, места установки и т. д.

Другая часть суммарной погрешности измерений — систематическая погреш- ность — обусловлена действием постоянных или закономерно изменяющихся факторов. Например, неточность нанесения шкалы или смещение нуля измери- тельного прибора, приближенный вывод или упрощение расчетных формул, не- соответствие условий эксперимента правилам эксплуатации прибора и т.д. Сис- тематические погрешности можно значительно уменьшить или исключить, при- меняя более точные приборы, более совершенный метод измерений, путем введе- ния поправок. Трудность заключается в обнаружении факторов, приводящих к систематической погрешности.

Существует еще один вид погрешности, обусловленной невнимательностью экспериментатора, — грубая погрешность (промах). Промах обнаруживается, ес- ли один-два результата повторных измерений сильно отличаются от других. По- этому для обнаружения промаха должно быть не менее трех измерений. Промах из дальнейшего расчета исключается.

Обработка результатов прямых измерений

Прямые измерения — это измерения, при которых измеряемая величина опре- деляется непосредственно по шкале прибора.

4

Оценка результата

Пусть при одинаковых условиях проведены многократные измерения. Если все результаты одинаковы, то случайная погрешность отсутствует. В этом случае достаточно одного измерения, а истинное значение отличается от измеренного не более чем на величину систематической погрешности.

Пусть результаты измерений различны: х1, х2 , х3 ,…, хn . В силу случайности величины и знака случайной погрешности положительные и отрицательные зна- чения погрешности одинаковой величины равновероятны, и погрешности малой величины более вероятны, чем большой. Поэтому при бесконечно большом числе повторных измерений среднее арифметическое áхñ совпадает с истинным значе-

нием (при отсутствии систематической погрешности) хист=lim áхñ при n → ¥:

На практике число измерений n конечно и среднее арифметическое может служить лишь оценкой результата измерений с некоторой погрешностью

хист » áхñ.

Оценка случайной погрешности δх

1 способ Разность между истинным и средним арифметическим значениями также слу-

чайна и теория вероятности позволяет лишь оценить доверительный интервал — интервал значений, внутри которого находится истинное с некоторой вероятно- стью. А доверительная вероятность Р — это вероятность попадания истинного значения в доверительный интервал. Чем большую вероятность желает гаранти- ровать экспериментатор, тем больше должна быть величина доверительного ин- тервала. Истинное значение может находиться и вне доверительного интервала с вероятностью 1–Р (рис. 1).

Половина ширины доверительного интервала имеет смысл наибольшей разно- сти между средним арифметическим и истинным значением при данной довери-

5

тельной вероятности. В дальнейшем эта величина будет являться оценкой слу- чайной погрешности.

Случайная погрешность зависит, во-первых, от разброса результатов измере- ний. В качестве меры разброса принимают среднеквадратичное отклонение S ре-

68% числа измерений, при n → ¥). Во-вторых, с увеличением числа измерений

1

n

понятна необходимость многократных измерений. Разумное наибольшее число опытов должно быть таким, чтобы случайная погрешность уменьшилась бы до величины систематической погрешности. В-третьих, чем большую доверитель- ную вероятность желает гарантировать экспериментатор, тем больше должен

быть доверительный интервал. Это учитывается коэффициентом Стьюдента tp, который возрастает с увеличением доверительной вероятности, и зависит от числа измерений.

Таким образом, расчетная формула для оценки случайной погрешности при-

где n — число повторных измерений, xi — результат некоторого измерения с но- мером i, áхñ — среднее арифметическое результатов измерений, tp — коэффици- ент Стьюдента, определяемый по табл. 1.

2 способ

Простейшую оценку случайной погрешности выполняют по формуле

где xmax и xmin – максимальное и минимальное значения из ряда полученных

при повторных измерениях.

Интервал, записанный с такой погрешностью, содержит истинное значение с

Эта доверительная вероятность Р зависит от числа измерений n.

Оценка систематической погрешности

При измерении с помощью прибора со шкалой систематическая погрешность состоит из погрешности отсчета и погрешности, обусловленной несовершенством измерительного прибора. Погрешность отсчета может стать незначительной при тщательном измерении. Тогда погрешность определяется по классу точности из-

6

ность оценивается по формуле

x= (δx)2 + (θx)2 .

5.Погрешность представляют числом, содержащим не более двух значащих

цифр.

6.Записать результат измерений в виде

x= á xñ ± x , P = …,

который следует понимать так: истинное значение измеряемой величины нахо- дится в интервале от áх ñ – х до áх ñ + х с вероятностью Р. При записи среднее арифметическое округляют так, чтобы разряд последней цифры совпадал с разря- дом погрешности.

Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях значение измеряемой величины находят по функ- циональной зависимости через другие непосредственно измеряемые величины.

Пусть величина z = f(x, y …) измеряется косвенно через величины x, y …, для которых по результатам прямых измерений определены их средние значения áxñ,áy ñ …, случайные погрешности δx, δy … с одинаковой вероятностью и систе- матические погрешности θx, θ y … По этим данным следует произвести оценку среднего значения áz ñ, случайной δz и систематической θz погрешностей.

Оценка результата измерений

Оценку результата измерений можно произвести двояко. Во-первых, как зна- чение функции z при значении аргументов, равным средним значениям:

ázñ = f (á xñ,á yñ...). (5)

Во-вторых, можно провести для каждого из n измерений расчет значений z1, z2,

z3,… zn, найти среднее арифметическое по формуле (1) и принять его за оценку результата.

Выбирается тот способ, который удобнее.

Оценка систематической погрешности

Между погрешностью измерения величины δz и дифференциалом dz сущест- вует аналогия — и та и другая являются малым приращением функции. Для

функции z = f(x,y…) полный дифференциал

dz = ¶¶fx dx + ¶¶fy dy + ... .

Так как знак погрешностей измерения величин x, y… неизвестен, то систематиче-

ская погрешность оценивается как среднее квадратичное по формуле

8

Для оценки случайной погрешности углового коэффициента, среднее значение

которого из треугольника 123 (рис.3) ákñ = z2 - z1 , также проводят параллельно x2 - x1

экспериментальной прямой две линии так, чтобы большинство точек оказалось внутри (рис.3). Крайние точки 1а–2а, 1б–2б соединяют крест-накрест.

Это экспериментальные прямые, проведенные под максимально и минимально возможными углами.

Их угловые коэффициенты:

Их можно трактовать как наибольшее и наименьшее значения углового коэффи- циента, отличающегося от среднего на 2S. Тогда случайная погрешность анало- гично (7)

Можно еще упростить оценочную формулу, если подставить в (9) выражение (8),

то получим

где zA – zB — расстояние между вспомогательными прямыми.

3 способ. Пользуются аналогией между дифференциалом функции и случай- ной погрешностью так же, как в случае оценки систематической погрешности.

Оценка суммарной погрешности и запись окончательного результата произво- дятся так же, как и при прямых измерениях.

Из предложенных способов оценки случайной погрешности выбирают наибо- лее удобный. Доверительная вероятность графического способа Р = 0,95.

Правила построения и обработки графиков

График — самое наглядное представление результатов эксперимента. Графи- ческое представление облегчает сравнение величин, позволяет легко обнаружить наличие характерных точек (экстремумов, точек перегиба), провести интерполя- цию, экстраполяцию, обнаружить промах.

График выполняется на миллиметровой бумаге. Вычерчиваются координат- ные оси, для независимой переменной чаще используют ось абсцисс, для функции

— ось ординат. На осях наносят масштаб так, чтобы расстояние между деления-

10