Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Методическое пОсобие по дисциплиНе

Дисциплина __ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ___________________________

(наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом)

Укрупненная группа 010000 Физико-математические науки и фундаментальная информатика

Направление

010100 Математика

010200 Математика и компьютерные науки

010600 Механика и математическое моделирование ________________________________________________

Факультет __ Математики и информатики ____________________

Кафедра _____ алгебры и математической логики_______________

Красноярск

2007

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МОДУЛЬ I

ЗАНЯТИЕ 1

Аксиоматика Гильберта и векторная алгебра

Основные определения

Вектор – упорядоченная пара точек А, В. Обозначаем вектор . При этом первую точку А будем называть началом, а вторую В – концом вектора. Длину отрезка АВ, или, что то же самое, расстояние между точками А и В будем называть длиной вектора и обозначать .

Векторы ибудем называть равными, если существует параллельный перенос, отображающийА в С, В в D. При этом будем использовать запись =.

Совокупность всех равных между собой векторов будем называть свободным вектором. Обозначается свободный вектор строчными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: ,и т.д. Можно использовать также запись вида=, =и т.д.

Примечание к определению 3. Аналогичная ситуация возникает при введении рациональных чисел: вначале дается определение рациональной дроби, затем – условие равенства дробей, и наконец, констатируется, что все равные между собой дроби представляют одно и то же рациональное число. Например: число можно представить и как,и, наконец,.

Пусть =и, тогда суммой векторов ибудем называть вектор. Обозначим сумму+или+.

Векторы ибудем называть сонаправленными, если существует параллельный перенос, отображающий лучАВ в луч CD.

Если  – действительное число и – произвольный вектор, то произведением вектора на число  назовем вектор длины , сонаправленный с, если > 0, и противоположно-направленный с , если < 0.

Пусть дано множество точек плоскости. Если l₁ и l₂ - две пересекающиеся прямые и А – точка этой плоскости, то проекцией точки А на прямую l₂ параллельно l₁ считаем точку А', являющуюся пересечением l₂ и прямой, которая проходит через А параллельно l_1.

Если – вектор плоскости, то проекцией вектора на прямую l₂ параллельно l₁ будем называть вектор , где А' и

В' – проекции А и В на l₂ параллельно l₁.

Пусть в пространстве заданы прямая l и плоскость , имеющие одну общую точку. Если А – произвольная точка пространства и l', ' – прямая и плоскость, проходящие через А и параллельные соответственно l и , то пересечения иименуем соответственно проекциейA на параллельноl и проекцией А на l параллельно .

Пусть – вектор пространства, l – прямая и – плоскость, пересекающиеся в точке. Проекцией вектора на плоскость параллельноl назовем вектор , где А', В' – соответствующие проекции точек А и В.

Основные утверждения

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1) каковы бы ни были ,;

2) для любых и;

3) существует вектор такой, что;

4) для любого вектора существует вектортакой, что(векторбудем обозначать через -и называть противоположным вектору).

Операция умножения векторов на число обладает следующими свойствами:

1) 1*=,

2) )=(),

3) ()=+,

4) (+)=+.

Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых. Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции на это же число.

Задача 1 (с решением). Векторы ислужат диагоналями параллелограммаABCD. Выразить через векторы ивекторы, являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение.