Занятие 6 Замена декартовой системы координат

Основные утверждения

Пусть в пространстве задана декартова система координат с началом в точке О и базисом ; вторая же система координат имеет начало в точкеО' и базис . Положим, что координаты точки О' и векторов в первой системе координат будут соответственно, , Если при этом координаты точкиМ в первой системе координат есть , а во второй – , то справедливы формулы:

Задача 46. В пространстве даны два базиса иВекторы второго базиса имеют относительно первого базиса координаты,,соответственно.

1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты во втором базисе.

2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты в первом базисе.

3) Найти координаты векторов во втором базисе.

Задача 47. Координаты каждой точки пространства в системе координатО, выражаются через координатыэтой же точки в системеформулами.

1) Выразить координаты через координаты

2) Найти координаты начала и базисных векторовпервой системы координат во второй системе.

3) Найти координаты начала и базисных вектороввторой системы в первой системе.

Задача 48. Найти координаты точки в системе координат ,в пространстве, если известны ее координатыв системе координат,,,

Задача 49. Дан правильный шестиугольник . Найти координаты точки плоскости в системе координат, если известны ее координатыв системе координат.

Задача 50. На плоскости даны две прямоугольные системы координат и,. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1,3), а векторыполучаются из векторов, соответственно, поворотом на один и тот же уголв направлении кратчайшего поворота отк. Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координатыво второй системе, считая уголравным:

Модуль II занятие 7 Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей

Основные определения

Уравнение назовем общим уравнением линииL на плоскости (поверхности  в пространстве), если точка М(х,у) (M(x,y,z)) в том и только в том случае принадлежит линии L (поверхности ), когда ее координаты удовлетворяют заданному уравнению.

Параметрическими уравнениями линии L на плоскости будем называть систему уравнений

(1)

где и- действительные функции действительной переменнойt такие, что точка М(х,у) принадлежит линии L тогда и только тогда, когда существует t, удовлетворяющее уравнениям (1). Для задания параметрических уравнений линии в пространстве к записанным двум уравнениям необходимо добавить уравнение для третьей координаты .

Параметрическими уравнениями поверхности  в пространстве будем называть систему уравнений

z=(2)

где и– действительные функции двух действительных переменных и и v такие, что точка M(x,y,z) принадлежит поверхности  тогда и только тогда, когда существуют u и v, удовлетворяющие уравнениям (2).

Поверхность S называется поверхностью вращения с осью d , если она составлена из окружностей, центры которых лежат на прямой d , и лежат в плоскости , перпендикулярной d .

Поверхность, состоящую из некоторого семейства параллельных прямых, будем называть цилинд­ром, прямые из этого семейства – образующими цилиндра, а линию пересечения этой поверх­ности и плоскости, не параллельной образующим, назовем направляющей этого цилиндра.

Поверхность, состоящую из прямых, проходящих через фиксированную ее точку, назовем конусом.

Линию L (поверхность ) назовем алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат ее уравнение является алгебраическим, т.е. имеет вид

где , – действительные, a, – целые неотрицательные числа.

При этом будем называть порядком линии L (поверхности ).

Основные утверждения

Уравнение F(x,y) = 0 задает в пространстве цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Если функция F(x,y,z) удовлетворяет условию (является однородной функцией степени n), то уравнение F(x,y,z) = 0 задает коническую поверхность с вершиной в начале координат.

Пусть в плоскости (x,z) кривая задана уравнением . Тогда уравнение поверхности, полученной вращением этой кривой вокруг осиOZ, есть .

Если в некоторой декартовой системе координат линия (поверхность) задается алгебраическим уравнением порядка п, то в любой другой декартовой системе ко­ординат ее уравнение будет алгебраическим порядка n.

Задача 51. Даны две точки и, расстояние между которыми равно. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до точекиравнапри условии, что.

Задача 52. Найти множество точек, для которых квадрат расстояния до точки пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых в раза больше произведения их расстояний до этих прямых.

Задача 53. Вокруг точки вращается луч с постоянной угловой скоростью. По этому лучу движется точкас постоянной скоростью. Составить уравнение линии, описываемой точкой, в полярных координатах, если в начальный момент движения луч совпадает с положительным направлением полярной оси, а точка– с началом координат.

Задача 54. Написать уравнения:

1) плоскостей координат ;

2)плоскостей, проходящих через точку и параллельных плоскостям координат,,;

3) плоскостей, делящих пополам двугранные углы между координатными плоскостями иии.

Задача 55. Составить уравнение круглого конуса, основанием которого служит окружность , а вершина находится в точке

Задача 56. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы :

1) вокруг ее действительной оси; 2) вокруг ее мнимой оси.

Задача 57. Центр окружности радиуса, плоскость которой перпендикулярна к оси, перемещается по осис постоянной скоростью. По этой подвижной окружности равномерно перемещается точкатак, что лучвращается с постоянной скоростью. Составить параметрические уравнения линии, описываемой точкой, при условии, что в начальный момент движения точкарасположена на оси абсцисс.