Mec-lab-2006

Центр масс двух маятников с добавочным грузом находится от оси вращения на расстоянии

Если добавочный груз отсутствует, то это расстояние

l12 = m1l1 + m2l2 . m1 + m2

Угол отклонения маятника от положения равновесия определяется по шкале Ш. В положении равновесия маятники располагаются так, чтобы их визиры находи- лись против нулевой отметки шкалы Ш. Это достигается с помощью винтов В в основании установки.

Если отклонить один из маятников, и закрепить в отклоненном положении, а второй отклонить и отпустить, то он будет совершать колебательное движение около положения равновесия.

Если же один из маятников отклонить из положения равновесия на угол α (второй при этом оставить в положении равновесия) и отпустить, то после столк- новения маятников они начнут двигаться как одно целое и отклонятся от положе- ния равновесия на угол β.

Описание метода измерений

Два физических маятника, имеющие общую горизонтальную ось вращения

образуют замкнутую систему в момент прохождения ими положения равновесия (в этом положении моменты сил тяжести равны нулю, а других моментов относи- тельно оси вращения просто нет). Следовательно, при прохождении положения равновесия для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса:

I1ω1 + I2ω2 = I1ω1′ + I2ω2′ ,

где I1 и I2 – моменты инерции маятников относительно оси вращения;

ω1 и ω2 – их угловые скорости в положении равновесия до их соударения;

ω1′ и ω2′ – их угловые скорости после взаимодействия.

mgl

где l – расстояние от оси вращения до центра масс маятника. 51

где l12 , l12Г − расстояние от оси до центра масс системы из двух маятников без дополнительного груза и с грузом;

Т12 , Т12 Г – период колебания системы из двух маятников (без груза

ис грузом).

При отклонении маятника от положения равновесия на угол α центр масс

где Iω2 2 – энергия колеблющегося маятника при прохождении положения

равновесия,

mgh – энергия маятника, отклоненного на угол α (при этом его центр масс

поднят на высоту h).

В наших опытах первоначально маятник 1 отклоняется от положения равно- весия на угол α и, следовательно, его угловая скорость при прохождении поло- жения равновесия (т.е. перед взаимодействием (столкновением) с маятником В)):

52

После столкновения система из двух маятников отклоняется на угол β, и сле- довательно, их начальная угловая скорость в положении равновесия:

Выполнение работы

1.С помощью винтов В (рис. 1) установить маятники в свободном положе- нии на нулевую отметку шкалы.

2.Измерить расстояние l1, l2 и lГ и записать их значение в табл. 1. Записать также значения m1, m2 и mГ.

3.Рассчитать расстояние от оси вращения до центра масс маятников l1Г, l12 и

l12Г.

4.Отвести в сторону маятник 2, закрепить его. Определить время десяти ко-

лебаний t1 маятника 1 и время 10 колебаний маятника 1 с добавочным грузом t1Г. Определить время 10 колебаний системы, состоящей из двух маятников, без до- полнительного груза t12 и с грузом t12Г. Полученные значения занести в табл. 1.

5.Рассчитать периоды колебаний Т1, Т1Г, Т12, Т12Г и моменты инерции маят-

ников I1, I1Г, I12, I12Г.

6. Отклонить маятник 1 (без груза) на угол α1 (по указанию преподавателя) и записать его значение в табл. 1. Маятник 2 при этом находится в положении рав- новесия. Опустить маятник 1 и отметить угол β, на который отклонится система из двух маятников после взаимодействия. Опыт повторить не менее 5 раз и рас- считать среднее значение угла β .

7.Повторить опыт (п. 6), прикрепив к маятнику 1 добавочный груз Г.

8.Рассчитать угловые скорости маятников до взаимодействия ω1 и после

ω12 , ω1Г и ω12Г .

53

Обработка результатов

1. Рассчитать моменты импульсов и энергию маятников в первом и во втором опытах. Результаты занести в табл. 2.

Гω1Г I12Гω12Г γ

Сгрузом

2.Рассчитать энергию маятников до и после взаимодействия. Рассчитать ко-

эффициент восстановления кинетической энергии Отклонение

k= Еконеч

Енач

для первого и второго случаев и результаты занести в табл. 3.

Таблица 3

3. Оценить погрешности измерений.

В качестве систематической погрешности в данных опытах следует взять приборную погрешность, равную половине цены деления измерительного прибо- ра.

Случайная погрешность определяется по разбросу выборки: 55

δх = (хmax − xmin ),

2

где хmax и хmin – максимальное и минимальное значения измеряемой величины в серии из n повторных измерений. Этой границе доверительного интервала соот-

ветствует доверительная вероятность

= - æ 1 ön−1 P 1 ç ÷ .

è 2 ø

3.1.В табл. 4 занести средние значения прямых измерений, выполненных в одном из упражнений и значения погрешностей этих величин – систематической

ислучайной.

3.2.Для каждой величины выбрать наибольшую из погрешностей и рассчи-

тать наибольшую относительную погрешность γ измерения каждой величины. Таблица 4

3.3. Погрешность измерения величины момента импульса и энергии в первом приближении можно считать равной (во всяком случае не выше) относительной погрешности менее точно измеренной величины (в табл.4). С учетом этого сде-

лать вывод о выполнении законов сохранения импульса и энергии в проведенных опытах.

56

РАБОТА № 9

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы, явление резонанса. Определить коэффициент затухания собственных колебаний.

Оборудование: маятник, звуковой генератор.

Описание метода

Если маятник вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет со- вершать колебания. Собственные колебания всегда являются затухающими. Что- бы колебания маятника стали незатухающими, необходимо пополнять энергию колебаний. Одним из способов является воздействие внешней периодической си- лой F = F0 cosω t, под действием которой маятник начинает совершать вынуж- денные колебания. Тогда уравнение движения, второй закон Ньютона, с учетом действия внутренних сил упругости Fупр = – k x и силы сопротивления, которую

= −r dxdt , примет вид

где β = 2rm — коэффициент затухания собственных колебаний, ωo = mk —

циклическая частота свободных колебаний.

Как показывает опыт, вначале, после приложения внешней периодической си- лы, маятник совершает сложное движение, которое является суперпозицией соб- ственных и вынужденных колебаний. Со временем собственные колебания зату- хают, и маятник будет совершать только вынужденные колебания с частотой внешней силы. То есть решение уравнения (2) следует искать в виде гармониче-

ской функции

Подстановкой можно убедиться, что функция (3) будет решением, если ам-

т.е. зависит от соотношения между частотами ω и ω0, а также от коэффициента затухания β.

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы представлен на рис. (1). Как видно, при некоторой частоте амплитуда коле- баний сильно возрастает, достигая максимума тем более высокого, чем меньше сила сопротивления. Максимум амплитуды соответствует частоте

ω рез = ωо2 − 2β 2 . Это явление называют резонансом. Амплитуда колебаний при резонансе, если подставить в (4) ω рез ≈ ωо :

и тем больше, чем меньше коэффициент затухания β0.

При малой частоте внешней силы амплитуда колебаний уменьшается и стре-

мится к смещению маятника из положения равновесия под действием постоянной силы:

= Fko .

Форма резонансной кривой зависит от величины коэффициента затухания: резо- нансная кривая тем уже, чем меньше ко- эффициент затухания. Если обозначить частоты, при которых амплитуды колеба-

или

(ω02 − ω 2 )= 4β 2ω 2 .

Это биквадратное уравнение эквивалентно двум квадратным уравнениям:

Решая их, находим:

ω1 = −β ± β 2 + ω02 ,

ω2 = β ± β 2 + ω02 .

Тогда

58

Описание установки

Установка состоит из маятника и звукового генератора. Маятник представля- ет собой грузик, закрепленный на упругой стальной пластинке (рис. 2). Внешняя периодическая сила создается при взаимодействии постоянного магнита на пла- стинке с электромагнитом, по которому протекает переменный ток от звукового генератора. Частота колебаний определяется по индикаторам генератора и уста- навливается поворотом переключателей. Амплитуду колебаний определяют по шкале.

Выполнение работы

1. Отвести маятник от положения равновесия и отпустить. Маятник начнет совершать колебания. Оценить порядок частоты собственных колебаний. Для ис- пользуемых установок — это несколько колебаний в секунду.

2.Включить звуковой генератор. С помощью переключателя диапазонов “х1“

ипереключателей частоты установить небольшую частоту, меньше частоты соб- ственных колебаний. После установления вынужденных колебаний измерить ам- плитуду колебаний.

Повторить опыт 8–10 раз, изменяя частоту от наименьшей до частоты в 2–3 раза выше частоты собственных колебаний через 1…2 Гц.

3.Оценить по измерениям диапазон частот вблизи резонанса и повторить не менее 5 раз измерения амплитуды при изменении частоты генератора в этом диа- пазоне через 0,1 Гц.

Оценить систематическую погрешность установки частоты и измерения ам- плитуды. Результаты измерений записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении.

Рис. 2

59

Таблица

n

Обработка результатов

1. Построить график зависимости амплитуды колебаний от частоты генера- тора (см. с.11).

2. Определить частоты n1 и n2 (рис. 1), при которых амплитуды колебаний меньше максимальной в 2 раз.

3.Определить коэффициент затухания. При w = 2pn формула (6) примет вид

áβ эксп ñ = π (ν 2 -ν 1 ).

4.Оценить систематическую погрешность измерения коэффициента затухания

θβ = 2θν .

5. Измерить по графику значение резонансной частоты колебательной систе-

мы wрез.

6. Поскольку точность измерения wрез определяется графиком, то принять q wрез равной цене малого деления на графике (цена 1 мм на графике).

7. Записать результат: b = ábэкспñ ± qb, wрез = wрез эксп ± q wрез. 8. Сделать выводы.

60