Mec-lab-2006

ми, отмеченными на расстоянии 10 мм (20 мм) друг от друга, составляло 1,2,5,10 единиц измеряемой величины. В конце оси указывают откладываемую величину и ее единицу измерения, а также порядок масштаба (10 ± К, где k — целое число). Типичной ошибкой при построении графиков является нанесение эксперимен- тальных значений на оси координат, что затрудняет работу с графиком.

Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист. Предпочти- тельный размер графика не менее 100 см2. Начало отсчета необязательно начи- нать с нуля; иногда удобнее выбрать округленное число, близкое к наименьшему результату, и таким образом увеличить масштаб.

Точки на график нужно наносить тщательно и точно, обводя их каким-либо знаком (рис. 4): o,x,□ и т.д.

По нанесенным на график точкам проводится плавная линия. При этом

нужно руководствоваться следующими правилами:

а) чем больше изгибов и неровно- стей имеет линия, тем она менее веро- ятна;

б) сумма отрезков отклонений точек

от линии в одну сторону должна быть равна сумме отрезков отклонений точек от этой же линии в другую сторону;

в) по возможности не должно быть очень больших отклонений точек от линии; лучше иметь 2–3 небольших отклоне- ния, чем одно большое. На графике пишут заголовок, содержащий точное и крат- кое описание того, что изображено.

Если зависимость известна, то проводят теоретическую линию.

Правила вычислений и запись результата

При проведении расчетов или измерений необходимо ограничиться разумной точностью. Результат записать так, чтобы значащие цифры, стоящие перед по- следней, были достоверны, т.е. разряд последней цифры был равен разряду по- грешности измерений.

При округлении результата следует пользоваться следующими правилами. Ес- ли округляемая цифра меньше 5, то ее просто отбрасывают; если больше 5, то к последней неотбрасываемой цифре прибавляют единицу; если равна 5 и за ней нет значащих цифр, то округляют до ближайшего четного числа.

При записи значения больших или малых по порядку величин общепринято

использовать множитель 10 ± k , где k — целое число. Пример. Вычисление момента инерции тела по формуле

11

в которой значения величин m = 1,05 кг, r = 11,3 мм, g = 9,81 м/с2, h0 = 50,0 см, h = 38 см, t = 6,42 с.

Допустим, что суммарная абсолютная погрешность измерений включает в се- бя случайную и систематическую погрешности и равна 1,2×10–2 кг×м2. Случайная погрешность определена с доверительной вероятностью Р = 0,95. Результат запи- сывают в виде доверительного интервала, вынося за скобку множитель 10±n, ко- торый показывает порядок измеряемой величины. При этом среднее значение ве- личины округляют так, чтобы последние цифры величины и погрешности были в одном разряде. Так, в нашем примере

I = ( 6,2 ± 1,2 )10−2 кг×м2.

12

ВВОДНАЯ РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Цель работы: получить навыки в обработке результатов измерений, оценке погрешностей, определить ускорение свободного падения.

Оборудование: маятник, секундомер, линейка.

Описание метода

Математический маятник представляет собой точечное тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити. Его период колебаний определяется формулой

Гюйгенса

где l — длина нити, g — ускорение свободного падения.

Формулу (1) можно использовать для экспериментального определения уско- рения свободного падения по результатам прямых измерений расстояния l и пе- риода колебаний Т для шарика на нити:

Описание установки

Маятник представляет собой шарик, подвешенный на нити к кронштейну на стойке. На стойке установлен фотоэлемент. На основании стойки расположен электронный секундомер. Период колебаний рекомендуется определять, для по- вышения надежности и точности, по времени 10 колебаний Т = t /10. Для этого отвести шарик на небольшой угол, в пределах 50 и отпустить. При нажатии кноп- ки “Сброс“ электронного секундомера, начинается отсчет времени и числа коле- баний. В момент, когда происходит десятое колебание, а на табло еще светится цифра 9, нажать кнопку “Стоп“. Тогда после окончания десятого колебания се- кундомер остановит счет.

Длину нити можно изменять, наматывая ее на барабанчик. Расстояния от точ- ки подвеса до центра шарика можно измерить по шкале на стойке или линейкой.

Выполнение работы

1. Включить секундомер. Установить некоторую длину нити. Подвести фото- элемент так, чтобы риски на фотоэлементе или центр луча совпали с риской цен- тра шарика. Измерить расстояние от точки подвеса нити, где она выходит из кронштейна, до центра шарика по шкале на стойке. Оценить систематическую

13

погрешность измерения как точность установки центра луча на центр шарика. Ре- зультаты записать в таблицу.

2. Отклонить шарик от положения равновесия на небольшой угол и отпус- тить. Проследить, чтобы шарик качался

перпендикулярно лучу и не задевал за фотоэлемент. Измерить период колеба- ний по времени 10 колебаний Т=t / 10.

Оценить погрешность измерения q Т = = q t /10, где q t — единица последнего разряда табло секундомера.

Повторить опыт не менее 5 раз, из- меняя длину нити от наибольшей, по шкале стойки, до наименьшей, равной примерно 10 диаметрам шарика (чтобы маятник еще можно было считать мате- матическим). Результаты записать в таблицулицу. .

Обработка результатов измерений

1.Для каждого опыта рассчитать по формуле (2) ускорение свободного паде- ния. Принять p = 3,141. Результат округлить до трех значащих цифр и записать в таблицу.

2.Определить среднее значение ускорения свободного падения с точностью до трех значащих цифр, ágñ = 9,81 м/с2.

3.Получить формулы для оценки систематической погрешности, используя аналогию дифференциала функции (2) dg и погрешности q g. Вначале формулу (2)

4. Оценить систематическую погрешность q g, приняв q p = 0,001 как погреш- ность округления и q Т = 0,0001 с. Тогда относительная погрешность измерения расстояния q l/l оказывается на порядок выше, чем q p / p и q Т/Т, которыми мож-

но пренебречь. В результате получим qg = ágñ θll = 9,38681 ×1 = 0,0255 м/с2. Округля- ем до одной значащей цифры: q g = 0,03 м/с2.

5. Оценим случайную погрешность измерения ускорения свободного падения. Ее можно определить методом сведения к прямым измерениям:

Для удобства оценки суммы å(gi – ágñ)2 расчеты сведены в таблицу. Сначала

находят разности между каждым измеренным значением ускорения и средним (gi – ágñ). Причем их сумма должна быть близка к нулю. Затем находят квадраты разностей (gi – ágñ)2. Приняв значение коэффициента Стьюдента из табл. 1 (с. 7) при пяти измерениях и доверительной вероятности 0,9 равным 2,1, получим:

dg = 2,1 390×10−4 = 9,3×10−2 = 0,09 м/с2.

5×4

6. В суммарной погрешности Dg = (dg)2 + (q g)2 систематическая погреш-

ность в три раза меньше случайной (а ее квадрат — в девять раз) и ей можно пре- небречь. В итоге Dg = 0,09 м/с2.

7. Сделать выводы: ознакомились с методами обработки результатов измере- ний, определили ускорение свободного падения g = 9,81 ± 0,09 м/с2, Р = 0,90. Сле- довательно, истинное значение ускорения находится внутри доверительного ин- тервала от 9,72 м/с2 до 9,90 м/с2 с доверительной вероятностью 90%. Это соответ- ствует ускорению 9,80 м/с2 для Челябинска. Для уменьшения случайной погреш- ности следует увеличить число измерений.

15

МЕХАНИКА

РАБОТА № 1

ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ УДАРА ТЕЛ

Цель работы: проверить выполнение закона сохранения импульса при ударе тел, определить коэффициент восстановления энергии при упругом и неупругом ударах.

Оборудование: баллистический маятник, весы.

Описание метода

Удар — это процесс кратковременного взаимодействия тел, при котором про- исходит значительное изменение скоростей тел, сравнимое с их скоростями до

удара. Согласно второму закону Ньютона (mV )= F t вследствие кратковре-

менности удара ( t → 0) силы взаимодействия могут быть очень велики. Поэтому на время удара можно пренебречь внешними силами по сравнению с внутренни- ми ударными силами и считать систему соударяющихся тел замкнутой. В замкну- той системе тел выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс тел со временем не изменяется:

где Vi и Ui — скорости тел до и после взаимодействия.

Различают два предельных вида, две идеализации реального удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

При абсолютно упругом ударе тела в первой фазе упруго деформируются. При этом часть кинетической энергии превращается в потенциальную энергию упру- гой деформации. Затем во второй фазе тела под действием упругих сил расходят- ся, форма тел восстанавливается, и потенциальная энергия деформации тел пол- ностью превращается обратно в кинетическую. В результате кинетическая энер- гия тел до и после удара одинакова. Таким образом, механическая энергия в про- цессе абсолютно упругого удара сохраняется.

При абсолютно неупругом ударе тела деформируются неупруго, пластически. Тела после удара движутся совместно, их скорости одинаковы и это является при- знаком абсолютно неупругого удара. Часть кинетической энергии частично пре- вращается в работу неупругого пластического деформирования тел, во внутрен- нюю энергию. Поэтому механическая энергия при неупругом ударе не сохраняет- ся, происходит ее диссипация (рассеяние).

Диссипацию механической энергии при реальном ударе характеризуют коэф- фициентом восстановления энергии k, который определяется как отношение сум- марной кинетической энергии тел после удара к их энергии до удара:

16

Величина коэффициента восстановления энергии зависит от упругих свойств соударяющихся тел, их скоростей и масс. Для абсолютно упругого удара, при ко- тором механическая энергия сохраняется, k = 1. В других реальных случаях k < 1.

Рассмотрим прямой, центральный удар двух шаров, при котором скорости шаров перед ударом направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Центры масс лежат на линии удара, т.е. на нормали к поверхности шаров в точке соприкосновения.

До удара После удара До удара После удара Схема соударения шаров

Рис. 1

Пусть правый шар массой m1 со скоростью V1 налетает на покоящийся левый шар массой m2, V2 = 0. Запишем закон сохранения импульса для упругого и неуп-

Здесь U1 и U2 — скорости правого и левого шаров после упругого удара, U12

—скорость шаров, движущихся совместно после неупругого удара.

Для проверки выполнения закона сохранения импульса по уравнениям (2) и

(3) определим скорости шаров через легко измеряемые углы отклонения нитей, от положения равновесия. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то при движе- нии, например, правого шара, висящего на нити длиной l, по закону сохранения

механической энергии

Высота падения шара h1 = l(1 – cosb1). Для малых углов отклонения cosb1 = = 1 – b12/2 и h= 2l b12 . Следовательно, скорость шара в момент перед ударом

V1 = gl b1 пропорциональна углу отклонения его от положения равновесия.

Аналогично можно определить U1 = glg 1, U2 = glg 2 , U12 = glg 12 .

Подставив формулы для скоростей в уравнение закона сохранения импульса

(2) и (3), получим уравнения, которые можно проверить на опыте и сделать выво-

Для получения формулы коэффициента восстановления энергии при ударе подставим сначала формулы для скоростей в выражения кинетической энергии. Например,

E1 = m1V12 = gl m12 b1,

2 2

а затем выражения для кинетической энергии в формулы коэффициентов восста- новления энергии для упругого и неупругого ударов:

В уравнениях (5) – (8) b1 — угол отклонения правого шара перед ударом, g1 и g2 — углы отклонения правого и левого шаров после упругого удара, g12 — угол отклонения обоих шаров после неупругого удара (рис. 1).

Теоретическое значение коэффициентов восстановления энергии для упругого

удара k = 1, а для неупругого при U12 = m1V1 m1 + m2

Получим формулу для оценки случайной погрешности среднего значения коэф- фициента восстановления энергии, например, для неупругого удара. Для этого вначале уравнение (8) прологарифмируем, а затем продифференцируем:

lnákнеупрñ = ln(m1 + m2) + 2lng12 – lnm1 – 2lnb1,

18

(m1, m2, β1 – величины постоянные).

Заменим знак дифференциала на знак погрешности:

Описание установки

Баллистический маятник представляет собой два шара, подвешенных на нитях к кронштейну, и шкалу, по которой измеряются углы отклонения шаров. Для пра-

вого шара углы отклонения отсчитываются по правой части шкалы и считаются положительными, а для левого шара — по левой части шкалы. Для удержания правого шара перед ударом в отклоненном положении на шкале установлен элек- тромагнит, который включается при нажатии на кнопку. На левом шаре приклеен кусочек пластилина. Для осуществления неупругого удара левый шар следует подвесить пластилином к точке удара, а для упругого удара — отвернуть. Цен-

тровка шаров производится перемещением нити в узле подвеса или изменением длины нитей.

Выполнение работы

1.Определить взвешиванием на весах массы шаров. Оценить систематиче- скую погрешность взвешивания. Результаты записать в табл. 1. Форма отчета приведена в приложении.

2.Произвести пробный удар. Для этого отвести правый шар к магниту и от- пустить. Если шары движутся не параллельно плоскости шкалы, произвести цен- тровку шаров.

3.Произвести серию опытов по упругому соударению шаров. Для этого левый шар отвернуть пластилином от точки удара. Отвести правый шар к магниту и

включить магнит. Измерить угол отклонения правого шара β1 и выключить маг- нит. После первого удара измерить углы отклонения левого γ2 и правого γ1 шаров. Типичной ошибкой является измерение угла γ2 для правого шара после того, как его вторично ударит левый шар.

Если правый шар после удара отклоняется в левую часть шкалы, то при изме- рении γ1 считать отрицательным. В этом случае угол измерять после отклонения шара в правую часть шкалы. Опыт провести 5 – 8 раз при одном значении β1.

Оценить погрешность измерения углов. Результаты измерений углов записать в табл. 1.

19

4. Произвести серию опытов по неупругому удару шаров. Для этого левый шар повернуть пластилином к точке удара. Отвести правый шар к магниту на тот же угол b1 и произвести удар. Угол отклонения шаров в их совместном движении измерять по отклонению левого шара по левой шкале. Опыт повторить 5 – 8 раз. Результаты записать в табл. 1.

Обработка результатов

1.Вычислить среднее значение углов отклонения шаров после удара ág1ñ, ág2ñ, ág12ñ и перевести в систему СИ. Записать в табл. 1.

2.Проверить выполнение закона сохранения импульса при упругом и неупру-

гом ударах. Для этого по углу отклонения b1 определить левую часть равенств (5) и (6), а по средним значениям углов отклонения шаров после удара — правую. Ре- зультаты записать в табл. 2. Убедиться в приближенном равенстве левых и пра- вых частей уравнений.

3. Определить средние значения коэффициентов восстановления энергии для упругого и неупругого ударов по формулам (7) и (8), подставив в них средние значения углов отклонения шаров после удара. Сравнить с теоретическим значе-

20