Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти

а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь, ограниченную петлей кривой ,.

7. Доказать, что длина дуги эллипсаравна длине одной волны синусоиды , где .

8. Фигура, ограниченная линией и ее асимптотой, вращается вокруг оси ординат. Найти объем полученного тела.

9. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током в течение периода Т.

ОТВЕТЫ. Часть 1. 1. а) да; б) нет; в) нет. 2..3. а); б). 4.,.

5. а)б)в)ln^–12e–ln^–13eг) 0,5ln3 д)a⁴π/8 е)ж)з)ω²(π³–6π) 6.7.а) расходится б) 2 Часть 2. 1. а) 2,25 б)

2. а) б)3.8π/3 4.5.gγπRH²

6..

Вопросы к защите

1. Определение интегральной суммы для заданной функции на данном интервале, ее геометрическая интерпретация

2. Определение определенного интеграла, его геометрическая интерпретация.

3. Постройте фигуру, площадь которой численно равна .

4. Задачи о площади криволинейной трапеции и о массе прямого тонкого стержня с переменной линейной плотностью, приводящие к понятию определенного интеграла, их формулировка и решение.

5. Теорема существования определенного интеграла, необходимое условие интегрируемости функции.

6. Свойства определенного интеграла: касающиеся отрезка интегрирования, свойств или характера функции, служащие для оценки интеграла ; сравнить со свойствами неопределенного интеграла. Примеры применения этих свойств.

7. Не вычисляя, сравните интегралы: и,и,и .

8. Определить знаки интегралов, не вычисляя их: ,.

9. Оцените интеграл

10. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле, сходство и отличие от соответствующих методов в неопределенном интеграле. Можно ли интеграл вычислить с помощью подстановки х = cost ?

11. Сформулируйте и докажите теорему о среднем в определенном интеграле.

12. Сила переменного тока меняется по закону , гдеТ – период. Найти среднее значение силы тока за полупериод.

13. С помощь метода замены переменных в определенном интеграле доказать свойства интегралов от четных, нечетных, периодических функций, а также равенства

14. Теорема Барроу, ее использование для вывода формулы Ньютона-Лейбница. Что выражает эта формула, для чего она служит. Всегда ли может быть использована?

15. Несобственные интегралы: с бесконечными пределами и от неограниченной функции – их определение, сходимость, признаки сходимости, геометрическая интерпретация.

16. Приложения определенного интеграла к решению задач о вычислении (с выводом формул): площади криволинейной трапеции, криволинейного сектора, объема тел вращения, длины дуги, работы силы, давления на погруженную в жидкость пластину, моментов инерции тела, статических моментов и т .п.

17. Известно, что f(x) – непрерывная на [a, b] функция и . Следует ли отсюда, что f(x)  0 на [a, b]? Ответ обоснуйте.

18. Существуют ли площади неограниченных фигур, изображенных на рисунках?

2

9

19. Найти ошибку в вычислении:

, но интеграл от строго положительной функции не может равняться 0!

20. Вычислить:

21. Доказать: а), б)

22. Найти: а) Ф(х), если ,а > 0; б) и, если, 0 ;

в).

23. Вычислить.