Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями и найти ее площадь

а) у = – х², х + у + 2 = 0; б) r = a sin , a > 0.

2. а) Найти периметр фигуры, ограниченной линиями у² = х³, у = ,у = 0.

б) Найти длину дуги кривой между точками ее пересечения с осью ОХ.

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями у = х², х = у².

4. Скорость прямолинейного движения тела изменяется по формуле v(t) = 1 + sin 2t м/с. Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

5. Найти момент инерции относительно оси ОХ площади треугольника, ограниченного линиями х = 0, у = 0, х + у = а.

6. Электрический заряд е₀, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (b, 0). Определить работу силы отталкивания F, если известно, F = , гдеr – расстояние между зарядами.

Дополнительные задачи.

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти

а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,у = |x + 1| –2.

7. Найти длину кривой, заданной параметрически .

8. Найти объем тора, образованного вращением вокруг оси ОУ круга (х – а)² + у² = с², а  с.

9. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг начала координат со скоростью v = v₀cost. Найти закон колебания точки, если при t = 0 она имела абсциссу х = 0. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости точки за период колебания?

Ответы.Часть 1. 1.а) нет, б) нет, в) да. 2. 2. 3. а); б)

4.,.

5. а)1,75; б) 9,75, в) г)ln2+3π/4; д), е); ж) -2/9; з)(2е³+1)/9.

6. π²/12+7π/36+0,5 7. а) расходится; б)ln(π./2).

Часть 2. 1. а) 4,5; б) πа²/4. 2. а); б). 3.3π/10. 4. 3π/4+0,5. 5. ρа⁴/12.

6. е_ое(а^–1–b^–1).

Вариант 6 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку:

а) , б) , в)

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если g(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) , б), в); г) ;

д) ; е); ж); з),kZ.

6. Вычислить , если f(x) =.

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) ,х = 0, х = 2, y = 0 б) ,.

2. а) Найти длину дуги полукубической параболы , отсекаемой прямойх=2р; б) Найти длину одной арки циклоиды .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями и осьюOY.

4. Скорость точки изменяется по закону м/с. Каково наибольшее удаление точки от начала движения?

5. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой 70 м, нижнее 50 м, высота 20 м.

6. Найти работу, затраченную на выкачивание воды из полушара радиуса R м.