Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , у = 0, у = 5 –х; б) вне r = a, а > 0.

2. а) Найти длину дуги кривой у = е^х между точками (0, 1) и (1, е). Указание: в качестве независимой переменной взятьу. б) Найти длину дуги кардиоиды .

3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями у = tgx, y = ctgx, x = .

4. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v₀, с учетом сопротивления воздуха дается формулой , гдеt – протекшее время, g – ускорение свободного падения, С – постоянная. Найти высоту поднятия тела.

5. Вычислить силу давления жидкости с плотностью  на вертикальный эллипс с осями 2а и 2b, центр которого погружен в жидкость на уровень h (h  b), причем большая ось 2а эллипса параллельна поверхности жидкости.

6. Тяжелая цепь длиной 100 м поднимается, навиваясь на ворот. Найдите работу силы тяжести при поднятии цепи, пренебрегая размерами ворота, если погонный метр цепи весит 40 кг.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б).

4. Исследовать сходимость интеграла.

5. Вычислить .

6. Найти площадь петли декартова листа , 0  t < +.

7. Доказать, что дуги линий и, соответствующие одному и тому же интервалу изменения параметраt, имеют равные длины.

8. /4б/ Фигура, ограниченная осью ОХ и одной аркой циклоиды х = а(t – sint), y = a(1 – cost), вращается вокруг оси ОУ. Найти объем тела вращения.

9. Найти массу стержня длины 100 см с переменной плотностью (х)=.

ОТВЕТЫ. Часть 1. 1. а) нет; б) да; в) нет. 2.. 0 3. а) ; б). 4.,. 5. а)б) 0 в) 0,25 г)д)(е^–1–1)/3 е)ln2 ж)з)6.7.а) расходится б) 1–ln2 Часть 2. 1. а) 32/3 б)2. а)б)6а3. 4.5.аbhgγ

6. –200000gкг.м.

Вариант 10 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку:

а) g(x) = (x+4)cos x, , б), в)у(х) = х² + 3х, (–; 1]

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если f(х) - четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б) , в) , г) ,

д), е), ж) , з) .

6. Вычислить , если .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) б) , r = a, .

2. а) Найти периметр фигуры, ограниченной линиями: Указание: в качестве независимой переменной взятьу.

б) Найти длину дуги трактрисы: от точки (0; а) до точки (b; с).

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями (x, y  0) и y = 3.

4. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяжести ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса растет по закону , найти скорость ракеты в момент времениt₁, если ее начальная скорость равна нулю.

5. Найти силу давления жидкости с плотностью , заполняющей круговой цилиндр, на его боковые стенки, если радиус основания цилиндра R, высота Н.

6. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна эта работа, если тело удаляется на бесконечность? (Сила, действующая на тело массойm, равна, гдеr- расстояние от центра Земли; М - масса Земли,– гравитационная постоянная).