Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б).

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательной к графику функции в точке (0;2).

7. Найти длину кардиоиды .

8. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями , x =1, y =0, вращается вокруг оси ОХ. Найти объем полученного тела.

9. Найти моменты инерции эллипса относительно обеих его осей.

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б)нет; в) да. 2. 0. 3. а)>; б) )<.

4.,. 5. а); б); в) ; г); д) 3(12+4ln3); е); ж) ; з) .

6. +. 7. а) расходится; б) . Часть 2: 1. а)аln3. б) 2а². 2. а); б) Т²/2.

3. 2π/3. 4. 5.Р_а)>Р_б). 6. 37,5 дж

Вариант 3 Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а); б); в).

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла.

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или; б)или. Ответ обосновать.

4. Чему равны выражения: и, еслиf(t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а)б), в), г);

д) ; е); ж); з).

7. Вычислить , еслиf(x) = .

8. Вычислить интегралы, или установить их расходимость: а) б).

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями и найти ее площадь:

а) , х = 0; б) .

2. Найти длину дуги линии:а) ; б) .

3. Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг его малой оси.

4. Найти массу стержня длинною 100 м, если линейная плотность ρ меняется по закону г/см, где х – расстояние от одного из концов стержня.

5. Найти силу, с которой жидкость удельного веса γ давит на вертикальную стенку, имеющую форму полуэллипса, большая ось которого находится на поверхности жидкости. Большая полуось эллипса а, малая ось b.

6. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает ее на 0,01 м. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину от длины 0,22 м до длины 0,32 м?

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б).

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. При каком а площадь, ограниченная линиями и , равна ?

7. Найти длину пространственной кривой , , , .

8. Цепная линия вращается вокруг оси абсцисс. При этом получается поверхность, называемая катеноидом. Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоскостями, отстоящими от начала координат на а и b единиц и перпендикулярными к оси абсцисс.

9. При гармоническом колебательном движении вдоль оси абсцисс около начала координат скорость ν дается формулой: . Найти положение точки в момент времени t₂, если в момент времени t₁ она находилась в точке х= х₁.

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б)нет; в) да. 2. 0. 3. а)<; б)<.

4. ,. 5. а); б); в)ln2; г) ; д) ; е) 4-ln9; ж); з) . 6. 7. а); б) расходится.