Содержание

1. Область определения функции 2

2. Линии уровня 4

3. Поверхности уровня 6

4. Предел функции 7

5. Непрерывность, точки разрыва функции 8

6. Частные производные первого порядка 9

7. Частные производные второго порядка 11

8. Производные неявной функции 13

9. Градиент. Производная по направлению 15

10. Уравнения касательной и нормали 16

11. Полное приращение и полный дифференциал 18

12. Приближенное вычисление значения функции 21

13. Линеаризация функции 22

14. Экстремум функции 24

15. Условный экстремум 26

16. Наибольшее и наименьшее значения функции 29

17. Графический метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в области 31

18. Задача линейного программирования 34

19. Метод наименьших квадратов 37

Образцы решения типовых задач

Пример 1.1

Найти области определения функций:

а) ; б) ;

в) .

Решение. а) Область определения функции представляет собой некоторое множество точек координатной плоскости ХОУ. Найдем это множество для заданной функции.

Правая часть равенства имеет смысл (т.е. z принимает действительные значения) только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Значит, область определения данной функции образует множество пар чисел , которые удовлетворяют неравенству

, или

Изобразим графически решение этого неравенства.

Рассмотрим соответствующее неравенству уравнение . Это уравнение определяет на координатной плоскости параболу с вершиной в точке и осью симметрии ОХ, ветви которой направлены вправо. Координаты точек этой параболы удовлетворяют неравенству , поэтому парабола принадлежит области определения данной функции и является ее границей (граничной линией).

Парабола делит плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство , а для другой – (на самой параболе, как уже отмечалось, выполняется равенство ). Чтобы установить, какая из этих частей является областью определения функции, достаточно проверить выполнение условия для какой-либо одной точки, не лежащей на параболе. Возьмем, например, точку . Эта точка лежит во «внутренней» по отношению к параболе части плоскости. Координаты этой точки удовлетворяют нужному неравенству: . Следовательно, область определения данной функции состоит из точек, лежащих на параболе и «внутри нее» (рисунок 1.2).

б) Рассмотрим функцию . Как известно, логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента. Значит, переменные х и у данной функции должны удовлетворять условию

.

Отсюда получим две возможности

или

Решая эти системы, получим соответственно или

Первой системе удовлетворяют координаты точек плоскости, лежа­щих выше прямой и справа от прямой . Вторая система опи­сывает множество точек, распо­ложенных ниже прямой и слева от прямой . Следова­тельно, область определения данной функции – это заштрихованное множество точек плоскости на ри­сунке 1.3. Так как неравенства в рассмотренных системах – строгие, то точки прямых и не принадлежат области определения, поэтому на рисунке прямые изображены пунктиром.

в) Как известно, областью определения функции является множество . Поэтому функция определена для тех значений переменных х и у, при которых выполняется неравенство

.

Запишем это неравенство в виде системы

или

и найдем графически множество решений этой системы.

Рассмотрим уравнения, соответствующие неравенствам системы:

и .

Уравнение определяет кубическую параболу, а множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , лежат выше этой параболы (в чем легко убедиться, подставив в это неравенство координаты, например, точки , не лежащей на параболе). Множество точек, удовлетворяющих неравенству , изображено на рисунке 1.4, а.

Уравнение также определяет кубическую параболу, смещенную на 2 единицы вверх по отношению к линии . Неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих ниже этой параболы (для проверки возьмите ту же точку ). Множество решений неравенства изображено на рисунке 1.4, б.

Тогда искомую область определения данной функции определяет пересечение полученных множеств; эта область изображена на рисунке 1.4, в.

а)

Рисунок 1.4